Замечание о поиске 2-х производных
Поиск 2-й производной от дробной функции можно упростить, разложив дробь на целую часть и правильную дробь (например, разделив уголком или методом неопределённых коэффициентов).
Пример 3.
,
Разложим и учтём, что
:
,
тогда
.
Очевидно,
при
и
при
.
Пример 4.
,
Применим формулу
:
,
тогда
.
Для выяснения
знака
замечаем, что
не существует при
,
а также
,
тем самым ось надо
разбить на интервалы точками
и
.
Окажется, что
при
и
при
и при
(проверьте).
Пример 5.
,
В числителе нужен фрагмент, делящийся
на знаменатель:
.
Поиск
проще, чем
.
Вначале находим
,
затем, вынося как можно больше множителей за скобки,
,
откуда, с учётом
коэффициента –5 и того, что
,
.
Знаменатель
положителен, а числитель даёт 3 точки,
и знак чередуется, начиная с
при
.
Также можно упростить дифференцирование, если дробь правильная, но содержит квадрат или куб скобки, и т.п.
Пример 6.
,
.
Учитывая, что
,
находим
и затем
.
Получается, что
при
и
при
,
причём
.
Пример 7.
,
Разложим дробь так:
.
Теперь можно
заметить, что
,
и поэтому
.
Тем самым
,
и тогда
а)
;
б)
.
Для поиска корней
вынесем за скобки
:
,
откуда
– точка разрыва, а
и
– корни числителя.