Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

Доверительный интервал для математического ожидания

В соответствии с постановкой задачи необходимо найти такое , чтобы выполнялось соотношение P( Xв − mx < ) = β, то есть найти

такой доверительный интервал около среднего выборочного, который с заданной вероятностью β «накрывал» бы истинное значение

Таким образом, исходная постановка задачи трансформировалась в следующую:

Найти такое , чтобы с заданной вероятностью β выполнялось неравенство T < tβ , где

В этом соотношении T – статистика, подчиненная закону Стъюдента, то есть случайная величина с известной плотностью распределения f (t). С учетом четности функции плотности рас-

пределения f (t), условие P( T < tβ ) = β равносильно

tβ

β = 2 f (t)dt.

0

По таблице зависимости tβ от числа степеней свободы k = n − 1

изаданной вероятности β находим tβ , а затем

=tβ sn2 .

113

Пример. Пусть произведено пять независимых опытов со случайной величиной X, распределенной нормально с неизвестными па-

раметрами mx и σx , результаты опытов указаны в табл. 13.1.

Таблица 13.1

Найти оценку математического ожидания и построить вокруг него 90 % доверительный интервал, т.е. доверительный интервал, соответствующий вероятности β = 0,9.

ного числа степеней свободы и доверительной вероятности оп-

истинное значение математического ожидания с вероятностью 90 % находится в интервале

(–2,02; 2,82) рис. 13.1.

114

Доверительный интервал для дисперсии

Несмещенной оценкой дисперсии является величина

подчинена закону χ2 .

Рис. 13.2. Расположение доверительного интервала

На рис. 13.2 показана функция плотности распределения с указанием расположения интервала Iβ . Интервал Iβ можно выбрать

так, чтобы вероятность уклонения случайной величины χ2 влево и вправо за интервал была одинаковой и равна величине α2 = 1−2β ,

где β – доверительная вероятность. Действительно, так как функция плотности распределения f (χ2 ) при заданном числе степеней свободы k = n − 1 известна, то вероятность того, что случайная величи-

115

Вероятность того, что случайная величина χ2 будет правее точ-

ки χ22 , есть площадь под кривой правее точки χ22. Эту площадь

можно определить следующим образом. Из всей площади под кривой (которая равна 1) вычесть площадь под кривой между точками

Решение уравнений (13.1) и (13.2) возможно либо численно, либо уже затабулировано в соответствующих таблицах.

Теперь, считая χ12 и χ22 известными, найдем по Iβ искомый интервал для оценки дисперсии, который накрывает точку истинное

тельный интервал для оценки дисперсии, внутри которого лежит истинное значение дисперсии с заданной доверительной вероятностью, т.е.

Пример. По данным выборки объема n = 20 из генеральной нормально распределенной совокупности найдена исправленная выбо-

рочная дисперсия s2 = 6,6. Найти доверительный интервал, по-

крывающий генеральную дисперсию с доверительной вероятностью β = 0,8.

Число степеней свободы k = n − 1 = 19. Для нахождения критических точек χ12 и χ22 с помощью программы Excel нужно восполь-

116

зоваться функцией ХИ2ОБР (Вставка → Функция → Мастер

функций → Статистические → ХИ2ОБР).

Критические точки для двустронней критической области находятся, если задать число степеней свободы и значения α2 = 0,1

и 1− α2 = 0,9. Тогда получим χ12 = 27, 2 и χ22 = 11,65.

Рис. 13.3

Проведя простые расчеты, получим 0,045 < Dx < 0,104.

Приближенное определение доверительных интервалов

В основе подхода к приближенному определению доверительных интервалов лежит возможность применения предельных теорем теории вероятностей при достаточно больших объемах выборки. Например, как установлено практикой, при объеме выборки n > 20 закон распределения суммы случайных величин можно считать нормальным. Рассмотрим несколько примеров приближенного определения доверительных интервалов.

Пример построения доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии.

117

Пусть имеется выборка x1,..., xn , причем математическое ожидание и дисперсия неизвестны. Для них получены оценки

1. Доверительный интервал для математического ожидания.

Построим доверительный интервал Iβ для математического ожидания при заданной доверительной вероятности β . Воспользу-

емся тем, что X * пропорциональна сумме независимых случайных величин. Тогда, согласно предельной теореме, закон распределения суммы можно считать нормальным при n → ∞. Предположим, что и

при конкретном, конечном n сумма n Xi будет подчинена нор-

пределения оценки X * – нормальный, то эту вероятность можно выразить через функцию Лапласа (см. (7.7)), т.е.

по данным выборки.

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания есть: Iβ = (X * − , X * + ), где величина затабулирована

в таблицах или находится численно. Φ−1(β) 2.

118

2. Доверительный интервал для дисперсии.

висимыми, так как в любую из них входит оценка математического ожидания X *. Однако при достаточно большом n закон распреде-

ления суммы приближается к нормальному. Предположим, что это так, и найдем характеристики этого закона. Так как оценка исправленной выборочной дисперсии является несмещенной, то выполня-

ется соотношение M[S2 ] = Dx . Можно показать, что

+∞

где μ4 = (x − mx )4 f (x)dx – четвертый момент случайной величи-

−∞

ны X.

119

Лекция 14. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Статистическая гипотеза – это предположение относительно вида закона распределения или величины неизвестных параметров известного закона распределения.

Выдвинутая гипотеза называется нулевой и обозначается H0 .

Наряду с этой гипотезой рассматривают конкурирующую или альтернативную ей гипотезу H1 . Например, проверяется на нормаль-

ность закон распределения случайной величины X. Тогда математическая запись такова:

H0 − случайная величина X распределена по нормальному

закону;

H1 − случайная величина X распределена не по нормальному за-

кону.

Если исследуются параметры известного распределения, то в этом случае постановка задачи может выглядеть, например, так:

H0: M[X ] = 1 (математическое ожидание случайной величины X равно 1);

H1: M[X ] ≠ 1 (математическое ожидание случайной величины

X не равно 1).

Целью статистической проверки статистических гипотез является установления факта: не противоречит ли выдвинутая гипотеза,

имеющимся выборочным данным x1,..., xn .

Статистическая проверка гипотез – это процедура обосно-

ванного сопоставления (с помощью того или иного критерия) высказанной гипотезы H0 и экспериментальных выборочных данных.

При проверке выдвинутой гипотезы возможны ошибки двух видов:

первого рода – непринятие верной статистической гипотезы. второго рода – принятие неверной статистической гипотезы. Для наглядности в табл. 14.1 показаны введенные выше опреде-

ления ошибок при проверки гипотез.

120