Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5596

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

ИД3. Проинтегрируйте дробь

P x

, где числитель

P x

указан, раз-

a 2

x b

ложив её на сумму

при заданных значениях a, b:

x a

x a 2 x

;

x a 2 x b

а) a = 0, b = 1; д) a = 1, b = –1; и) a = 1, b = 3;

б) a = 0, b = –1; е) a = –1, b = 1; к) a = 3, b = –1;

в) a = 1, b = 0; ж) a = 0, b = –2; л) a = 3, b = –4;

г) a = –1, b = 0; з) a = 2, b = 0; м) a = 4, b = –5;

при тех же значениях a, b, что в задании 1;

a 2

при тех же значениях a, b, что в заданиях 1 и 2.

a 2

P x

ИД4.

Проинтегрируйте дроби

, разложив на сумму дробей

a x b

при разных числителях

P x

и одних и тех же значениях a, b:

;

а) a = 1, b = 0; д) a = 1, b = –2; и) a = 2, b = 2;

б) a = 1, b = 1; е) a = 2, b = 0; к) a = 2, b = –2;

в) a = 1, b = –1; ж) a = 2, b = 1; л) a = 4, b = 3;

г) a = 1, b = 2; з) a = 2, b = –1; м) a = 4, b = –3.

2)		x			при тех же значениях a, b, что в задании 1;

	x2	a	x	b
3)		x2			при тех же значениях a, b, что в заданиях 1 и 2.
3)	x2	a	x	b	при тех же значениях a, b, что в заданиях 1 и 2.

ИД5. (*) Проинтегрируйте дроби, разложив их на элементарные. Если необходимо, предварительно получите целую часть и правильную дробь:

1) а)

;

б)

;

в)

2x 3

;

г)

3x 1

;

д)

;

2) а)

;

б)

;

в)

3x 2

;

г)

;

д)

;

3) а)

;

б)

;

в)

x2 9

;

г)

x 4

;

д)

x 9 3 x

25 x 5

x 2

9 x 3

Замечание об универсальном методе неопределённых коэффициентов

Если дробь сложна, содержит несколько квадратичных или кратных скобок, метод вычёркивания неэффективен и приходится применять общий метод.

Пример 7. Проинтегрируем дробь

2x2

12x

. Она раскладывается так:

1 2 x2

2x2 12x

x 1 2 x2

x 1

x 1 2

Приведём к общему знаменателю:

2x2 12x 15 A x 1 x2

4 B x2

4 Cx D x 1

x 1 2 x2 4

x 1 2

Для совпадения дробей нужно, чтобы числители совпадали. Раскроем скобки:

2x2 12x 15 A x3 x2 4x 4 B x2 4 Cx Dx2 2x 1 ;

12x 15 A x3	x2	4x 4 B x2	4 Cx 3 Dx 2 2Cx 2 Cx 2Dx D ;
12x 15 Ax3	Ax2	4Ax 4A Bx2	4B Cx3 Dx2 2Cx2 Cx 2Dx D .

Соберём справа вместе слагаемые «с одинаковой степенью»:

Ax 3

Cx3

Ax 2

Bx 2

Dx 2

2Cx 2

4 Ax

2Dx

4 A

D ,

и вынесем степени за скобки:

2x2

12x 15 x3 A C x2

A B D 2C x 4 A C 2D

4 A 4B D .

Как известно из алгебры, два полинома совпадают

при любом значении переменной, если равны их коэф-

D 2

фициенты при одинаковых степенях. Поэтому получается

4 A

следующая система уравнений:

4 A

4B D

Решая систему любым способом, находим, что A

2, B

1, C 2, D

3 . Значит,

2x2

12x 15

x 1 2 x2

x 1 x 1 2

4 x2

Поэтому

2x2

12x 15

xdx

x 1 2 x2

x 1

Сами по себе интегралы хорошо известны и неоднократно найдены в пособии.

Ответ:

2x2

12x

ln x2 4

arctg

C .

dx 2 ln

x 1

1 2 x2

x 1

Основные трудности общего метода – раскрытие скобок и решение системы уравнений. Решение немного упростится, если всё-таки найти методом вычёркивания, что B 1 .

§ 8. Определённый интеграл

Формула Ньютона – Лейбница

f x dx F b F a , где F x f x

позволяет свести вычисление определённого интеграла к поиску первообразной F xи подстановке в неё пределов интегрирования.

