Модели RMSE RUNS RUNM AUTO MEAN VAR

-----------------------------------------------

Ключ:

RMSE = Стандартная ошибка остатков

RUNS = Тест на чрезмерное количество пиков и впадин

RUNM = Тест на чрезмерные количество отклонений от медианы AUTO = Тест на чрезмерную автокорреляцию

MEAN = Тест на существенность разности средних VAR = Тест на существенность разности дисперсий OK = не существенный (p> = 0.10)

*= незначительно существенный (0.05 <p <= 0.10)

**= существенный (0.01 <p <= 0.05)

***= очень существенный (p <= 0.01)

StatAdvisor

---------------

Эта таблица сравнивает результаты пяти различных моделей прогнозирования Вы можете изменить

любую из моделей, нажимая на правую кнопку мыши и выбирая из меню Analysis Options (Опции Анализа).

модели данных. OK означает, что модель проходит тест. Одина звездочка * означает, что модель

только один тест. Так как один или более тестов статистически существенны на 95%-м или более высоком доверительном уровень, Вы должны серьезно рассмотреть отбор другой модели.

Рисунок 3.5.7 – Панель статистического сравнения с переводом

Система STATGRAFICS выдаст таблицу прогноза (рисунок 3.5.8).

------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------

Таблица Прогноза для y

Модель: Показательная тенденция = exp (-35,8182 + 0,0193701 t)

Период Фактические данные Теоретические данные Остатки

------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------

Рисунок 3.5.8 − Прогноз тренда по показательной модели Панель прогноза (рисунок 3.5.8.) содержит две таблицы. В верхней

таблице отражены фактические и модельные значения средней обеспеченности населения Хабаровского края жильем, также остатки (отклонение фактических и теоретических значений). В нижней таблице приведены точечный и интервальный прогнозы с вероятностью 95%.

Таким образом, прогноз на 4 года показывает, что с 2006 по 2009 год среднегодовой абсолютный прирост обеспеченности жильем населения Хабаровского края составит 0,41 м2 (1,98%.) и в 2009 году достигнет 21,69 м2 на человека. Сохраним остатки (отклонение фактических значений от теоретических) под именем Residuals. Для этого щелкнем по пиктограмме

, откроется окно Save Results Options (сохранение результатов анализа) (рисунок 3.5.9) Отметим флажком Residual (остатки) и нажмем OK.

51

----------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------

Backforecasting: yes

Estimated white noise variance = 0,0423153 with 13 degrees of freedom Estimated white noise standard deviation = 0,205707

Number of iterations: 1

Рисунок 3.5.17 − Панель сводных итогов авторегрессии Итоги авторегрессии показывают, что оценка авторегрессионнного

параметра значима по t -критерию. Фактический критерий Стьюдента существенно больше табличного, так как p -значение равно 0,000 568.

Следовательно, для прогнозирования обеспеченности жильем можно использовать авторегрессию первого порядка. Она имеет вид

t 0,366778 t 1

Вызовем панель Tabular Options (табличных опций) и установим флажок в поле Forecast Table (Таблица прогноза) (рисунок 3.5.18).

На рисунке 3.5.18. изображена только часть информации панели Forecast Table (Таблица прогноза). Представленные результаты свидетельствуют, что прогноз остатков увеличивается с -0,034 до - 0,002. В целом остатки отрицательно влияют на тренд.

------------------------------------------------------------------------------

52

Результаты прогнозирования свидетельствуют, что объединенный прогноз обеспеченности жильем меньше прогноза по экспоненциальному тренду из-за отрицательного прогноза остатков. За прогнозируемые годы обеспеченность жильем вырастет на 6,1% и к 2009 году достигнет 21,21 м2.

Контрольные вопросы к разделу 3 1. Охарактеризуйте основные типы кривых роста, наиболее часто

используемые на практике при построении трендовых моделей одномерных временных рядов.

2.Назовите важнейшие характеристики точности моделей прогнозирования.

