Сафоненко Практикум по интерфейсам последователной передачи 2012

sum=0; %устанавливаемначальное значение

for i=1:numel(rnd_sort)-1 %находим распределение sum=sum+cnt(i);

f(i)=sum; %f(x) равное вероятности того, %что x<i

end

Рис. 14. Результаты моделирования функции распределения по методу обращения

Результаты моделирования приведены на рис. 14. Теоретические значения и данные эксперимента совпадают в пределах погрешности 5 %.

В табл. 6 приведены алгоритмы для наиболее часто встречающихся законов распределения, полученные методом обращения. Величина x распределена равномерно на интервале [0,1].

91

Тестирование генераторов случайных величин

В первую очередь оценим качество базовых генераторов равномерно распределенных случайных величин. С помощью статисти-

92

ческих тестов проверяется свойство равномерности распределения чисел на интервале [0,1] и их статистическая независимость.

Достаточно простым методом проверки равномерности распределения является частотный тест. Он основан на законе больших чисел и выполняется по следующему алгоритму. Единичный интервал делится на K равных отрезков. Последовательность из N случайных чисел упорядочивают по массиву интервалов. Пусть n1,..., nk,..., nN – число попаданий чисел в соответствующие интер-

валы N = ∑nk . Относительные частоты попаданий в отрезки:

закону больших чисел, каждая частота pˆi сходится к вероятности

совместить с оценкой математического ожидания и дисперсии по формулам:

точным значениям.

Статистическое тестирование выборки псевдослучайных чисел по критерию Колмогорова–Смирнова

По критерию Колмогорова–Смирнова (КС-критерию) осуществляется проверка простой статистической гипотезы H0 (нулевой гипотезы) о том, что функция распределения F(x) случайной величины X совпадает с некоторой известной функцией F0(x) при некотором уровне значимости α. КС-критерием можно пользоваться уже при объеме выборки n ≥ 20.

В системе MATLAB КС-критерий реализован функцией kstest. Рассмотрим пример использования функции kstest для проверки гипотезы о том, что функция распределения выборки, сформированной с помощью функции rand, соответствует функции распределения экспоненциального закона с параметром 1 той же самой

выборки.

93

Программное решение примера в командном окне MATLAB: x = rand(25,1);

F0 = expcdf(x,1); H = kstest(x,[x,F0]) H =

1

Полученный результат H = 1 означает, что нулевая гипотеза отвергается, т. е. выборочная функция равномерного распределения в интервале [0,1] имеет значительные расхождения с предполагаемой функцией экспоненциального распределения с уровнем значимости α = 0.05 (по умолчанию). Если выбран уровень значимости, отличный от 0.05, он должен быть введен в функцию kstest. Выполним пример для уровня значимости 0.01:

x = rand(25,1); F0 = expcdf(x,1);

H = kstest(x,[x,F0],0.01) H =

1

По-прежнему нулевая гипотеза отвергается.

Рассмотрим пример использования функции kstest для проверки гипотезы о том, что функция распределения выборки, сформированной с помощью rand, соответствует функции распределения равномерного закона из интервала [0,1] той же самой выборки.

Решение примера в командном окне MATLAB: x = rand(25,1);

F0 = unifcdf(x,0,1); H = kstest(x,[x,F0]) H =

0

Гипотеза о совпадении распределении выборки с равномерным подтверждается.

Критерий независимости случайных чисел

Корреляционная функция позволяет оценить зависимость двух случайных процессов. Автокорреляционная функция используется в случае статистического анализа зависимости значений внутри реализации случайного процесса.

94

Для определения корреляционной функции формируется выборка с достаточно длительным временем реализации процесса. Интервал двух значений процесса обозначим τ, корреляционную функцию обозначим R(τ). Рассмотрим дискретную модель процесса. Интервал τ двух значений процесса заменим разностью k их номеров. Пусть в результате реализации процесса получено N отсчетов. Для всех пар отсчетов, отстоящих друг от друга на k номеров, построим дискретную корреляционную функция по следующей формуле:

Для центрированных случайных величин корелляционная функция называется центрированной, обозначим её R. Нормированной кор-

~

реляционной функцией R называется отношение центрированной корреляционной функции к дисперсии D случайного процесса. Тогда нормированная корреляционная функция будет определяться в виде отношения

Генератор случайных чисел считается хорошим, если при k, не равным нулю, модуль нормированной корреляционной функции

меньше 0.1, т.е. R < 0.1 .

Приведем пример анализа независимости последовательности случайных чисел, формируемых функцией rand, с помощью автокорреляционной функции.

Программный код решения примера: clear,clc

%Задание количестваточек

N = 800; %Генерация x = rand(N,1);

%Центрирование случайных величин y = x – mean(x);

%Расчет нормированной автокорреляционной функции

R=xcorr(y,'unbiased')/var(y);

95

Методы систем массового обслуживания в интерфейсах

Однолинейная система обслуживания

В литературе широко распространен термин « системы массового обслуживания» (СМО). Исторически большая часть современной теории массового обслуживания была разработана в начале двадцатого столетия в ходе исследования очередей телефонных сообщений.

96

При исследовании сетей с коммутацией пакетов проблемы очередей возникают совершенно естественно. Пакеты поступают на вход пункта назначения, накапливаются, обрабатываются, а затем передаются в выбранный канал. Время, затраченное на ожидание обработки в накопителе, отражает качество работы канала. За-

держка передачи, в том числе время ожидания обслуживания, счи-

тается одним из основных критериев оценки качества предоставленных услуг связи. Время ожидания зависит от времени обработки, от интенсивности поступления пакетов в узел, дисциплины обслуживания, применяемой при обработке пакетов. Предположим, что каждый канал одновременно может обрабатывать только один пакет.