Для поиска первообразной можно применять любые свойства и методы – разбивать интеграл на сумму интегралов, интегрировать по частям и т.п. Однако при замене переменных следует либо пересчитывать пределы интегрирования,

либо возвращаться к начальной переменной.

Если первообразная выглядит как сумма слагаемых, т.е.

F x F1 x F2 x ,

надёжнее подставлять пределы интегрирования отдельно в каждое из них:

F x

F b F a

чем полностью в сумму:

F x

F x F x

F b F b

F a F a

особенно если возникает много отрицательных или дробных составляющих.

ОИ1. Найдите определённые интегралы

	1												1										2
а)	3x2			6x 2 dx ;							б)			4x3			3x2			2x dx ;	в)			x3 x 1 dx ;
	1												1										2
	2												0										1
г)	x3		3x 5 dx ;								д)			x2			5x3		2 dx ;		е)		6x3		3x 2 dx ;
	0												1										2
	4												3										2
ж)	x2		6x 3 dx ;								з)			6x x4					6x2 dx ;		и)			8 x3	2x4 dx .
	3												2										2
Пример 1 (с применением арифметических свойств интеграла):
	2										2		2						2		2			2	2
		5x2				8x	6 dx				5x2dx					8xdx				6dx 5	x2dx		8	xdx	6	dx
	1										1		1						1		1			1	1
		5			x3	2	8	x2		2	6x	2		5	23				1 3	4 22	1 2			6 2	1
						2				2


				3		1	2			1		1	3
												1

			5															5								21.
			5	8			1		4 4		1		6 2			1		5	9	4 3	6 3	15		12	18
		3		8			1		4 4		1		6 2			1	3		9	4 3	6 3	15		12	18
		3															3

ОИ2. Найдите определённые интегралы

1) а)

;

б)

;

в)

;

г)

;

д)

;

x 2

3x2

2) а)

;

б)

3 dx

;

в)

;

г)

2 dx

;

д)

;

1 x

1 5x

0,5x

/ 3

/ 2

/ 3

/ 4

3) а)

sin xdx ; б)

sin 2xdx ;

в)

cos3xdx ;

г)

sin 4xdx ;

/ 6

/ 9

/ 4

4) а)

; б)

;

в)

;

г)

;

2x 3

1 3x 4

5 x

9 2x

5) а)

3x 1 4 dx ;

б) 4x 2 3 dx ;

в)

5x 1 7 dx ;

г)

0,2

Пример 2 (вынесение множителя):

д) cos4xdx ;

		/ 4
	8		dx
д)			dx	;


	2		5 0,5x
			5 0,5x

2x	3 8 dx .

2 dx	2		dx	1 2		dx			1	1	arctg	x	2		1	arctg	2		arctg		2
2 dx	2		dx	1 2		dx			1	1		x	2		1		2				2

2 2x2 8		2 2 x2 4			2 2 x2 4				2	2		2	2		4		2				2
2 2x2 8		2 2 x2 4			2 2 x2 4				2	2		2	2		4		2				2
		1	arctg1	arctg		1		1						1						.
	4		arctg1	arctg		1	4		4	4				4	4	4		8		.
	4						4		4	4				4	4	4		8

Пример 3 (применение основного правила табличного интегрирования):

				3					1		1		3		1		3
													3


	dx						1	13 4x		2				13 4x	2			1			3
							1														3
				13	4x		2 dx												13	4x

								1						2				2
13		4x							1		4										2
13		4x		2
																	2

								2					2




			1								1				5	1		0,618 .
			1	13	4	3	13	4	2		1	1		5	5	1

			2								2				2
			2								2				2

ОИ3. Найдите определённые интегралы

	2		dx					3	dx						4		dx
1) а)			dx		;		б)		dx			;		в)			dx			;

	0		x2	4					x2	9					0		2x2	32
			x2	4				3	x2	9							2x2	32
								3
	4		dx					6	dx					10			dx
г)			dx		;		д)		dx		;			е)			dx		;

	3		x2	4				4	x2	9					6	2x2		50
	3							4							6
	3			dx						5				dx						4		dx
2) а)				dx		;			б)					dx	;			в)				dx	;

	2	x2		4x 5						2			x2	4x 13						1	2x2	4x 20
	2									2										1

г)