3.Каким образом определяется значение критической статистики в тесте Дарбина − Уотсона?

4.Опишите алгоритм проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции первого порядка в остатках модели с помощью критерия Дарбина−Уотсона.

5.Какова интерпретация коэффициентов линейной трендовой модели?

53

4. Моделирование и прогнозирование с использованием корреляционно-регрессионного анализа

4.1. Основные этапы проведения корреляционно-регрессионного анализа

Одной из наиболее важных задач статистического исследования является изучение связи между наблюдаемыми переменными и на их основе прогнозирование социально-экономических явлений. Корреляционно-регрессионный анализ предназначен для установления и измерения связей между одной зависимой и несколькими (одной) независимыми переменными.

Исходной для анализа является матрица Х размерности (n,k), элементы которой представляют собой n наблюдений для каждого из k факторов.

Корреляционно-регрессионный анализ начинается с расчета корреляционной матрицы R, размерности (k,k), состоящей из парных коэффициентов корреляции.

Парный коэффициент корреляции представляет собой меру линейной зависимости между двумя переменными на фоне действия остальных рассматриваемых в анализе.

Парные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до +1. Значение корреляции –1 показывает, что переменные связаны функциональной обратной зависимостью, а значение +1 – прямой функциональной зависимостью. Значение парного коэффициента корреляции равного 0 означает отсутствие связи между признаками.

Корреляционная матрица всегда симметрична, на главной диагонали находятся 1.

Расчет парного коэффициента корреляции производится по формуле

54

Значимость парных коэффициентов можно проверить с помощью t - критерия Стьюдента.

Одним из основных препятствий эффективного применения множественного регрессионного анализа является мультиколлинеарность.

На практике о наличии мультиколлинеарности обычном судят по матрице парных коэффициентов корреляции. Если один из элементов матрицы R больше 0,8, т.е. r 0,8 , то считают, что имеет место

мультиколлинеарность.

Нахождение частных коэффициентов корреляции любого порядка является одной из задач корреляционного анализа. Порядок коэффициентов корреляции (k) − это число фиксируемых факторов.

Частный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной зависимости между двумя переменными при исключении влияния всех остальных показателей, входящих в модель.

Коэффициент частной корреляции первого порядка, когда элиминируется корреляция с одной переменной, определяется по формуле

На основе коэффициентов частной корреляции первого порядка можно найти коэффициент частной корреляции второго порядка:

55

Точка в подстрочных значках означает элиминирование, т.е. погашение связи x2 и x3 с y и x1 .

На основе коэффициентов частной корреляции второго порядка можно найти коэффициенты частной корреляции третьего порядка и т.д.

Коэффициент частной корреляции k -го порядка имеет вид:

Коэффициент частной корреляции принимают значения от –1 до 1, так как они являются мерами линейных связей. По абсолютной величине коэффициенты частной корреляции изменяются в интервале 0,1 .

Значимость частных коэффициентов корреляции проверяется по тем же критериям, что и парных.

Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между результативной переменной и независимой. Он изменяется от 0 до 1 и рассчитывается по формуле

где Ryx2 1 ...xk − коэффициент множественной детерминации y при всех учтенных факторных переменных (включая xm );

− коэффициент множественной детерминации y без

переменной xm .

Назначение коэффициента множественной корреляции состоит в оценке качества уровня множественной регрессии: чем больше значение R , чем ближе оно к единице, тем лучше уравнение регрессии, тем надежнее результаты анализа или прогноза на его основе.

56

Значимость множественного коэффициента корреляции проверяется на основе F -критерию.

Фактическое значение находится по формуле

где n − число наблюдений;

m − число факторов в уравнении.

Если Fфакт. Fтабл. ( ;df1 m;df2 n m 1) , то множественный коэффициент корреляции считается значимым.

Показателями тесноты связи можно дать качественную оценку на основе шкала Чеддока:

Функциональная связь возникает при значении, равном 1, а отсутствие связи – 0.

