Плясов Лабораторный практикум по курсу обсчей физики 2011

13.Как влияет масса грузов на характер зависимости Iz (d 2 )?

14.Укажите возможные источники систематических погрешностей в работе.

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1.Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. М: Аст-

рель АСТ, 2003. С. 157–177.

2.Иродов И.Е. Механика. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. С. 148–162.

3.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. М.: Физ-

матлит, 2006. С. 192–198.

Дополнительная

4.Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Выс-

шая школа, 1986. С. 298–307.

5.Киттель Ч. и др. Механика. М.: Наука, 1983. С. 258–270.

201

рованная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на конце которой находится материальная точка массы т. Достаточно хорошей моделью математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити (длина нити l много больше радиуса шарика R: l >> R).

На рис. 1.14.1, а изображен физический маятник, подвешенный на оси z, проходящей через точку O, перпендикулярно плоскости рисунка. Таким образом, он может совершать колебания в плоскости рисунка, причем все точки тела, лежащие на оси z, остаются неподвижными. Центр масс физического маятника обозначен точкой С (см. рис. 1.14.1, а). Положение равновесия маятника соответствует моменту, когда центр масс и точка подвеса лежат на вертикальной прямой, т.е. момент силы тяжести относительно оси z равен нулю.

На рис. 1.14.1, б представлен математический маятник.

Рис. 1.14.1

Рассмотрим малые колебания физического маятника. Если отклонить его на угол ϕ (см. рис. 1.14.1, а), то возникает ненулевой

момент силы тяжести, стремящийся вернуть его в положение равновесия. Проекция момента силы тяжести на ось z имеет вид

где т – масса маятника; g – ускорение свободного падения; а – расстояние от точки подвеса O до центра масс маятника C, т.е. длина отрезка OC.

203

Так как в работе изучаются малые колебания физического маятника, т.е. угол отклонения мал (ϕ 1), то выражение для момента

Колебательное движение физического маятника около неподвижной оси z описывается уравнением вращательного движения твердого тела (уравнением моментов), которое в проекции на ось z имеет вид

где βz = ϕ – проекция углового ускорения маятника на ось z; Iz –

момент инерции маятника относительно оси z.

Подставляя выражение для момента силы тяжести (1.14.2) в уравнение движения (1.14.3), получим уравнение малых колебаний физического маятника:

ϕ+ mga ϕ = 0 .

Iz

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

ϕ(t) = ϕ0 cos(ωt + α) ,

где ϕ0 – угловая амплитуда колебаний; ω= mgaIz – круговая

(циклическая) частота; α – начальная фаза.

Как следует из приведенного решения, малые колебания физического маятника являются гармоническими (функциональная зависимость угла отклонения от времени – косинус).

Таким образом, период малых колебаний физического маятника не зависит от амплитуды колебаний и может быть определен по

на нити маятника. Формула (1.14.4) при этом переходит в выражение

204

Сравнивая формулы (1.14.4) и (1.14.5), можно заключить, что физический маятник массы т колеблется с тем же периодом, что и математический маятник той же массы m и длины

Величина lпр называется приведенной длиной физического маят-

ника.

С использованием определения приведенной длины формулу для периода малых колебаний физического маятника (1.14.4) можно переписать в виде

Точка K на прямой, соединяющей точку подвеса O с центром масс тела C , лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника

(рис. 1.14.2). Можно показать, что приведенная длина физического маятника всегда больше расстояния между точкой подвеса и центром масс, т.е. lпр > a . Следовательно, точка подвеса O и центр

качания K лежат по разные стороны от центра масс C . Точка подвеса и центр качания об-

ладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания. Следовательно, при переносе точки подвеса в центр качания период колебаний маятника останется прежним. Это положение на-

зывается теоремой Гюйгенса.

Таким образом, если подобрать у физического маятника такие несимметричные относительно центра масс положения двух параллельных осей подвеса, чтобы период колебаний относительно них был одинаков, то расстоя-

ние между этими осями будет равно приведенной длине. Измеряя это расстояние и период колебаний, можно, используя формулу (1.14.7), найти ускорение свободного падения g:

205

В заключение приведем формулу для расчета погрешности ускорения свободного падения, вычисленного по формуле (1.14.8):

где lпр и T – абсолютные погрешности измерения приведенной длины маятника и периода его колебаний соответственно.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Конструкция оборотного маятника, используемого в настоящей работе, представлена на рис. 1.14.3.

Рис. 1.14.3

Оборотный маятник представляет собой стальной стержень 1 с закрепленными на нем с помощью винтов опорными втулками 2 и 3. Маятник может быть подвешен за каждую из втулок, поэтому он называется оборотным маятником.

206

Вначале работы опорные втулки закрепляются на расстоянии 7–10 см от концов стержня 1. Расположение опорной втулки 2 не меняется на протяжении всего эксперимента. Положение втулок и расстояние между ними определяется с помощью рулетки 4.

Оборотный маятник подвешивается за опорные втулки на двух горизонтальных полуосях, закрепленных на кронштейнах 5, жестко соединенных с рабочим столом.