;

д)

;

е)

4x 3

3x2

12x 15

Пример 4. Вынесем коэффициент и сведём интеграл к табличному:

3		dx	3		dx	1 3			dx	1

1	3x2	6x 51	1	3 x2	2x 17 3		1	x2	2x 17 3
1			1				1

3 dx

1 x 1 2 16

1	1	arctg	x	1	3		1	arctg	4	arctg	0	1	arctg1 arctg 0	1		0		.
1	1		x	1	3		1		4		0	1		1

3	4			4		1	12		4		4	12		12	4		48
						1

Пример 5. Здесь сразу получается полный квадрат:

5	dx		5	dx	1	ln	x	4	4

	x2 8x	12		x 4 2
3			3		4 2 4		x	4	4

1	ln	x	6
	ln
4 x			2

1	ln	5	6	ln	3	6		1	ln	1	ln 3	1	ln	1	1	ln	1	0,549 .
4		5	2		3	2	4			3		4		3 3	4		9

	Вычисление площади плоской фигуры
Если фигура на плоскости ограничена графиками функций						y	f x , y	g x
и вертикальными линиями x		a и x b , причём	f x	g x во всех точках от-
				b
резка a, b , то площадь фигуры совпадает с интегралом				f	x	g x	dx .
				a
Здесь	f x g x указано	для определённости, если			же	на	a, b	всегда
		b
f x g x	, то площадь совпадает с интегралом		g x	f x	dx .

Можно считать, что всегда от уравнения «верхней кривой » отнимают уравнение «нижней кривой».

Если отрезок a, bне указан, подразумевается, что графики образуют фигуру, пересекаясь в 2 точках. Тогда точки надо найти из уравнения f x g x .

Во всех остальных случаях (пересечение менее или более чем в 2 точках, разное соотношение между функциями и т.п.) задача о площади поставлена некорректно. Без дополнительных условий её решить невозможно.

ОИ4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y

x2 и

графиком указанной функции. Сделайте чертёж:

1) а) y 1;

б) y 4 ;

в) y 9 ;

г) y 6 ;

2) а) y x ;

б) y 2x ;

в) y 3x ;

г) y

4x ;

3) а) y x 2 ;

б) y 2 x ;

в) y 2x 3;

г) y 4 3x ;

4) а) y 8 x 2 ;

б) y 2 x2 ;

в) y 12 2x2 ;

г) y 16 3x2 ;

5) а) y 2x 2

4 ;

б) y 3x2

8 ;

в) y 2x2

3 ;

г) y 3x2

6 .

ОИ5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделайте чертёж:

1) а) y x2

4, y 5 ;

б) y 6 x2 , y 2 ;

в) y 2x2

6, y 6 x2 ;

г) y 2x2

8, y 7 3x2 ;

2) а) y x2

2x, y 4x 8 ;

б) y x2

x, y 3x 3 ;

в) y x2

3, y 2x ;

г) y x2

4, y 2x 4 ;

3) а) y x2

6x, y 2x x2 ;

б) y x2

2x, y 4x x2 ;

в) y x2

5x, y x 2x2 ;

г) y 2x2

4x, y 2x x2 .

Пример 6.

Найдём площадь

фигуры, ограниченной

графиками функций

y 12 x2

6 .

1-й шаг. Приравниваем: 12

6 ,

откуда

2x2

18 и

x2 9 .

Значит,

9 , и точки пересечения – это x1

3 и x2

3. Значения функций:

3 2

3 (можно найти и y

3 2

3 );

3 (также

3 ).

Совпадение y

y 3 вызвано чётностью обеих функций.

2-й шаг. Строим графики функций (рису-
нок 1).	Поскольку y1 0		12 и	y2 0	6 ,	на
участке	3; 3	график функции		y1	проходит
выше графика функции y2 .						-4 -3 -2 -1	0	1	2	3	4
Поэтому при составлении интеграла от						y1
отнимаем y2 , а не наоборот.						Рисунок 1
						Рисунок 1