Регрессионный анализ является статистическим методом изучения

переменной от нескольких факторных переменных описывается уравнением множественной регрессии.

Уравнение регрессии характеризует среднее изменение y с применением признаков-факторов.

Построение уравнения регрессии решает две задачи: выбор признаков факторов и тип уравнения.

Решение первой задачи основывается на анализе матрицы парных коэффициентов корреляции и выделение тех переменных, для которых

уравнение регрессии не дает дополнительной информации для объяснения вариации y .Такое явление называется мультиколлинеарностью и в уравнение регрессии следует включать только одну из переменных xi или x j .

Чтобы избавиться от этого негативного явления, обычно используют алгоритм пошагового регрессионного анализа или строят уравнение регрессии на главных компонентах.

Не следует включать совместно признаки, представленные как абсолютные, средние и относительные величины. Не рекомендуется включать в модель признаки, функционально связанные с зависимой переменной y (являются составной частью y ).

Необходимо принять во внимание частные коэффициенты корреляции для каждого признака-фактора. Их значение свидетельствует о возможности включения в регрессионную модель той или иной зависимой переменной.

Решение второй задачи опирается на простоту интерпретации результатов многофакторного регрессионного анализа: чем проще тип уравнения множественной регрессии, тем очевиднее интерпретация его параметров и предпочтительнее выбор модели для анализа производства прогноза и принятия решений.

Для выбора типа аналитического выражения для описания линии регрессии могут использоваться любые математические функции, но обычно выбирают из пяти следующих типов:

58

На практике наиболее часто используют линейное уравнение множественной регрессии:

Коэффициенты регрессии линейного уравнения множественной регрессии ai показывают, на сколько единиц в среднем изменяется y при изменении xi на свою единицу измерения и закрепления прочих, введенных в уравнение факторных переменных на среднем уровне.

Так как все включенные переменные xi имеют свою размерность, то сравнивать ai нельзя; по величине ai нельзя сделать вывод, что одна переменная влияет сильнее на y , а другая слабее.

При проверке адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью расчета F −критерий по формуле

При адекватности уравнения регрессии исследуемому процессу возможны следующие варианты.

59

1.Построенная модель на основе ее проверки по F -критерию Фишера в целом адекватна, и все коэффициенты регрессии значимы. Такая модель может быть использована для принятия решений к осуществлению процессов.

2.Модель F -критерию Фишера адекватна, но часть коэффициентов регрессии незначима. В этом случае модель пригодна для принятия некоторых решений, но не для производства прогнозов.

3.Модель по F -критерию Фишера адекватна, но все коэффициентов регрессии незначимы. Поэтому модель полностью считает неадекватной. На ее основе не принимаются решения и не осуществляются прогнозы.

С целью расширения возможностей экономического анализа

основе можно определить степень влияния факторной переменной на результат.

Коэффициент эластичности характеризует, на сколько процентов увеличивается У при увеличении Хi на один процент и рассчитывается по формуле

Эi ai xyi .

-коэффициенты показывают, на какую часть среднеквадратического отклонения ( y ) изменится зависимая переменная У с изменением соответствующего фактора Хi на величину своего среднеквадратического отклонения ( xi ). Этот коэффициент позволяет сравнить влияние колеблемости различных факторов на вариацию исследуемого показателя, на основе чего выявляются факторы, в развитии которых заложены наибольшие резервы изменения результативного показателя:

y

Чтобы оценить долю вариации каждого фактора в суммарном влиянии факторов, включенных в уравнение регрессии, рассчитывают - коэффициенты:

60

4.2. Прогнозирование на основе множественной корреляционнорегрессионной модели с помощью пакета STATGRAFICS

В системе STATGRAFICS реализовано несколько методов корреляционно-регрессионного анализа, позволяющих установить связь между результативным признаком и одним или более факторными переменными. В основном модуле Relate (Связи) представлены:

-Simple Regression (простая регрессия);

-Polynomial Regression (полиномиальная регрессия);

-Multiple Regression (множественная регрессия) В этом модуле реализована возможность пошаговой регрессии.

