Плясов Лабораторный практикум по курсу обсчей физики 2011

значения результата измерений в серии, т.е. от xmin = x − x до

xmax = x + x .

Тогда формула для вычисления случайной погрешности методом Корнфельда имеет вид

x = xmax − xmin .

2

В качестве аппроксимации среднего арифметического в методе Корнфельда используется полусумма максимального и минимального значения величины x:

x = xmax + xmin .

2

В теории доказывается, что для метода Корнфельда соответствующая доверительная вероятность определяется числом измерений n в серии по формуле:

α=1− 1 n−1 .

2

Главным недостатком метода Корнфельда является то, что при фиксированном числе измерений нельзя произвольно выбрать доверительную вероятность. Именно поэтому формулу для сложения приборной и случайной погрешностей, написанную ранее, нельзя применять, если случайная погрешность рассчитана методом Корнфельда.

Однако несмотря на этот недостаток, метод Корнфельда рекомендуется использовать при обработке результатов измерений некоторых лабораторных работ из настоящего практикума, в тех случаях, когда он применим. Это обусловлено, во-первых, тем, что он достаточно прост, а, во-вторых, в подавляющем большинстве слу-

чаев либо xсл >> xпр , либо xсл << xпр , поэтому проблемы сложения погрешностей не возникает.

Вслучае если метод Корнфельда не применим, для расчета случайной погрешности необходимо использовать более сложные методы.

Внаучных статьях общепринятым является использование в ка-

честве случайной погрешности среднего xсл так называемой

21

стандартной погрешности, или стандартной ошибки σx , чис-

ленно равной среднеквадратичной погрешности среднего значения величины X :

Для стандартной погрешности доверительная вероятность, т.е. вероятность того, что истинное значение x лежит в пределах дове-

рительного интервала: (x −σx , x + σx ), если число измерений ве-

лико n 1 (иногда достаточно, чтобы n > 5), равна приблизительно

α = 0,7.

Отметим также, что при n 1 вероятность того, что истинное значение x лежит в пределах доверительного интервала (x −3σx , x + 3σx ) , равна приблизительно α = 0,997, т.е. за предела-

ми доверительного интервала оказывается менее 0,3 % результатов. Поэтому величина 3σx является критерием промаха (см. ранее).

Если же число измерений невелико, или если необходимо рассчитать случайную погрешность среднего xсл для произвольного

значения доверительной вероятности (не равной 0,7), то необходимо умножить стандартную ошибку на коэффициент Стьюдента tα,n, зависящий от выбранной доверительной вероятности α и числа измерений n:

В каждом конкретном случае экспериментатор самостоятельно выбирает доверительную вероятность. Зная α и n по таблице коэффициентов Стьюдента можно определить соответствующий коэф-

фициент tα,n.

Приборная погрешность. Приборная погрешность измерения σпр определяется для каждого измерения в отдельности и складывается из двух частей – погрешности показаний σпоказ и погрешности отсчета σотсч, рассчитанных при одинаковой доверительной

22

вероятности. В общем случае сложение погрешностей осуществляется по формуле:

σпр = (σпоказ )2 +(σотсч )2 .

Однако часто одна из них значительно превосходит другую, поэтому в качестве приборной погрешности следует брать максимальную из погрешности показаний и погрешности отсчета:

σпр = max (σпоказ, σотсч ).

Погрешность показаний связана с неточностью самого прибора. Для доверительной вероятности α = 0,7 погрешность показаний определяется предельной (максимальной) приборной погрешностью xm по формуле:

σпоказ = xm 3 .

Предельная приборная погрешность xm приводится в паспортных данных прибора и связана с его классом точности γ соотношением:

где xm – предел измерения прибора.

Для магазинов сопротивлений, емкостей и других приборов с пошаговым (дискретным) изменением показаний в формуле для класса точности вместо предела измерений прибора следует взять непосредственно измеренное значение x, т.е.

γмагазина = xxm 100 % .

Погрешность отсчета возникает при снятии отсчета со стрелочных приборов. Для прибора с ценой деления шкалы lцд погреш-

ность отсчета, отвечающая доверительной вероятности α = 0,7, определяется по формуле:

σотсч = 13 lцд2 .

23

Для доверительной вероятности α = 0,997 погрешности показаний и отсчета вычисляются по формулам:

У цифровых приборов погрешность отсчета отсутствует. А погрешность показаний цифровых приборов либо определяется текущим показанием прибора с помощью определенной формулы из описания самого прибора, либо равна единице в последнем разряде измеряемой величины.

Сценарий расчета погрешности прямых измерений. При расчете погрешности каждой серии измерений в любой лабораторной работе необходимо выполнить следующие действия.

1.Вычислить среднее значение величины x.

2.Рассчитать случайную погрешность методом Корнфельда.