3-й шаг. Площадь фигуры
						3					3						3
					S	y y		2	dx			12 x2		x2		6 dx		18 2x2 dx .
						1		2
						3					3						3
4-й шаг. Вычисляем интеграл
	3							2			3				2						2
.		18	2x	2	dx	18x	3	2	x	3	3	18 3		3	2	3	3	3	18 6		2	54	72 .
.		18	2x		dx	18x	3	3	x		3	18 3		3	3	3	3		18 6		3	54	72 .
							3				3
	3
	3
5-й шаг. Площадь фигуры равна 72 кв. ед. Результат правдоподобен – фигура
достаточно велика.
Ответ. Площадь фигуры – 72 кв.ед.
Пример 7. Найдём площадь фигуры, образованной линиями																						y	x2	2x и
																						1
y2	x	4 .
1-й шаг. Из равенства											x2	2x	x	4 ,	или x2		3x		4	0,	находим			корни
x1	1 и x2			4 .
	2-й шаг.				Ординаты точек пересечения
			y2	1		1 4 3 и y2 4 4 4 8
(можно найти y1 , но y2 проще считать).
При вычислении площади эти числа не иг-
рают роли, но помогают построить графики.
Подставив					точки		из	интервала						1; 4	в
функции, видим, что прямая проходит над па-																-2		-1	0	1	2	3	4	5
раболой. Строим чертёж (рисунок 2).																-2		-1	0	1	2	3	4	5
раболой. Строим чертёж (рисунок 2).
																		Рисунок 2

3-й шаг. Площадь фигуры

		4			4								4
	S	y	2	y dx		x 4		x2		2x dx						3x 4 x2 dx .
			2		1
		1			1									1
4-й шаг. Вычисляем интеграл						4				2		3		2		4		4	1		3		4
						4										4							4
						3x		4	x		dx		x			4x				x

												2						1	3
						1										1		1					1


	3	42		1 2	4 4	1	1	43			13		45		20		65		20			5		.
	2	42		1 2	4 4	1	3	43			13		2		20			3	20			6		.
	2						3						2					3				6

5-й шаг. Площадь фигуры составляет 20 65 кв. ед., или около 20,83 кв.ед.

Ответ. Площадь фигуры – 20,83 кв.ед.

ОИ6. Найдите площадь фигуры, образованной осью абсцисс (ОХ), графиком

указанной функции

y x

и вертикальными линиями

xmin ,

xmax ,

проходя-

щими через точки экстремума. Сделайте чертёж.

1) а) y x

12x 17 ;

б) y x

3x 5 ;

в) y x

2x3

6x 4 ;

2) а) y x 12x x3

16 ;

б) y x 12x 4x3

9 ;

в) y x

9x x3

7 ;

3) а) y x

6x2

32 ;

б) y x

2x3

6x2

9 ;

в) y x

3x2

5 .

Пример 8. Пусть фигура ограничена осью абсцисс (ось ОХ, или y

0 ), гра-

фиком функции y

2x3

9x2

30 и вертикальными прямыми, проходящими че-

рез точки экстремума этой функции. Найдём площадь такой фигуры.

1-й шаг. Берём производную

2x3

9x2

6x2

18x , находим её кор-

ни: 6x2

18x

0 , откуда 6x x

, и тогда x

0 и

3 – точки экстремума.

2-й шаг. Убедимся,

что на участке

x1; x2

функция не меняет знак, иначе

придётся искать корень функции и разбивать фигуру на 2 части:

y 0 2 03		9 02		30 30 0 ;			y 3 2 33				9 32		30 3 0 ,
знак одинаков. Это гарантирует, что функция положительна на всём участке
0; 3 – иначе точка минимума, в которой y									0 , была бы не самой нижней на на
интервале x		0;3 , что невозможно. Итак, разбивать фигуру (отрезок) не нужно.
Замечаем,		что	y 0	y 3 . В силу непрерывности функции y											x3	9x2	60
это означает, что			x1	0 – точка максимума, а						x2		3 – точка минимума. (у раз-
рывных функций максимум может быть ниже минимума).
							3
3-й шаг. Площадь фигуры S							2x3	9x2	30 dx .
							0
					3					3		9 x3 3
4-й шаг. Находим, что					2x3	9x2		30 dx	2 x4			9 x3 3		30x 3	49,5 .
									4	0		3	0	0
					0				4			3
					0
5-й шаг. Площадь фигуры составляет 49,5 кв.ед.
40
30
20
10
0
-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5
Рисунок 3 – Схематичный чертёж параболы y										2x3		9x 2	30
								58

§ 9. Понятие несобственного интеграла

При моделировании некоторой ситуации на неопределённо долгий срок (например, при определении оптимального долгосрочного накопления) появляются интегралы с бесконечно большим верхним пределом. В этом случае применение формулы Ньютона-Лейбница становится не совсем корректным:

f t dt F

F a , где F

Решение проблемы – в переходе к пределу:

	B
f t dt	lim f t dt	lim F B F a	lim F B F a .
	B	B	B
a	a
Если предел lim F B	существует и конечен, интеграл сходится и равен некото-
B

рому числу; если предел не существует или бесконечен, интеграл расходится. Интегралы по неограниченной области называют несобственными интегра-

лами 1-го рода.