С целью исключения мультиколлинеарных факторов построим множественную линейную модель, используя пошаговую регрессию.

Матрица исходной информации представлена в Приложении Б. В качестве исходной информации, используются следующие показатели:

У− средняя обеспеченность населения жильём всего м2 общей площади на одного жителя;

Х2 − средняя стоимость строительства за 1 м 2 ., руб (в сопоставимых ценах);

Х3 − денежные доходы в расчете на душу населения в среднем за месяц, тыс.руб. (в сопоставимых ценах);

Х4 − удельный вес частного жилого фонда, %; Х5 − удельный вес числа семей, состоящих на учете для получения

жилья, в общем числе семей, %; Х6 − удельный вес семей улучшивших свои жилищные условия в % от

числа семей, состоящих на учете на получение жилья; Х7 − капитально отремонтированных жилых домов за год, всего тыс.

м 2 , общей площади; Х8 − индекс потребительских цен (декабрь текущего года в % к декабрю

предыдущего года); Х9 − численность безработных, человек;

Х10 − ввод в действие жилых домов, тыс. м2 общей площади; Х11 − инвестиции в жилища млн руб. (в сопоставимых ценах).

В главном меню выбираем модуль Relate (связи) и находим процедуру Multiple Regression (множественная регрессия). Система STATGRAFICS покажет входную панель множественной регрессии (рисунок 4.2.1)

61

Dependent Variable – зависимая переменная; Independent Variable – независимые переменные; Select – выбрать; Weights – веса.

Рисунок 4.2.1 – Входная панель процедуры Multiple Regression (множественная регрессия)

После нажатия клавиши OK появится окно с предварительными результатами анализа (рисунок 4.2.2).

Multiple Regression Analysis

-----------------------------------------------------------------------------

Dependent variable: Y

---------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------

Analysis of Variance

-----------------------------------------------------------------------------

Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value

-----------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------

R-squared = 99,6305 percent

R-squared (adjusted for d.f.) = 98,399 percent

Standard Error of Est. = 0,184

Mean absolute error = 0,069

Durbin-Watson statistic = 2,875

62

Рисунок 4.2.2 − Предварительные результаты построения модели Щелкнем правой кнопкой мыши, появится меню, в котором нужно

выбрать Analysis Options (опции анализа) для вызова пошаговой регрессии.

Процедура пошаговой регрессии дает возможность автоматического подбора адекватной модели. При этом используются два основных подхода: Forward Selection (включения факторов) или Backward Selection

(исключения факторов) (рисунок 4.2.3).

Fit – подбирать; All Variable – все переменные; Forward Selection − включение факторов; Backward Selection − исключение Факторов; Constant in Model −

свободный член модели; F-to-Enter – включение; F-to-Remove – исключение; Max Steps – максимальное число шагов; Display – показать; Final Model Only – только заключительная модель; All Steps – все шаги.

Рисунок 4.2.3 – Окно Multiple Regression Option (опции множественной регрессии). Модель пошаговой регрессии

Флажок в поле Constant in Model (свободный член модели) предполагает наличие в модели свободного члена. Установлено также , что F-критерий для включения (F-to-Enter) и исключения (F-to-Remove) независимых переменных равен 4. Максимальное количество шагов при построении модели (Max Steps) − 50. Флажок в поле All Steps (все шаги)

63

требует вывод на экран всех промежуточных этапов построения уравнения регрессии.

Отметив поле Forward Selection (включения факторов) и Final Model Only получим результаты заключительной модели (промежуточные этапы построения модели не показаны) (рисунок 4.2.4).

