Плясов Лабораторный практикум по курсу обсчей физики 2011

15.Секундный маятник в вертикально движущемся лифте совершает за 1 мин 100 колебаний. С каким ускорением движется лифт? Как направлено это ускорение?

16.Определите, на какую часть длины надо уменьшить длину математического маятника, чтобы период колебаний маятника в кабине самолета оставался одинаковым при равномерном движе-

нии самолета и при его движении с ускорением w , направленным горизонтально.

17. Какие ошибки называются систематическими, а какие – случайными? Какие из них были наиболее существенными в данной работе?

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1.Савельев И.В. Курс общий физики. Т. 1. Механика. М.: Аст-

рель АСТ, 2007. С. 281–285.

2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. М.: Физ-

матлит, 2005. С. 220–224.

Дополнительная

3.Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: ОНИКС 21 век. Мир и Образование, 2003. С. 348–358.

4.Иродов И.Е. Механика. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. С. 148–162.

221

При плоском движении твердого тела все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Можно показать, что в общем случае плоское движение твердого тела есть наложение двух простейших видов движения тел – поступательного и вращательного. Таким образом, при плоском движении тело вращается относительно жестко связанной с ним оси, а эта ось, оставаясь параллельной самой себе (т.е. не изменяя своего направления в пространстве), движется поступательно в направлении, перпендикулярном к этой оси вращения.

Наглядный пример плоского движения тела – качение цилиндра по плоскости. Ось симметрии цилиндра – ось, относительно которой вращается цилиндр – движется, не меняя своего направления в пространстве. Направление скорости движения оси симметрии цилиндра перпендикулярно направлению, вдоль которого ориентирована сама ось. Движение оси цилиндра – поступательное движение. Все точки цилиндра движутся в параллельных плоскостях.

Произвольное движение твердого тела описывается двумя уравнениями:

импульса твердого тела относительно центра масс; F – сумма всех сил, действующих на тело; Nc — сумма моментов этих сил отно-

сительно центра масс.

Уравнение (1.16.1) описывает поступательное движение центра масс тела. Уравнение (1.16.2) описывает вращение тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Если тело совершает плоское движение, уравнение (1.16.2) приводится к виду

где βz – проекция углового ускорения тела на ось вращения Z; N z – проекция суммарного момента сил, действующих на тело, на ось вращения Z; Iz – момент инерции тела относительно оси вращения Z.

223

Маятник Максвелла, плоское движение которого изучается в работе, обладает осевой симметрией. При движении его ось симметрии будет совпадать с осью вращения и проходить через центр масс, т.е. плоское движение маятника Максвелла может быть опи-

сано уравнениями (1.16.1) и (1.16.3).

Кинетическая энергия тела при плоском движении складывается из кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью, равной скорости движения центра масс тела vc , и энергии

вращения тела с угловой скоростью ω относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела:

Рассмотрим подробно плоское движение маятника Максвелла. Маятник представляет собой массивное цилиндрическое колесо, закрепленное на тонкой металлической оси, подвешенной горизонтально на двух параллельных нитях. Если вращать ось маятника в одну сторону, нити симметрично намотаются на ось, при этом центр масс маятника поднимется на некоторую высоту. Если затем отпустить маятник, то он начнет двигаться так, что нити будут разматываться с его оси, а центр масс – опускаться под действием силы тяжести.

Схематически маятник изображен на рис. 1.16.1 (рис. 1.16.1, а – вид спереди, рис. 1.16.1, б – вид сбоку). Чтобы не загромождать чертеж, колесо маятника обозначено пунктиром.

Рис. 1.16.1

224

Подчеркнем, что так как первоначально (в верхней точке траектории, где нити намотаны на ось) маятник покоился, а все силы, действующие на него (см. рис. 1.16.1), направлены параллельно вертикальной прямой, то его центр масс будет двигаться вертикально вниз, т.е. в любой момент времени ось маятника будет оставаться в одной плоскости – плоскости рис. 1.16.1, а. Таким образом, маятник будет совершать именно плоское движение.

Пусть было измерено время t, за которое ось маятника опустилась на расстояние h. Тогда ускорение, с которым опускалась ось (или, что тоже самое, ускорение центра масс маятника), определяется по формуле

Уравнения (1.16.1) и (1.16.3), описывающие плоское движение твердого тела, в применении к маятнику Максвелла принимают вид

где m – масса маятника; wc – ускорение центра масс маятника; g –

ускорение свободного падения; I – момент инерции маятника относительно его оси симметрии; F – сила натяжения каждой из нитей

бифилярного подвеса; R – радиус оси маятника; β = βz – модуль

углового ускорения маятника.

Уравнения (1.16.6) должны быть дополнены уравнением, связывающим угловое ускорение β маятника относительно оси симмет-

рии с ускорением центра масс:

Решая систему уравнений (1.16.6) и (1.16.7), можно найти неизвестные величины I, β, F как функции ускорения wc . Само ускорение

центра масс маятника может быть непосредственно рассчитано по формуле (1.16.5) с использованием измеренных экспериментально значений времени t движения маятника и пройденного пути h.