Пример 1. Найдём

. Перейдём к пределу:

lim B

lim

0 1

1 .

1 x

Интеграл сходится и равен 1 (сходится к числу 1).

Пример 2. Чтобы найти

, переходим к пределу:

lim

B dx

lim ln x

lim ln B

ln 2

lim ln B

ln 2

2 x

Величина ln 2 не играет роли: интеграл расходится и бесконечен.

Пример 3.	cos xdx	? Решение:
	0
	B
cos xdx lim	cos xdx	lim sin x	B	lim sin B sin0	lim sin B sin0 sin	0 .
cos xdx lim	cos xdx	lim sin x	B	lim sin B sin0	lim sin B sin0 sin	0 .
B		B	0	B	B
			0

0	0

Поскольку величина sin не определена (грамотнее вообще не записывать её в решении), интеграл расходится: он принимает значения от –1 до +1, возвращаясь к каждому из них через очередные 2ед. по оси OX.

Фактически, во всех трёх примерах применялась формула Ньютона-Лейбница и в первообразную подставляли бесконечность, однако запись вида

	dx	2 x	2	2 4	4
	x
4			4

считается не совсем грамотной. Тем не менее ей можно пользоваться для чернового решения вопроса.

Пример 4. Решение, справедливо не гарантирующее хорошей оценки:

				dx		x 3/ 2 dx			2x 1/ 2			2			2			2		0	2			2	,
				dx								2			2			2			2			2
										9											3
		9 x x			9					9			x	9				9			3	3
но дающее верный ответ: интеграл сходится к значению																		2	.
но дающее верный ответ: интеграл сходится к значению																		3	.
																		3
НС1. Найдите значение или установите расходимость интегралов:
1) а)	dx		;			б)	dx	;	в)		dx		;		г)	dx	;			д)			dx			;
1) а)			;			б)		;	в)				;		г)		;			д)						;
1		x			1		x3			4 x2		x			8	3 x					8		3 x5
2) а)	e x dx ;					б)	e 2 x dx ;		в)	ex dx ;					г)	e0,01x dx ;				д)		e 0,01x dx ;
1					0					1					1						2

3) а)	cos2xdx ; б)
0
4) а)	dx			;	б)

	x2	1
0
5) а)	dx		;		б)
5) а)			;		б)
0	x	1

	cos			x		dx ; в)
	cos					dx ; в)
0	100
0
			dx		;		в)

0		x2		4
0
			dx			;	в)


0			x	4
			x	4

sin

dx ;

г)

sin2 xdx ;

д)

cos2 xdx ;

;

г)

;

д)

;

x2 4

x2 1

;

г)

;

д)

x 4 2

x 3 5

x 1

При исследовании несобственных интегралов можно выполнять те же действия, что при вычислении обычных.

НС2. При помощи замены переменной или интегрирования по частям проверьте сходимость интегралов:

1) а)

xe x dx ;

б)

xe 2 x dx ;

в)

xe2 x dx ;

г)

x sin 2xdx ;

д)

x cos xdx ;

2) а)

;

б)

;

в)

;

г)

;

д)

xdx

x 4

16 x x 9

1 x

4 x

x 3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20222.03 Mб65591.pdf
#
13.11.20222.04 Mб25592.pdf
#
13.11.20222.04 Mб15593.pdf
#
13.11.20222.04 Mб105594.pdf
#
13.11.20222.04 Mб105595.pdf
#
13.11.20222.05 Mб25596.pdf
#
13.11.20222.07 Mб45597.pdf
#
13.11.20222.09 Mб45598.pdf
#
13.11.20222.1 Mб95599.pdf
#
13.11.202222.53 Кб356.doc
#
13.11.20222.1 Mб45600.pdf