Multiple Regression Analysis

-----------------------------------------------------------------------------

Dependent variable: Y

-----------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------

Analysis of Variance

-----------------------------------------------------------------------------

Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value

-----------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------

R-squared = 99,118 percent

R-squared (adjusted for d.f.) = 98,726 percent

Standard Error of Est. = 0,164

Mean absolute error = 0,098

Durbin-Watson statistic = 2,026

Stepwise regression

-------------------

Method: forward selection F-to-enter: 4,0 F-to-remove: 4,0

Final model selected

Рисунок 4.2.4 − Окончательные результаты выбора модели Основные результаты расчета сведены в две таблицы: в первой

отражены результаты регрессионного анализа, во второй представлен дисперсионный анализ. Внизу показана дополнительная информация: R- squared – коэффициент детерминации; R-squared (adjusted for d.f.) −

коэффициент детерминации, приведенный с учетом степеней свободы;

Standard Error of Est. (SE) – стандартная ошибка оценивания; Mean

64

absolute error –стандартная ошибка оценивания; Durbin-Watson statistic –

статистика Дарбина−Уотсона.

На основе частных F-критериев из 10 независимых переменных в модель средней обеспеченности населения жильём всего м2 общей площади на одного жителя включены 4 фактора: средняя стоимость строительства за 1 м2, руб (в сопоставимых ценах) (Х2); денежные доходы в расчете на душу населения в среднем за месяц, тыс.руб. (в сопоставимых ценах) (Х3); удельный вес частного жилого фонда, % (Х4); ввод в действие жилых домов, тыс. м2 общей площади; (Х10). Построена следующая модель:

Y=9,994 + 3,809*X2 + 0,120*X3 + 0,069*X4+ 0,156*X10

Все отобранные факторы статистически значимы, так как фактический t-критерий Стьюдента больше табличного (приложение В). Об этом свидетельствует графа 5 таблицы рисунка 4.2.4 (P-Value), в которой отражены вероятности наиболее существенных факторов динамики средней обеспеченности населения жильём.

Дисперсионный анализ (Analysis of Variance) позволяет получить F- критерий для оценки адекватности модели. Представленные на рисунке 4.2.4 данные свидетельствуют о хорошей адекватности модели. Фактический критерий Фишера (F-Ratio), равный 252,92, в 69,7 раза больше табличного значения. Стандартная ошибка остатков (Standard Error of Est.) составляет 0,164. Приведенный с учетом степеней свободы коэффициент детерминации (R-squared (adjusted for d.f.) равный 98,726% свидетельствует о том, что вариация средней обеспеченности населения жильём на 98,7% обусловлена включенными в модель факторами. Статистика Дарбина–Уотсона (Durbin-Watson statistic), составляющая 2,026, говорит об отсутствии автокорреляции (рисунок 4.2.5 и приложение А).

2,026

Рисунок 4.2.5 − Таблица определения наличия или отсутствия автокорреляции на основе критерия Дарбина −Уотсона

65

На рисунке 4.2.6 приведено также неполное содержание окна статистического консультанта (Stat Advisor). Внизу рисунка дополнительно дан русский перевод.

Таким образом, по всем проверенным критериям полученное уравнение регрессии имеет статистически значимые коэффициенты, сама модель является типичной, без автокорреляции в остатках, следовательно, данное уравнение можно использовать для получения достоверных и точных прогнозов.

The StatAdvisor

The output shows the results of fitting a multiple linear regression model to describe the relationship between Y and 10 independent variables. The equation of the fitted model is

Y = 9,994 + 0,156*X10 + 3,809*X2 + 0,120*X3 + 0,069*X4

Since the P-value in the ANOVA table is less than 0.01, there is a tatistically significant relationship between the variables at the 99% confidence level.

The R-Squared statistic indicates that the model as fitted explains 99,1183% of the variability in Y. The adjusted R-squared statistic, which is more suitable for comparing models with different numbers of independent variables, is 98,7264%. The standard error of the estimate shows the standard deviation of the residuals to be 0,164184. This value can be used to construct prediction limits for new observations by selecting the Reports option from the text menu.The mean absolute error (MAE) of 0,0978855 is the average value of the residuals. The Durbin-Watson (DW) statistic tests the residuals to determine if there is any significant correlation based on the order in which they occur in your data file. Since the DW value is greater than 1.4, there is probably not any serious autocorrelation in the residuals.

