ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………………..…...............4

1.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ..………………………………6

1.1.Комбинаторика………….…………………………..………………6

1.2.Повторные независимые испытания……………….…………….10

1.3. Случайная величина. Закон распределения случайной величины…………………………………………………. 16 1.4. Числовые характеристики дискретных случайных величин…...22 1.5. Нормальный закон распределения……………………………….26

2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ……………...…..31 2.1. Первичная обработка статистических данных…………..………31

2.2.Статистические оценки параметров распределения…….………39

2.3.Проверка статистических гипотез……….……………….………52

2.4.Корреляционно-регрессионный анализ………………….…........63

2.5.Дисперсионный анализ…………………………………………... 86

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………..………………………..102

ПРИЛОЖЕНИЕ..……………………..…………...…………………………103

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Теория вероятностей и математическая статистика входят в число базовых дисциплин современного экономического образования. Методы теории вероятностей и математической статистики широко применяются в различных областях экономики: в теории принятия решений, в теории надежности, теории массового обслуживания, теории ошибок наблюдений,

теории автоматического управления, общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках.

Теория вероятностей служит для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технических процессов, предупредительном и приёмочном контроле качества продукции и для многих других целей.

Авторами предпринята попытка последовательного,

систематического изложения современных прикладных математических методов обработки статистических данных, основанных на использовании компьютера.

Изложение учебного материала разделов осуществляется в следующей последовательности. Вначале приводятся основные определения, формулы и алгоритмы, затем даётся описание соответствующих процедур и функций Excel, после чего приводятся решения прикладных задач.

Такое построение потребовало сделать изложение теоретического материала более кратким. Поэтому основные теоремы, выводы из них и математические формулы, упоминаемые в практикуме, чаще всего даются без доказательства, чтобы основное внимание было сосредоточено на методике применения компьютера.

4

Важной отличительной особенностью предлагаемого материала является рассмотрение основных разделов курса «Теория вероятностей и математическая статистика» не от «пакетов программ и их возможностей»,

а «от экономических задач к способам их решения на компьютере».

Практикум будет полезен студентам, изучающим математику,

преподавателям, а также специалистам, сталкивающимся с необходимостью математической обработки данных.

Преподаватели могут использовать практикум по соответствующим разделам «Теории вероятностей и математической статистики» для компьютерного анализа. Могут требовать от студентов воспроизведения пошаговых инструкций и получать распечатки, подобные приведённым в данном практикуме. Могут требовать выполнения упражнений,

приведённых в конце каждой главы. Студентам практикум может быть рекомендован при выполнении курсовых и дипломных проектов.

Практикум написан в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов в области математики для специалистов с высшим образованием по экономическим специальностям. Он предназначен для студентов, менеджеров и аналитиков, которым необходимы пошаговые инструкции по использованию инструментов статистического анализа Excel.

5

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Комбинаторика

Комбинаторика – это раздел математики, в котором даются научно обоснованные ответы на вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из определённого количества объектов.

Различают три вида комбинаций: перестановки, сочетания,

размещения.

Перестановками Pn из n элементов называют соединения, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения:

Pn n!, где n! 12 3n.

Для расчёта числа перестановок в Excel используется функция ФАКТР. Аргументом функции ФАКТР может быть любое неотрицательное число. Например, формула ФАКТР(5) вычисляет значение 120 (т.е. 5!= 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 =120).

Сочетаниями Cnm из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только составом элементов, порядок соединения элементов не важен.

Для расчёта сочетаний в Excel используется функция ЧИСЛКОМБ.

Синтаксис функции ЧИСЛКОМБ (число; число_выбранных), где

число – это число элементов некоторого множества (n), число_выбранных – это число элементов в каждой комбинации (m).

Размещениями Anm из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо их порядком.

6

Для расчёта числа размещений в Excel используется функция

ПЕРЕСТ. Синтаксис функции ПЕРЕСТ (число; число_выбранных), где

число – это количество объектов (n), число_выбранных – это количество объектов в каждой группе (m).

Пример

Кадровое агентство состоит из 5 сотрудников. Требуется рассчитать:

а) сколько существует способов выбора двух человек из числа сотрудников на должности «PR-менеджер» и «Региональный представитель»?