3.Если случайная погрешность равна нулю, рассчитать приборную погрешность для самостоятельно выбранной доверитель-

ной вероятности (рекомендуется α = 0,7) и взять ее в качестве окончательного значения погрешности.

4.Если случайная погрешность, рассчитанная методом Корнфельда, не равна нулю, то, исходя из числа измерений в серии, рассчитать доверительную вероятность, соответствующую этой погрешности. Так как во всех работах настоящего практикума рекомендуется выполнять серии не более чем из 5–6 измерений, то соответствующая доверительная вероятность окажется меньше 0,997.

5.Для доверительной вероятности α = 0,997 рассчитать погрешность отсчета, погрешность показаний и по ним найти приборную погрешность.

6.Сравнить таким образом рассчитанные случайную и приборную погрешности. Если случайная, рассчитанная методом Корнфельда для меньшей доверительной вероятности, не менее чем в 3 раза больше приборной, то взять ее в качестве окончательного значения погрешности. Вычислить среднее значение величины x методом Корнфельда.

7.Если это условие не выполняется рассчитать стандартную ошибку для доверительной вероятности 0,7. Если число измерений больше 5, то в качестве случайной погрешности взять стандартную

24

ошибку, если число измерений меньше или равно 5 – случайную ошибку, умноженнуюна соответствующийкоэффициентСтьюдента.

8.Рассчитать приборную погрешность для доверительной вероятности 0,7.

9.Исходя из соотношения случайной и приборной погрешности, найти окончательный результат для абсолютной погрешности серии измерений.

10.Рассчитать относительную погрешность результата.

11.Записать результат для серии измерений.

2. Запись результата с погрешностью

Заканчивая рассмотрение общих положений, отметим, что погрешность сама определена неточно (с некоторой погрешностью). Поэтому погрешность принято записывать с точностью до одной значащей цифры, если первая значащая цифра не единица. Под значащей цифрой здесь подразумевается любая цифра результата, кроме нулей, стоящих впереди.

Пример неправильной записи: ± 0,084; ± 0,30; ± 2,1. Здесь в трех случаях записано по две значащие цифры: 84, 30 и 21.

Пример правильной записи: ± 0,08; ± 0,3; ± 2.

В случае, если первая значащая цифра 1, то указывается две значащих цифры. Пример: ± 0,14 (а не ± 0,1).

Результат измерений округляется так, чтобы последняя цифра результата соответствовала последней значащей цифре погрешности.

Пример неправильной записи:

Длина стержня l = (10,83 ± 0,4) мм.

Пример правильной записи:

Длина стержня l = (10,8 ± 0,4) мм.

Заметим, что в промежуточных расчетах полезно сохранять один лишний знак, который при окончательной записи устраняется.

3. Примеры

Пример 1. Проведена серия измерений периода колебаний маятника с помощью цифрового секундомера, табло которого имеет четыре разряда, единицы измерения – миллисекунды (результаты

25

приведены в табл. 2). Рассчитать среднее значение периода и его погрешность для самостоятельно выбранной доверительной вероятности.

Так как все значения периода одинаковы, то разброса нет, а сле-

отсчета у него нет и при доверительной вероятности α = 0,997 приборная погрешность равна σпр = Tm = 0,001 мс.

Следовательно, полученную приборную погрешность нужно взять в качестве окончательной погрешности периода. Таким образом, окончательный результат для представленной в таблице серии измерений периода имеет вид

T = (2,577 ± 0,001) 10−3 с, δT = 0,03 %, α = 0,997

Пример 2. Проведена серия измерений периода колебаний маятника с помощью цифрового секундомера, табло которого имеет четыре разряда, единицы измерения – миллисекунды (результаты приведены в табл. 3). Рассчитать среднее значение периода и его погрешность для самостоятельно выбранной доверительной вероятности.

Для расчета погрешности периода воспользуемся методом Корнфельда.

Предельная приборная погрешность секундомера равна Tm = 0,001 мс. Так как это – цифровой прибор, то при довери-

26

тельной вероятности α = 0,997 приборная погрешность равна

σпр = Tm = 0,001 мс.

В рассматриваемой серии из пяти измерений при использовании метода Корнфельда доверительная вероятность будет равна:

α=1− 1 5−1 = 0,93 .

2

Среднее значение периода и его случайная погрешность, вычисляемые методом Корнфельда, равны:

Следовательно, приборная погрешность много меньше случайной. Поэтому именно случайную нужно взять в качестве окончательной погрешности периода. Таким образом, окончательный результат для представленной в таблице серии измерений периода имеет вид

T = (2,572 ± 0,009) 10−3 с, δT = 0,3 %, α = 0,93.

Пример 3. Проведена серия измерений силы тока с помощью стрелочного амперметра, шкала которого имеет 75 делений, предел измерения равен 7,5 мА, а класс точности прибора равен 0,1 (результаты приведены в табл. 4). Рассчитать среднее значение силы тока и его погрешность для доверительной вероятности α = 0,7.