Рассмотрим простейшую модель обслуживания, показанную на рис. 16.

Рис. 16. Модель однолинейной системы обслуживания

Пакеты поступают в приемник порта случайным образом с частотой λ пакетов за 1 секунду. Для ожидания обслуживания применяется накопитель. Обозначим:

λ – среднее число пакетов данных на входе канала за 1 с; μ – среднее число обработанных пакетов за 1 с; С – скорость передачи данных.

Часто говорят о скорости передачи или пропускной способности канала в бит/с или знаках/с. Единица измерения [бит/с] обычно отражает полезную среднюю скорость передачи данных. Единица измерения [Бод] по размерности соответствует [бит/с], но отражает среднюю скорость передачи данных, включая служебную информацию. Следовательно, представляет завышенные, с точки зрения пользователя, характеристики канала. Например, канал, обрабатывающий пакеты длиной 1000 бит/пакет и передающий со скоростью С = 2400 Бод. Среднее число обработанных пакетов за 1 с μ = 2,4 пакета/с. Если пакет содержит заголовок служебной информации размером 200 бит, то фактическая скорость передачи

97

С= 1920 бит/с, но число обработанных пакетов за 1 с сохранится μ

=2,4 пакета/с.

Интенсивностью нагрузки или коэффициентом загрузки однолинейного канала называется параметр ρ ≡ λ/μ. Очевидно, что очередь начинает расти, если параметр λ приближается к скорости обработки μ. Значения ρ, близкие или большие единицы, вызывают перегрузку, скученность или отказы в виде блокировки поступлений. Условие эргодичности канала предполагает его способность за конечное время обработать все пакеты, принятые в буферный накопитель, без потерь.

Системы с марковскими процессами

При определении марковского процесса используются три предпосылки. Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени ∆t. Вероятность приема одного пакета в течение ∆t равна λ(∆t)+o(∆t). Свойство ординарности предполагает, что вероятность появления двух и более событий в бесконечно малом промежутке времени ∆t есть бесконечно малая величина по сравнению с ∆t (рис. 17). Стационарность или однородность во времени предполагает, что свойства потока во времени не претерпевают изменений. Свойство без последействия означает, что событие получить пакет в промежутке ∆t не зависит от событий в предшествующих или последующих промежутках, а зависит только от длительности самого промежутка. Перечисленные свойства определяют так называемый простейший поток событий, или пуассоновский поток, который также относится к классу марковских.

Рис. 17. Определение простейшего потока

98

Пусть Т – промежуток времени конечной длины. Можно найти вероятность р(k) наблюдения в течение промежутка Т ровно «k» событий :

Это равенство называется распределением Пуассона. Среднее количество событий за промежуток Т:

k =0

Выражение Е(k) будем использовать в качестве функции вычисления среднего значения совокупности величин. Дисперсия распределения, т.е. среднеквадратичное отклонение от E(k) оказывается равным E(k):

Средний интервал между двумя последовательными событиями:

Британский статистик Кендалл предложил классифицировать системы по схеме A/B/C/D, где А обозначает модель входного потока, В – модель обработчика, С – число обслуживающих приборов, а D – это число мест в очереди (емкость накопителя, может быть конечной или бесконечной). В частности, для обозначения пуассоновского процесса применяется символ М (Markovian). Например, система обслуживания типа М/М/m характеризуется пуассоновским входящим потоком, показательным распределением времени обслуживания и числом каналов m без ограничений на размер буферного устройства и время ожидания обработки. Система М/G/1 характеризуется пуассоновским входящим потоком, произвольным (от слова General) распределением времени обслуживания и одним каналом. Система М/D/1 характеризуется постоянным, детерминированным распределением времени обслуживания.

99

Статические свойства системы М/М/1 можно изучить по величине pn – вероятности того, что в системе находятся n пакетов,

включая пакет, находящийся на обслуживании. Предполагаем, что система работает в установившемся режиме и указанные вероятности не изменяются исходя из предположения о равновесии процессов приема и обработки пакетов данных. Рассмотрим диаграмму состояний (рис. 18) системы М/М/1. Ввиду предположений о пуассоновском процессе переходы возможны между соседними состояниями с интенсивностью λ при поступлении пакета в систему и с интенсивностью μ по завершении обработки пакета.

Рис. 18. Диаграмма состояний системы М/М/1

При малых значениях ∆t выражение λ∆t в точности равно вероятности перехода на одно состояние вправо за счет поступления или вероятности μ∆t перехода на одно состояние влево за счет завершения обработки пакета. Если система находится в состоянии простоя, она может перейти только вправо за счет поступления пакета. Предположение о стационарном и равновесном состоянии системы позволяет сделать вывод, что интенсивность переходов из состояния n должна быть равна интенсивности переходов в это состояние из n + 1 или n − 1, следовательно:

Левая часть этого уравнения описывает интенсивность уходов из состояния n, если известно, что система находится в состоянии n с

вероятностью pn . Правая сторона равенства (12) описывает интен-

сивность приходов в состояние n из состояний n − 1 или n + 1. Обратимся теперь к области 1 (см. рис. 18). Она охватывает все

множество точек от 0 до n. Поток, поступающий в эту область, равен μ*pn+1, а поток, покидающий ее, равен λ*pn. Приравнивая эти два потока, получим систему рекуррентных соотношений для стационарного состояния интерфейса:

100