Вработе изучаются малые колебания оборотного маятника. Период его колебаний определяется при помощи светового барьера 6. При выполнении измерений на барьере должен быть выбран режим «Измерение периода» (правое крайнее положение переключателя). Сам световой барьер должен быть расположен в точке, где амплитуда колебаний маятника максимальна (см. рис. 1.14.3).

ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ

1.Во время движения оборотного маятника не допускайте нахождение посторонних предметов на его пути.

2.Располагайте опору светового барьера так, чтобы маятник при своем движении не задевал его.

3.При измерениях расстояния между опорными втулками маятника с помощью рулетки сначала снимите маятник с оси и положите на стол. Изменение положения нижней опорной втулки производите также на не подвешенном маятнике.

ЗАДАНИЕ

Определение ускорения свободного падения тел

спомощью оборотного маятника

1.Установить нижнюю опорную втулку 3 в начальное положение L =10 см от конца стержня.

2.Для каждой из опорных втулок произвести по три измерения периода колебаний оборотного маятника ( T1 и T2 соответственно).

Для этого необходимо выполнить следующие действия: подвесить маятник на ось; отклонить маятник из положения равновесия не более чем на

10 град.;

207

отпустить маятник (при запуске маятника отклоняйте его в плоскости, перпендикулярной оси подвеса; если начальное отклонение не лежит в указанной плоскости, то нижний конец стержня маятника будет описывать восьмерку; в этом случае остановите маятник, и снова приведите его в колебательное движение);

в момент, когда маятник не находится в положении равновесия нажать кнопку «Set» на световом барьере (при этом во всех разрядах шкалы светового барьера высветятся точки);

когда маятник совершит одно полное колебание, секундомер на световом барьере остановится и покажет период колебаний.

Результаты измерений занести в заранее подготовленную табл. 1.14.1.

3. В дальнейшем менять положение нижней опорной втулки 3 каждый раз на 2 см в сторону от соответствующего конца стержня и вновь производить измерения периодов колебаний оборотного маятника согласно п. 2.

В процессе измерений хорошо прослеживается следующая закономерность: при перемещении опорной втулки 3 из начального положения вдоль стержня оборотного маятника разность периодов колебаний оборотного маятника T =T1 −T2 , не меняя знака, сна-

чала монотонно возрастает, а затем монотонно убывает. Наступает момент, когда при некотором положении опорной втулки 3 (например, l = k см) величина T имеет все еще тот же знак, что и при начальном положении опорной втулки 3, а при следующем положении опорной втулки 3 ( l = k + 2 см) T имеет уже противоположный знак (или T = 0, что мало вероятно). Это означает, что

208

положение l0 опорной втулки 3, при котором периоды колебаний оборотного маятника на обеих опорных втулках совпадают, находится в интервале k < l0 < k +1 (или l0 = k +1).

Если l0 ≠ k +1, дальнейшее уточнение положения опорной втул-

ки 3, при котором T = 0, следует производить согласно п. 4.

4. Установить опорную втулку 3 так, чтобы ее внешний край (по которому измеряют ее положение на стержне 1) совпал с серединой экспериментально найденного интервала (k; k + 1), т.е. l = (k +1) см

и произвести измерение периодов колебания оборотного маятника

вить опорную втулку 3 в середине этого интервала ( l = (k +0,5) см или l = (k +1,5) см) и вновь произвести измерение периодов коле-

баний оборотного маятника согласно п. 2 и т.д.

Практически после таких уточнений положения опорной втулки 3 периоды колебаний оборотного маятника на обеих опорных втулках будут совпадать с точностью до последней значащей цифры. Это и есть определенный экспериментально период колебаний оборотного маятника, принимаемый за истинный (при данном расположении опорных втулок). А расстояние между углублениями опорных втулок есть приведенная длина оборотного маятника, соответствующая найденному экспериментально периоду колебаний.

6. Измерить приведенную длину маятника lпр , т.е. расстояние

между углублениями опорных втулок с помощью рулетки. Приборная погрешность измерения приведенной длины составит lпр = 1,0 мм.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Вычислить ускорение свободного падения тел g и его погрешность по формулам (1.14.8) и (1.14.9). В качестве погрешности

209

t =1,0 10−3 c или наименьшую разность T из табл. 1.14.1, соот-

ветствующую последнему измеренному значению периода.

2. Определить, какая из погрешностей прямых измерений дает максимальный вклад в погрешность экспериментально определенного ускорения свободного падения.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ

В заключении к работе привести полученное значение ускорения свободного падения.

Сравнить результат для величины g, полученной в работе, с табличным значением gтабл и дать заключение.

В заключении указать возможные причины систематических ошибок определения величины ускорения свободного падения использованным в работе методом.

Табличные значения

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дайте определение момента инерции тела относительно произвольной оси.

2.Дайте определение физического и математического маятника.

3.Что такое центр качания физического маятника? Чем замечательны точка подвеса и центр качания физического маятника?

4.Сформулируйте теорему Гюйгенса о периоде колебаний физического маятника при переносе точки его подвеса в центр качания.

5.Покажите, используя теорему Гюйгенса–Штейнера, что точка подвеса и центр качания физического маятника находятся по разные стороны от его центра масс.

6.Постройте примерный график зависимости периода колебаний физического маятника от положения точки подвеса, перемещая последнюю вдоль одной и той же прямой, проходящей через его центр масс.

210