Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

Тогда функцию Y = ϕ(X1,..., Xn ) также раскладывают в ряд и ограничиваются линейным членом

Если при разложении функции в ряд оставить еще одно слагаемое

то результаты линеаризации можно уточнить. Действительно, применяя к выражению (9.34) операцию нахождения математического ожидания, получим

Поправка к дисперсии просто выглядит, когда случайная величина распределена по нормальному закону

81

Возможно, конечно, обобщение данных результатов на многомерный случай, однако формулы в этом случае выглядят очень громоздкими.

Лекция 10. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ

Рассмотренные выше способы получения статистических характеристик функции от случайных аргументов имеют недостатки. Вопервых, они справедливы лишь для линейных функций. Если же функция нелинейная и используется метод линеаризации, то трудно оценить ошибку определения числовых характеристик. Во-вторых, иногда необходимо знать не только числовые характеристики, но и закон распределения функции, знание которого решает все эти проблемы. Действительно, если задана функция Y = ϕ(X ) и известна

плотность распределения случайной величины Y, которую мы обозначим g( y), то числовые характеристики – функции Y = ϕ(X ) −

могут быть найдены из следующих соотношений:

P(a < X < b) = 1. На рис. 10.1 показан участок монотонно возрастающей функции y = ϕ(x).

Если случайная величина X принимает значение x, то случайная величина Y принимает значение y = ϕ(x). Иными словами, если на

82

плоскости изобразить случайную точку (X, Y), то она может лежать только на кривой y = ϕ(x).

Рис. 10.1. К выводу закона распределения: а − для монотонно возрастающей функции; б – для монотонно убывающей функции

Обозначим функцию распределения случайной величины Y как G( y) = P(Y < y). Из рис. 10.1,а видно, что случайная величина Y

примет значение меньшее, чем y в том случае, если случайная величина X попадет в интервал (a, x). Это означает, что справедливо соотношение

a

При этом верхний предел интегрирования является функцией от y. Действительно, имея монотонную исходную функцию y = ϕ(x),

можно найти ей обратную, выражающую зависимость x от y, т.е. функцию x = ψ( y), тогда

a

От функции распределения G( y) можно перейти к функции плотности распределения, в соответствии с (4.7) получим

83

Если функция y =ϕ(x) является монотонно убывающей, как на

рис. 10.1,б, то случайная величина Y примет значение меньшее, чем y в том случае, если случайная величина X попадет в интервал (x, b). Это означает, что справедливо соотношение

Приведем пример определения закона распределения функции от случайных аргументов.

Пример. Найти закон распределения линейной функции Y = a X + b от аргумента, распределенного по нормальному закону.

Решение данной задачи приведено в табл. 10.1, где в левом столбце находятся теоретические зависимости в общем виде, а в

правом − конкретно для данного случая.

Выражение для g( y) можно также записать в следующем виде:

84

плотность распределения случайной величины с нормальным законом распределения с параметрами

my = a mx + b; σ y =| a | σx .

Закон распределения функции двух случайных величин

Пусть имеется система двух случайных величин (X , Y ) с плотностью распределения f (x, y) и случайная величина Z, связанная с

85

Рис. 10.3. К выводу закона композиции

Таким образом, если известен закон распределения системы f (x, y), то закон распределения суммы легко получается.

Если требуется найти закон распределения суммы независимых случайных величин, то говорят о композиции законов распределе-

ния.

Рассмотрим случай композиции двух законов распределения. Пусть имеются две случайные величины X и Y, соответственно под-

чиненные f1(x) и f2 ( y). Требуется найти плотность распределения

суммы этих двух независимых случайных величин. В силу независимости X и Y плотность распределения системы имеет вид

Операцию нахождения композиции двух законно распределения сокращенно записывают так: g(z) = f1(x) f2 ( y).

87

Композиция нормальных законов

Пусть каждая из двух независимых случайных величин X и Y подчинена нормальному закону распределения с плотностью рас-

88

Тогда, проводя необходимые преобразования, получим

Как видно из выражения (10.19), случайная величина Z = X + Y также подчиняется нормальному закону с параметрами:

метим тот факт, что даже если нормально распределенные случайные величины коррелированны, то их сумма всё равно распределена по нормальному закону. Только выражение для дисперсии будет

нормальных законов получается нормальный закон.

Нетрудно понять, что закон распределения линейной функции от

n

нормально распределенных аргументов Z = ai Xi + b также будет

i=1

нормальным с числовыми характеристиками

Предельные теоремы теории вероятностей, о которых мы будем говорить ниже доказывают, что при композиции большого числа любых законов, закон распределения суммы близок к нормальному закону.

Предельные теоремы теории вероятностей

Предельные теоремы теории вероятностей можно условно разделить на две группы. Первая группа объединяется под названием

«закон больших чисел», а вторая − под названием «центральная предельная теорема».

89

Предельные теоремы описывают свойство устойчивости массовых случайных явлений, суть которой в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате массы таких явлений. В узком смысле под законом больших чисел понимается ряд теорем, в каждой из которых для тех или иных условий установлен факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным. Например, теорема Бернулли утверждает, что при большом числе опытов, если вероятность события не изменяется от опыта к опыту, частота события сходится по вероятности к вероятности появления этого события. Мы уже упоминали об этом, когда говорили о статистическом подходе к определению вероятности. Приведем еще один пример с бросанием монеты. Если производится n бросков и «герб» появляется в m случаях, то отно-

шение w(n) = mn является частотой появления «герба». Понятно,

что для «правильной» монеты вероятность выпадения «герба» равна вероятности выпадения «решки», равна p = 0,5 и при каждом

броске одинакова. Пусть, например, произведено 12 серий испытаний, число бросков в каждой серии показано в табл. 10.1

Таблица 10.1

Исходные данные для испытаний

Результаты численного эксперимента показаны на рис. 10.4. Частота выпадения «герба» mn получена с использованием функции

генерации случайного числа из программы Excel (Сервис → Ана-

лиз данных → Генерация случайных чисел → Распределение

90