- •III. Производная и исследование функций
- •§ 6. Основы дифференцирования функций
- •Производные от основных элементарных функций
- •Обобщённая таблица основных производных
- •Дополнительные примеры поиска производных
- •Примеры поиска производных для функций тройной вложенности
- •§ 7. Логарифмическое дифференцирование
- •§ 8. Правило Лопиталя – Бернулли
- •§ 9. Исследование функций и построение графиков
- •Общая схема исследования функции
- •1) Элементарное исследование:
- •2) Монотонность и экстремум:
- •3) Выпуклость и перегиб:
- •Замечание о поиске 2-х производных
§ 7. Логарифмическое дифференцирование
Логарифмическое дифференцирование обычно применяют, чтобы найти производные от степенно-показательных функций или от произведений и дробей , где – действительные числа.
В этих случаях можно найти логарифм функции, упростить его по основным свойствам логарифмов, продифференцировать то, что получилось, и умножить на первоначальную функцию.
Правило дифференцирования следует из формулы .
Пример 1. Применяя свойство , находим
,
тогда
,
т.е. . Поэтому
,
или, после раскрытия скобок, .
Пример 2. Здесь , тогда
,
поэтому .
Пример 3. Найдём производную функции .
Логарифмируем:
,
выносим степень:
,
дифференцируем:
.
Тогда
.
Пример 4.
Можно раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и продифференцировать частное, но лучше найти
и затем .
Полученную сумму умножим на исходную функцию. Раскрывать скобки нет смысла – наоборот, в таких задачах желательно выносить общий множитель. Итак,
.
Пример 5.
Раскрыть скобки невозможно из-за корней, и непосредственное дифференцирование весьма громоздко. Поэтому ищем
,
затем по свойству логарифма выносим степени:
,
и тогда
.
Окончательно
.
ЛД1. Найдите производные функций
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
ЛД2. Найдите производные функций при помощи логарифмического дифференцирования. Укажите, в каких точках производная не определена:
1) ;
2) ;
3) .
ЛД3. Найдите производные при помощи логарифмирования:
1) а) ; б) ;
2) а) ; б) ;
3) а) ; б) .
Пример 6. Пусть , тогда
,
соответственно
,
и тогда
.
§ 8. Правило Лопиталя – Бернулли
Правило позволяет раскрывать неопределённости и , а также, после приведения к указанным дробям, неопределённости , , и .
Оказывается, если в некоторой точке две функции равны 0, то предел их отношения такой же, как у отношения производных: .
Подобное свойство выполнено, если функции в точке a становятся бесконечно большими: .
Кроме того, оба свойства справедливы, когда , а не к точке a.
Пример 1. Найдём . Поскольку и , то
.
Разумеется, можно было вначале сократить и потом подставить 2.
Пример 2. .
Пример 3. (или )
(если забыть, что при любых и всегда ).
Пример 4. Правило Лопиталя – Бернулли можно применять несколько раз:
.
(тем самым при любых и , даже при и ).
Правило нельзя применять, если нет неопределённости или .
Пример 5. , при этом .
ЛБ1. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли
1) а) ; б) ; в) ; г) ;
2) а) ; б) ; в) ; г) ;
3) а) ; б) ; в) ; г) ;
4) а) ; б) ; в) ; г) ;
5) а) ; б) ; в) ; г) .
Неопределённость можно раскрыть, заменив на или .
Пример 6. Найдём . Учтём, что , тогда
.
Неопределённость приводят к , а затем – к или .
Пример 7. Найдём . Преобразуем:
.
Но , и . Тогда отношение производных можно упростить до .
Значит, .
В данном примере можно было сразу после взятия производных учесть, что при , и не записывать громоздкий корень, а заменять числом 1. Однако так нельзя делать, если из корня такое же число 1 вычитается.
ЛБ2. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли
1) а) ; б) ; в) ;
2) а) ; б) ; в) ;
3) а) ; б) ; в) .
Применение правила можно совмещать с переходом к эквивалентным бесконечным малым величинам и с подстановкой чисел.
Пример 8. , дифференцируем числитель и знаменатель:
.
Но , , а при и , тогда
.
ЛБ3. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли
1) а) ; б) ; в) ; г) ;
1) а) ; б) ; в) ; г) .