Вывод показывает результаты построения модели линейной регрессии между Y и 10 независимыми переменными. Уравнение регрессионной модели имеет вид:

Y = 9,994 + 0,156*X10 + 3,809*X2 + 0,120*X3 + 0,069*X4

Так как P-значение в таблице дисперсионного анализа меньше чем 0.01, то имеется статистически существенная связь между анализируемыми переменными при уровне доверия 99%.

Коэффициент детерминации (R-Squared) указывает, что 99,118% дисперсии зависимой переменной Y объясняется включенными в модель факторами. Скорректированный R-squared, который является более подходящим для сравнения моделей с различным количеством независимых переменных, равен 98,726%. Стандартная ошибка оценивания, означающая среднеквадратическое отклонение остатков, равна 0,164. это значение может быть использовано при расчете доверительных интервалов для новых наблюдений при выборе пункта Reports из табличных опций.

Средняя абсолютная ошибка (MAE) – 0,098 – средняя оценка residuals (остатков). Статистика Дарбина – Уотсона (DW) свидетельствует об отсутствии автокорреляции остатков.

Рисунок 4.2.6 − Окно Stat Advisor с русским переводом.

Дадим интерпретацию коэффициентов уравнения. Из построенной модели видно, что при увеличении средней стоимости строительства за 1 м2, на 1 рубль показатель обеспеченности возрастает на 3,809 м2; при росте среднедушевых месячных доходов населения на 1 тыс. руб. средняя обеспеченность населения края жильем увеличится на 0,12 м2 на человека; при увеличении удельного веса частного жилого фонда на 1% обеспеченность возрастает на 0,069 м2; при повышении ввода в действие

позволит определить степень влияния факторной переменной на результат. Рассмотрим принципы анализа степени влияния факторов на нашем

Если сопоставить значения коэффициентов эластичности, то можно видеть, что главным фактором изменения результативного показателя является фактор Х3 (денежные доходы в расчете на душу населения в среднем за месяц, тыс.руб.). При его увеличении на 1% У (средняя обеспеченность населения жильём всего м2 общей площади на одного жителя) возрастает на 0,296%. Вторым по силе влияния на результат является фактор Х4 (удельный вес частного жилого фонда, %). С ростом этой переменной на 1% средняя обеспеченность жильем на 0,07%. Третьим – фактор Х2 (средняя стоимость строительства за 1 м2, руб), с увеличением этого фактора на 1% средняя обеспеченность возрастает на 0,065%. Самым незначительным влиянием обладает переменная Х10 (ввод в действие жилых домов, тыс. м2 общей площади), с ростом этого фактора на 1% обеспеченность жильем населения края увеличивается на 0,008%.

Сравнение i позволяет сделать вывод, что с учетом уровня колеблемости факторов наибольшие резервы в изменении результативного показателя заложены в увеличении фактора Х3.

Сопоставление значений коэффициентов i позволяет сделать вывод, что наибольшую долю влияния имеет фактор Х3. Роль этого фактора в вариации средней обеспеченности населения жильем составляет 849,3%

67

общего влияния двух факторов на результативный показатель. Доля влияния второго фактора Х4 значительно уступает и составляет 116,3%, а третьего фактора – 7,8%

Следовательно, наибольшие возможности в изменении выручки от реализации У связаны с изменением факторов Х3 (денежные доходы в расчете на душу населения в среднем за месяц, тыс. руб.) и Х4 (удельный вес частного жилого фонда, %)

Для построения прогноза по множественной корреляционнорегрессионной модели построим отдельно для каждого фактора его регрессию на фактор времени, другими словами построим трендовые модели, а также прогноз для каждого фактора. Выбор формы тренда и построение прогноза проводим в соответствии с методикой, описанной ранее (раздел 3.5)(таблица 4.2.2).