В дальнейшем нам понадобится только выражение для экспериментального определения момента инерции I э маятника Максвелла:

225

Поскольку маятник Максвелла, используемый в работе, конструктивно выполнен так, что масса его колеса много больше массы оси, то ускорение wc , с которым движется ось маятника, много

меньше ускорения свободного падения g, и второй член в круглых скобках в выражении (1.16.9) много меньше единицы. Поэтому при проведении расчетов этим членом можно пренебречь, и пользоваться более простым выражением для экспериментального значения момента инерции маятника:

Относительная погрешность момента инерции маятника, вычисленного по формуле (1.16.10), имеет вид

где m, R, wc – абсолютные погрешности соответствующих ве-

личин.

Рассмотрим закон сохранения полной механической энергии для маятника Максвелла. В общем виде закон сохранения энергии имеет вид

где T1 и T2 – начальная и конечная кинетическая энергия маятника; U1 и U2 – начальная и конечная потенциальная энергия маятника; E1 и E2 – начальная и конечная полная энергия маятника; Aсопр –

работа сил сопротивления, действующих на маятник в ходе его движения.

Так как сила сопротивления действует в сторону, противоположную направлению движения маятника, то ее работа отрица-

тельна, т.е. Aсопр = − Aсопр .

226

В начальный момент времени маятник находится в верхней точке траектории и покоится, т.е. его скорость, а следовательно, и начальная кинетическая энергия равны нулю: T1 = 0 . Затем маятник

отпускают.

В качестве конечного момента времени возьмем момент времени t, когда центр масс маятника опустится на расстояние h.

Так как маятник движется равноускоренно с ускорением центра масс wc , то скорость его центра масс в момент времени t определяется выражением

а угловая скорость вращения маятника вокруг собственной оси – выражением

Используя (1.16.12), (1.16.13) и формулу для кинетической энергии плоского движения твердого тела (1.16.4), можно записать кинетическую энергию маятника Максвелла в момент времени t в виде

Подставляя выражение для ускорения центра масс маятника

(1.16.5) в выражение (1.16.14), получим:

В установке, используемой в работе, ускорение центра масс маятника в любых рекомендуемых режимах работы много меньше ускорения свободного падения wc g . Следовательно, согласно

(1.16.9) Iэ mR2 . Поэтому в выражении для кинетической энергии

(1.16.15) можно пренебречь вторым слагаемым в скобках. Тогда окончательное выражение для расчета кинетической энергии маятника в конечный момент времени t примет вид

227

В качестве уровня, от которого будем отсчитывать потенциальную энергию маятника, выберем нижнюю точку траектории маятника, в которой будет находиться его центр масс в момент времени t. Тогда в крайнем верхнем положении (отметке, где маятник первоначально покоится) его потенциальная энергия равна:

а в нижней точке траектории – U2 = 0 .

Используя закон сохранения полной механической энергии для маятника Максвелла (1.16.11), можно рассчитать работу сил сопротивления, действующих на маятник в ходе его движения из начальной точки траектории в конечную:

Формулы для расчета относительных погрешностей, вычисляемых по формулам (1.16.16) и (1.16.17), потенциальной и кинетической энергии маятника имеют вид

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Плоское движение маятника Максвелла в работе изучается на установке, изображенной на рис. 1.16.2.

На вертикальных направляющих 1 сверху закреплен горизонтальный стержень, на котором подвешен маятник Максвелла 2. Маятник Максвелла представляет собой массивное колесо, жестко закрепленное на тонкой металлической оси. Ось с помощью двух нитей подвешена к верхнему кронштейну (бифилярный способ подвески) так, что нити накручены на ось симметрично с обеих сторон от колеса. Если маятник в верхнем положении не зафикси-

228

рован, то он будет перемещаться вертикально вниз, при этом нити будут раскручиваться с его оси.

На верхнем кронштейне расположено фиксирующее устройство 3, удерживающее маятник в верхнем положении при нажатой кнопке на тросике. При отпускании кнопки фиксирующего устройства маятник освобождается и начинает двигаться вниз, при этом автоматически запускается секундомер.

Рис. 1.16.2

Нижний кронштейн с прикрепленным к нему световым барьером 4 может перемещаться вдоль правой вертикальной направляющей 1 и фиксироваться в произвольном положении, определяемом по линейке 5, закрепленной на третьей вертикальной направляющей. Внутри светового барьера смонтирован секундомер, позволяющий измерять время в различных режимах.

Для определения начального и конечного положений оси маятника в ходе его движения на линейке закреплены оранжевые указа-

229

тели 6. При измерениях положение нижнего указателя необходимо совместить с оптической осью светового барьера, а верхнего – со штырем фиксирующего устройства (рис. 1.16.3).

Рис. 1.16.3

Электронный секундомер, вмонтированный в световой барьер, запускается по сигналу от кнопки фиксирующего устройства и останавливается, когда ось маятника проходит луч светового барьера. Таким образом, измеряется время движения маятника из верхнего положения в нижнее.

ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ

1.Во время движения маятника Максвелла не допускайте нахождение посторонних предметов на его пути.

2.После того как секундомер измерил время движения маятника, осторожно остановите колесо маятника. Это необходимо сделать, так как при замедлении маятника в ходе его последовательных подъемов и спусков возможно возникновение поперечного движения оси. При этом маятник может задеть и повредить световой барьер.

3.Перед началом работы проверьте, чтобы в верхнем положении (при полностью накрученных нитях) ось маятника была горизонтальна, а в нижнем положении ось маятника не задевала корпус

230