Исходя из имеющихся данных, цена деления использованного прибора равна 7,5 мА / 75 дел. = 0,1 мА/дел. Тогда погрешность отсчета, вычисленная для доверительной вероятности 0,7, равна:

σотсч = 1 lцд = 1 0,1 мА = 0,017 мА . 3 2 3 2

27

Погрешность показаний равна:

Следовательно, приборная погрешность одного измерения равна:

σпр = max (σпоказ, σотсч ) = σотсч = 0,017 мА .

Случайная погрешность равна нулю, так как все значения силы тока в серии – одинаковые. Следовательно, абсолютная погрешность среднего значения силы тока равна приборной погрешности

I = Iпр = σпр = 0,017 мА.

Среднее значение силы тока равно I = 2,5 мА, а его относительная погрешность δI = II =0,7 % . Следовательно, результат рассматриваемой серии измерений может быть записан в виде

I = (2,500 ± 0,017) 10−3 А, δI = 0,7 %, α = 0,7 .

Пример 4. Проведена серия измерений силы тока с помощью стрелочного амперметра, шкала которого имеет 75 делений, предел измерения равен 7,5 мА, а класс точности прибора равен 0,1 (результаты приведены в табл. 5). Рассчитать среднее значение силы тока и его погрешность для доверительной вероятности α = 0,7.

Так как использовался тот же прибор и требуется рассчитать погрешность с той же доверительной вероятностью, что и в примере 3, то приборная погрешность среднего значения силы тока будет той же самой: Iпр = 0,017 мА.

Среднее значение силы тока, исходя из результатов, приведенных в табл. 5, равно I = 2,533 мА.

Случайная погрешность для доверительной вероятности α = 0,7 равна стандартной ошибке:

28

т.е. случайная погрешность на порядок больше приборной. Следовательно, абсолютная погрешность среднего значения си-

лы тока равна I = Iсл = 0, 09 мА . Результат рассматриваемой серии измерений может быть записан в виде

I = (2,53 ± 0,09) 10−3 А, δI = 4 %, α = 0,7 .

4. Погрешность косвенных измерений

До сих пор рассматривался расчет погрешности для результата прямых измерений, т.е. измерений, выполняемых непосредственно с помощью приборов. При так называемых косвенных измерениях искомая величина не измеряется, а вычисляется по результатам измерений других величин, связанных с искомой определенной математической зависимостью. Например, при определении скорости равномерно движущегося тела измеряются путь линейкой и время секундомером. Затем по полученным данным рассчитывается скорость. В таком случае можно говорить, что для пути и времени проводились прямые измерения, а для скорости – косвенные.

Рассмотрим общий случай. Пусть необходимо определить величину z, которая является функцией величин a, b, c и т.д., каждая из которых определена соответствующей стандартной погрешностью:

σa , σb , σc , ...:

z = z(a, b, c, ...) .

Сначала вычислим результирующее значение величины z:

z= z(a,b ,c ,...) .

Вкачестве погрешности z возьмем стандартную погрешность

σz . Напомним, что доверительная вероятность того, что истинное

значение лежит в пределах доверительного интервала (z −σz , z +σz ) равна α ≈ 0,7. Стандартная погрешность σz определяется по формуле:

29

где ∂∂az , ∂∂bz , ∂∂cz , ... – частные производные функции z по соответст-

вующим переменным a, b, c. При вычислении ∂∂az производная z по

параметру a вычисляется обычным способом, при условии, что все параметры, кроме a, считаются постоянными. Аналогично и для других переменных.

Часто в практических расчетах формула для стандартной погрешности σz допускает упрощение в двух предельных случаях:

когда вклады от разных величин сильно отличаются (не менее чем на порядок) и когда они, наоборот, приближенно равны.

Пусть, например, искомая величина z является функцией двух величин a и b: z = z (a, b). Допустим, что вычисления частных погрешностей дали следующий результат: (∂z / ∂a)σa =1,0 и (∂z / ∂b)σb = 0,3. По приведенной ранее формуле получим:

σz = (1,0)2 + (0,3)2 = 1,0 +0,09 ≈1,04 .

Поскольку в оценке σz нет смысла оставлять три значащих цифры, окончательный результат: σz ≈ 1,0. Таким образом, в рассматри-

ваемом примере погрешность величины b не дает практически никакого вклада в погрешность величины z. Вообще при вычислении σz можно отбрасывать частные погрешности величин, значения

которых не превышают 1/3 от максимальной.

Другой предельный случай возникает тогда, когда частные погрешности всех величин a, b, c, ... сравнимы по величине:

(∂z / ∂a)σa ≈ (∂z / ∂b)σb ≈...

Вэтом случае оценку стандартной погрешности σz можно производить по упрощенной формуле

σz ≈ n ( ∂z / ∂a)σa ,

где n – число величин a, b, c, ..., от которых зависит величина z.

30