Плясов Лабораторный практикум по курсу обсчей физики 2011

Рассмотрим твердое тело, прикрепленное к вертикально расположенной спиральной пружине. Если совершить поворот тела в горизонтальной плоскости на некоторый угол ϕ, то возникнет мо-

мент упругих сил, стремящихся повернуть тело в обратном направлении. Как показывает опыт, в области упругих деформаций кручения пружины момент упругих сил относительно оси вращения прямо пропорционален углу поворота:

где k называется угловым коэффициентом упругости спиральной пружины. Заметим, что его следует отличать от коэффициента жесткости пружины. Знак минуса в данной формуле учитывает, что момент упругих сил сообщает телу отрицательное угловое ускорение при положительном угле закручивания спиральной пружины.

Рассмотрим свободные незатухающие колебания твердого тела, прикрепленного к спиральной пружине. Подставляя момент упругих сил (1.12.10) в уравнение динамики вращательного движения (1.12.9) и совершая простые преобразования, получим дифферен-

циальное уравнение для неизвестной функции ϕ(t ):

Известно, что решение уравнения (1.12.11) описывает гармонические колебания с циклической частотой ω0 , которые имеют вид

где ϕm – амплитуда угла поворота, а α – начальнаяфаза колебаний.

Таким образом, твердое тело будет совершать крутильные гармонические колебания, частота которых зависит только момента инерции твердого тела относительно оси вращения и углового коэффициента упругости спиральной пружины. Период гармонических колебаний связан с циклической частотой соотношением T = 2πω0 .

Учитывая(1.12.12), получаем

181

Вреальности на тело и пружину всегда действуют силы трения

исопротивления воздуха, которые создают дополнительные моменты сил, что, в конечном счете, приводит к торможению и затуханию колебаний. Период свободных затухающих колебаний зависит от коэффициента затухания. Однако в данной работе моменты сил трения малы, и поэтому их влиянием на период колебаний твердого тела можно пренебречь. Тогда можно найти момент инерции твердого тела с помощью формулы (1.12.14), измерив предварительно средний период колебаний:

Относительная погрешность измерений момента инерции выражается через относительные погрешности измерений периода крутильных колебаний и углового коэффициента упругости спиральной пружины:

Если известен момент инерции некоторого эталонного тела, то по результатам измерений его периода колебаний можно определить угловой коэффициент упругости спиральной пружины:

где Iэт – момент инерции эталонного тела (полго цилиндра).

182

Массы и размеры исследуемых тел приведены в табл. 1.12.2, L − длина стержня, R – радиус соответствующего тела.

В данной работе момент инерции одного из тел (полого цилиндра) относительно его оси симметрии известен, т.е. оно используется как эталонное тело. Поэтому угловой коэффициент упругости спиральной пружины может быть рассчитан по формуле (1.12.17) с помощью измеренных значений периода колебаний полого цилиндра.

Моменты инерции всех тел измеряются с помощью метода крутильных колебаний пружины. Для этого пружина вместе с исследуемым твердым телом, закрепленным предварительно на валу 1, выводится из положения равновесия. Измерение периода колебаний тела с помощью счетчика 2 позволит затем рассчитать по формуле (1.12.15) момент инерции исследуемого тела.

ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ

1.Исходя из требований к безопасности и устойчивости, не рекомендуется отклонять пружину на угол, больший ± 180º.

2.Перед проведением измерений проверьте жесткость крепления всех деталей установки.

3.После установки очередного тела на вал 1 до начала измерений убедитесь, что бумажный листок, приклеенный к телу (или стержень), проходит через световой барьер, а само тело не задевает его.

184

ЗАДАНИЯ

Задание 1. Определение моментов инерции шара, диска

исплошного цилиндра

1.Выберите одно из тел и закрепите его на вращающемся валу 1 (см. рис. 1.12.1). Для измерения периода вращательных колебаний твердого тела прикрепите к нему узкий листок бумаги шириной ≤ 10 мм. Поместите треножник с исследуемым твердым телом так, чтобы листок находился точно под световым барьером.

2.Поверните исследуемое тело приблизительно на угол 30−50° от положения равновесия и отпустите его, предварительно нажав на кнопку «Set» датчика. Датчик (световой барьер) измерит период колебаний системы, т.е. промежуток времени между первым и третьим пересечениями передней кромкой листка луча светового

барьера. Поворачивать исследуемое тело на углы большие, чем 90°, не рекомендуется, так как в области этих углов деформации пружины могут быть неупругими.

3. Для проведения повторных измерений сбросьте показания счетчика светового барьера, нажав на кнопку «Set». Повторите измерения периода T крутильных колебаний 6 −7 раз и занесите результаты измерений в заранее подготовленную табл. 1.12.3.