Таблица 4.2.2 − Трендовые модели для факторов, включенных во множественную корреляционно-регрессионную модель

Используя трендовые модели, представленные в таблице 4.2.2 построим точечные и интервальные прогнозы по исследуемым факторам (таблица

4.2.3).

Таблица 4.2.3 − Прогнозные значения факторов, включенных во множественную корреляционно-регрессионную модель.

68

Полученные прогнозные значения подставим в уравнение множественной регрессии:

Y=9,994 + 3,809*X2 + 0,120*X3 + 0,069*X4+ 0,156*X10.

В результате подстановки получим прогнозные значения, которые приведены в таблице 4.2.4.

Таблица 4.2.4 – Прогнозные значения и доверительные интервалы средней обеспеченности жильем жителей Хабаровского края, полученные

на основе множественной регрессии

Результаты прогноза показывают, что население Хабаровского края в ближайшем будущем ожидает повышение средней обеспеченности жильем (в основном за счет роста денежных доходов). К 2009 году средняя обеспеченность жильем составит 21,63 м2 на человека, т.е. возрастет по сравнению с 2005 годов на 8,7% (среднегодовой темп прироста составит

2,1%).

Контрольные вопросы к разделу 4

1.Охарактеризуйте основные этапы прогнозирования по множественной корреляционно-регрессионной модели.

2.С помощью каких критериев можно оценить адекватность множественной корреляционно-регрессионной модели?

3.В чем сущность пошаговой регрессии? Какие виды пошаговой регрессии реализованы в пакете STATGRAFICS?

69

4.На основе каких показателей можно определить наиболее значимые факторы влияния на результат?

5.Каким образом проводится прогноз по множественной регрессии в системе STATGRAFICS?

5.Периодизация социально-экономических процессов

5.1. Условия временной периодизации

Главное условие проведения статистического анализа – однородность данных. Однородность совокупности реализуется либо на основе типологической группировки, либо на основе многомерной группировки (кластерный анализ, распознавания образов и т.п.). Во временных рядах эта проблема решается с помощью периодизации – разбиение динамических рядов на интервалы однокачественного развития.

При изучении хронологических аспектов массовых процессов приходится решать несколько задач:

-характеристика интенсивности изменений в уровнях показателей от периода к периоду, от даты к дате;

-определение средних значений изучаемых параметров;

-выявление закономерностей изменений явлений во времени;

-интерполяция и экстраполяция;

-изменение факторов, детерминирующих динамику явлений.

Как правило, качественному скачку в динамике процесса, приводящего к смене закономерности, предшествует его непрерывное количественное изменение.

Периодизация динамики представляет собой процесс выделения однокачественных этапов (периодов) развития, расчленения динамических рядов на однородные интервалы. По существу, периодизация является своеобразной типологической группировкой, в которой в качестве элементов совокупности, подлежащей разбиению, выступают уровни изолированного или комплексного хронологического ряда.

Принято считать однородными такие хронологические интервалы, в пределах которых изменение уровней ряда подчинено одному закону

70

развития. Однородным считается промежуток времени, удовлетворяющий одной из следующих ситуаций, имеющих конкретную интерпретацию:

1)yti yt j C1 - равенство уровней ядра (здесь и далее равенство

понимается в статистическом смысле);

2)yti yt j C2 − равенство абсолютных приростов (постоянная

скорость изменения уровней ряда);

3)yti yt j C3 − равенство вторых абсолютных разностей

(постоянное ускорения или замедление изменений уровней ряда);

Существует несколько методов периодизации: многомерная средняя; кластерный анализ; факторный анализ; дендриты и другие методы многомерной классификации. Рассмотрим один из наиболее простых методов – кластерный анализ, который реализован в пакете

STATGRAFICS.

Кластерный анализ – совокупность многомерных статистических методов классификации объектов, основанных на представлении результатов отдельных наблюдений точками соответствующего геометрического пространства с последующим выделением групп как «сгустков» этих точек (кластеров, таксонов).

К кластерному анализу относятся методы автоматической классификации без обучения, основанные на определении понятия расстояния между объектами и не требующей априорной информации о распределении генеральной совокупности.