б) сколько существует способов выбора двух человек для организации рекламной акции?

в) сколько существует способов рассадить сотрудников агентства за столами в офисе?

Решение

1.Запустить табличный процессор MS Excel.

2.Чтобы получить ответ на первый вопрос задачи, необходимо рассчитать количество размещений без повторений, которые можно составить из 5 человек, выбирая по два человека, потому что важен не только состав выбранных пар, но и порядок следования фамилий сотрудников в парах. Например, в паре Иванов – Петров первый будет в должности «PR-менеджер», второй – «Региональный представитель»,

если фамилии поменять местами, то набор группы не изменится, но порядок распределения обязанностей будет другой.

Для расчёта количества размещений без повторений необходимо использовать встроенную функцию ПЕРЕСТ. Для этого:

- установить курсор в ячейку А1 и вызвать Мастера функций

7

- в появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистические. В поле Функция выбираем функцию ПЕРЕСТ. Нажимаем на кнопку ОК.

- в диалоговом окне Аргументы функции в поле Число указать количество объектов (выбор идет из 5 сотрудников) и в поле Число_выбранных количество объектов в каждой комбинации (составляем группы по 2 человека) ОК:

рассчитать количество сочетаний без повторений, так как в данном случае важен только состав группы (Иванов с Петровым будут отвечать за организацию рекламной акции или Петров с Ивановым – порядок следования фамилий неважен).

Для расчёта количества сочетаний без повторений воспользуемся встроенной функцией ЧИСЛКОМБ. Для этого:

- установить курсор в ячейку А2 и вызвать Мастера функций

(Вставка Функция… или щелчком по значку );

- в появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Математические. В поле Функция выбираем функцию ЧИСЛКОМБ. Нажимаем на кнопку ОК.

- в диалоговом окне Аргументы функции в поле Число указать количество объектов (выбор идет из 5 сотрудников) и в поле Число_выбранных количество объектов в каждой комбинации (составляем

8

количество возможных перестановок без повторений с 5 элементами данного множества. В данном случае нам важен только порядок следования элементов, состав остается неизменным.

Для расчёта числа перестановок воспользуемся встроенной функцией ФАКТР. Для этого:

- установить курсор в ячейку А3. Обратиться к Мастеру функций, найти функцию ФАКТР. В диалоговом окне Аргументы функции в поле Число указать количество переставляемых элементов, т.е. 5;

- в ячейке А3 появляется искомое число перестановок — 120. Следовательно, Р5 = 5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120.

Таким образом, рассадить 5 сотрудников в офисе можно 120 способами.

УПРАЖНЕНИЯ

1.Сколько различных комбинаций букв можно составить из всех букв слова «бухгалтер»?

2.Сколькими способами можно выбрать 3 книги из 5 книг, имеющихся в наличии?

P

11

4.Вы заключили контракт с туристическими фирмами 9 европейских городов. В маршрут хотите включить 3. Сколько различных маршрутов можно составить?

5.Сколько различных телефонных номеров можно составить из шести цифр?

9

1.2. Повторные независимые испытания

Особое место в теории вероятностей занимают задачи, связанные с повторяющимися в одинаковых условиях опытами. В результате каждого опыта может появиться или не появиться событие А. При этом представляет интерес исход не каждого отдельного испытания, а общее число появлений события А в результате определённого количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа m появлений события А в результате n испытаний.

Если производится несколько испытаний, причём вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

В независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.

Классическая схема таких испытаний носит название схемы Бернулли, она подразумевает выполнение трёх основных требований:

1.Все n испытаний независимы друг от друга.

2.Каждое испытание имеет два исхода (событие А произошло или не произошло).

3.Вероятность события А в каждом испытании постоянна P A p ,

тогда вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна P A 1 p q .

Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что в n испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, событие А произойдёт ровно m раз. Искомую вероятность обозначим Pn m .

Для вычисления значений Pn(m) при небольших значениях n используют формулу Бернулли. Но уже при n ≥ 20 нахождение вероятности Pn(m) вызывает большие вычислительные трудности. Поэтому при большом количестве испытаний (n ≥ 100) используют приближённые формулы Пуассона и Муавра−Лапласа. Формулы вероятностей появления событий в схеме Бернулли и условия их применимости приведены в таблице 1.

10