Таблица 1.12.3

Исследуемое тело

T , с

T , с

4. Повторите задания пп. 1–3 для других исследуемых тел, занося данные измерений в таблицы, аналогичные табл. 1.12.3.

Задание 2. Измерение момента инерции стержня

сподвижными грузами

1.Закрепите на вращающемся валу стержень с симметрично расположенными подвижными грузами. Расположите грузы на минимальном расстоянии друг от друга. С помощью штангенциркуля

измерьте размер тел d1 , диаметр вращающегося вала d2 и расстоя-

185

ние l, показанное на рис. 1.12.2. Измерьте период колебаний стержня с грузами согласно пп. 2–3 предыдущего задания.

2. Располагая грузы симметрично относительно середины стержня на разных расстояниях, измерьте зависимость периода вращательных колебаний стержня с грузами от расстояния l, показанного на рис. 1.12.2. Проведите измерения для 6–7 значений l. Результаты занесите в заранее подготовленную табл. 1.12.4.

Рис. 1.12.2

Таблица 1.12.4

T , с

l, см

d , см

d 2 , см2 Iz , кг м2

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Задание 1

1. Рассчитать угловой коэффициент упругости спиральной пружины.

Для этого, используя полученные данные для периода колебаний полого цилиндра, рассчитайте среднее значение периода и его погрешность. При вычислении погрешности периода колебаний следует учесть как приборную погрешность светового барьера Tпр = 0,001 c ,

так и погрешность, вызванную случайным разбросом полученных значений, рассчитанную с помощью метода Корнфельда.

По формуле (1.12.7) рассчитайте угловой коэффициент упругости пружины и его относительную погрешность по формуле (1.12.18).

186

2. По формулам (1.12.15) и (1.12.16) рассчитайте моменты инерции сплошного цилиндра, шара и диска, а также их погрешности. Рассчитайте моменты инерции всех тел по теоретическим формулам табл. 1.12.12. Сравните экспериментальные и расчетные значения моментов инерции.

Задание 2

1. Используя данные табл. 1.12.4, рассчитайте расстояние d от оси вращения до центра масс одного из грузов:

Используя измеренный период колебаний, вычисленные значения расстояний d и формулу (1.12.15) рассчитайте для каждого значения l моменты инерции стержня с грузами. Результаты занесите в табл. 1.12.4.

2. На основе результатов табл. 1.12.4 постройте экспериментальный график Iz (d 2 ), т.е. зависимость момента инерции стержня

с грузами от квадрата расстояния грузов до оси вращения. По формуле (1.12.16) рассчитайте погрешности полученных моментов инерции системы Iz .

3. Подставляя в формулу (1.12.5) параметры стержня и грузов рассчитайте теоретическую зависимость Iz (d 2 ) и нанесите ее на

график.

4. Сравните экспериментальный и расчетный графики моментов инерции стержня с грузами от расстояния до оси вращения. Обсудите согласие экспериментальных результатов с теоремой Штейнера.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

В заключении к работе по результатам первого задания приведите угловой коэффициент упругости спиральной пружины и его погрешность. Должны быть также указаны экспериментальные значения моментов инерции всех исследованных тел и расчетные

187

значения тех же величин, полученные по теоретическим формулам. Сравните эти результаты с учетом их погрешностей и сделайте вывод о соответствии экспериментальных и расчетных значений моментов инерции.

По результатам второго задания приведите экспериментальный и расчетный графики моментов инерции стержня с грузами от расстояния до оси вращения. Сравните полученные графики. Обсудите согласие экспериментальных результатов с теоремой Штейнера.

Укажите, какие погрешности играли основную роль в работе.

Табличные значения

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Сформулируйте основное уравнение динамики вращательного движения тел с закрепленной осью.

2.Дайте определение момента инерции тела относительно произвольной оси.

3.Сформулируйте теорему Гюйгенса–Штейнера.

4.Опишите метод измерения моментов инерции тел, применяемый в работе.

5.Как в работе измеряется угловой коэффициент упругости спиральной пружины?

6.Почему в работе рекомендуется использовать небольшой угол отклонения от положения равновесия?

7.Каким образом влияет затухание крутильных колебаний на измеряемый период колебаний тел?

8.Почему в третьем задании удобнее строить график зависимо-

сти Iz от d 2 , а не от d ?

9.Как влияет масса грузов на характер зависимости Iz (d 2 )?

10.Укажите возможные источники систематических погрешностей в работе.

188

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1.Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. М.: Астрель АСТ, 2003.

2.Иродов И.Е. Механика. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

3.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. М.: Физматлит, 2006.

4.Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986.

5.Киттель Ч., Найт В., Рудерман М. Механика. М.: Наука, 1983.

Дополнительная

6.Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 1–2. М.: Мир, 1977.

7.Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. М.: Наука, 1969.

189