Кластерный анализ предполагает выделение компактных, удаленных друг от друга объектов, отыскивает «естественное» разбиение совокупности на области скопления объектов. Используется, когда исходные данные представлены в виде матриц близости или расстояний между объектами либо в виде точек в многомерном пространстве.

71

Наиболее распространены данные второго вида, для которых кластерный анализ ориентирован на выделение некоторых геометрически удаленных групп, внутри которых объекты близки.

Выбор расстояния между объектами является центральным моментом исследования, от него во многом зависит окончательный вариант разбиения объектов на классы при данном алгоритме разбиения. В задачах кластерного анализа широко используются расстояния Махаланобиса, «обычное и «взвешенное» Евклидово расстояние, Хемингово расстояние и расстояния, измеряемые по принципу «ближайшего соседа» и «дальнего соседа», по «центру тяжести» групп.

Выбор расстояния определяется в первую очередь структурой признакового пространства и целью классификации. Наиболее трудным считается определение однородности объектов, которые задаются

5.2. Периодизация на основе кластерного анализа, реализованного в пакете STATGRAFICS

ВSTATGRAFICS реализовано 6 видов иерархических агломеративных процедур и одна неиерархическая процедура кластерного анализа типа k - средних. Последняя использует начальный набор зарождающихся точек, указанных исследователем. Зарождающие точки – это отдельные элементы данных, которые применяются для «запуска» процесса кластеризации.

Восновном модуле Special (специальный) выберем пункт Multivariate Methods (многомерные методы). В открывшемся меню найдем пункт Cluster Analysis (кластерный анализ) появится окно Кластерного анализа (рисунок 5.2.1).

73

Выберем пункт Analysis Options (опции анализа) система покажет панель Cluster Analysis Options (опции кластерного анализа) (рисунок

5.2.3).

Method − метод ; Nearest Neighbor – ближнего соседа; Furthest Neighbor –

дальнего соседа; Centroid − центроид; Median − медиана; Group Average - групповые средние ; Ward's – метод Уорда; k-Means - k-средних ; Number of Clusters –

количество кластеров; Distance Metric – метрическое расстояние; Squared Euclidean – взвешенное Эвклидово; Euclidian - эвклидово; City Block – сити блок; Cluster −

кластер; Observations - наблюдения; Variables - переменные; Standardize –

стандартизировать.

Рисунок 5.2.3 – Панель Cluster Analysis Options (опции кластерного анализа)

В области Method (метод) установим переключатель Furthest Neighbor (дальнего соседа), т.е. кластеризация будет проводиться методом дальнего соседа. Активизируем переключатель метрических расстояний Euclidian (эвклидово расстояние). Отметим флажком поле Standardize (стандартизировать) для нормирования входных переменных. В поле Number of Clusters (количество кластеров) введем цифру три. Переключатель Cluster (кластер) оставим без изменения, т.е. разобьем динамический ряд на три периода (рисунок 5.2.3).

После активизации кнопки OK система выдаст сводку (рисунок 5.2.4).

74

Analysis Summary

----------------

Data variables: X1

X10

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

Y

Number of complete cases: 14

Clustering Method: Furthest Neighbor (Complete Linkage)

Distance Metric: Euclidean

------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------

Cluster X8 X9 Y

-----------------------------------

-----------------------------------

Рисунок 5.2.4 − Сводка кластерного анализа Данные кластеризации свидетельствуют, что методом дальнего соседа

образованы три кластера. В первый кластер входят 3 наблюдения, или 21,43% всех анализируемых лет. Второй кластер включает 7 лет, или 50% всех наблюдений. Третий кластер содержит 4 года, или 28,57% совокупности наблюдений. Система также рассчитала центроидные значения переменных. Средняя обеспеченность жильем населения края самого наихудшего периода социально-экономического развития края составила 16 м2. В период становления рыночных отношений средняя обеспеченность жильем немного выросла и достигла 17,5 м2. Период