Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

УДК 519.21(075) ББК 22.171я7 З 14

Загребаев А.М. Лекции по теории вероятностей и математической статистике для менеджеров: Учебное пособие. М.: НИЯУ

МИФИ, 2015. − 160 с.

Пособие предназначено для студентов-гуманитариев НИЯУ МИФИ. Также может быть полезно при первом знакомстве с идеями, задачами и методами теории вероятностей и математической статистики.

Пособие подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.

Рецензент д-р техн. наук А.М. Федосов

ISBN 978-5-7262-2184-7

© Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2015

2

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Функция распределения и её свойства. Плотность распределения непрерывной случайной величины и её свойства. Геометрическая интерпретация функции распределения и плотности распределения. Напоминание. Производная и интеграл

ивыборочная совокупности. Две интерпретации выборки. Статистическое распределение выборки.

Генеральная и выборочная средние. Генеральная

ивыборочная дисперсии. Статистические оценки параметров распределения. Свойства оценок

Свойства средней выборочной. Свойства выборочной дисперсии. Асимптотические свойства оценки. Метод максимального правдоподобия. Определение неизвестных параметров закона распределения.

Метод моментов. Примеры оценки по методу моментов.

4

5

Предисловие

Автор данного пособия в течение ряда лет читал курс лекций по теории вероятностей и математической статистики для студентов Института инновационного менеджмента (ИИМ). Автор, наконец, осознал, что стандартное изложение материала, как это делается, например, для студентов факультета кибернетики не дает должного эффекта. Более того, 70 % слушателей так в конце концов и не понимают ни предмета теории вероятностей, ни основных понятий, ни методов, ни области их применения. Остальные 30 % понимают всё весьма приблизительно. Наверное, так же, как автор понимает основные цели и задачи «инновационного менеджмента». В этой связи в данном пособии сделана попытка изложить основные идеи, подходы и область применения теории вероятностей и математической статистики максимально доступно, не прибегая к сложным математическим доказательствам. Более того, в силу специфичности знаний данной категории студентов основ математического анализа, автор по ходу дела напоминает им основные понятия.

Автор отдает себе отчет в том, что его коллегам такой стиль изложения покажется, по меньшей мере, непривычным для МИФИ, но пусть о пользе данного пособия судят студенты.

6

Лекция 1. СЛУЧАЙ, СОБЫТИЕ, ВЕРОЯТНОСТЬ

Что такое «случай»? Что изучает «теория вероятностей»?

В повседневной практической деятельности каждый из нас сталкивается со случайными явлениями. Вся наша жизнь, все наши поступки происходят в случайном мире. Начиная с того, что вы родились мальчиком, а не девочкой (или наоборот). Случайно то, что вы поступили в МИФИ в Институт инновационного менеджмента (надеюсь, что до третьего курса вы «дошли» не случайно). Случайно даже то, что курс лекций вам читается в этой аудитории и в этот день недели.

Так вот, наука, о которой мы будем говорить, ставит своей целью изучение закономерностей в случайных явлениях. На первый взгляд, звучит парадоксально: искать закономерности в том, что случайно. Но не торопитесь с выводами. Это только на первый взгляд. В практической деятельности человек давно столкнулся с необходимостью изучения закономерностей в случайных явлениях, начиная с азартной игры в кости и кончая, например, страховым делом. В настоящее время без использования результатов теории вероятности и математической статистики невозможно представить себе ни создания современных приборов, устройств, систем управления, ни обеспечения их надежного функционирования. Применение законов случайных явлений и процессов лежит в основе решения задач управления технологическими процессами, испытания качества продукции, в военном деле, иначе говоря, всюду: начиная с наукоемких технологий (аэрокосмическая отрасль и атомная промышленность) и кончая отечественным так называемым бизнесом. (Действительно, можно попытаться с помощью теории временных рядов предсказать курс доллара или евро и определить, во что обойдется получение через год какого-либо документа у чиновника.)

Прежде чем изучать закономерности в случайных явлениях, нужно определить, что мы будем понимать под случаем. Из житейских соображений под случайным явлением или случаем мы понимаем событие, которое в данных условиях может произойти или не произойти. Так вот, случайность − это, прежде всего, непредсказуе-

7

мость, которая является мерой нашего невежества, незнания, неосведомленности – результат отсутствия необходимой информации. Например, вы познакомились с очаровательной особой и назначили ей свидание на следующий день (а зачем откладывать?) в 7 часов вечера около «Ударника». Так вот для вас совершенно случайным является то событие, что данная очаровательная особа придет не в 7 часов, а в 7.30 (если вообще придет). С другой стороны, если бы вы знали, что предварительно она будет советоваться по телефону с подругой о том, что надеть юбку или джинсы, какую сделать прическу или идти вообще без никакой. Если бы Вы знали, что полчаса она будет убеждать маму, что именно сегодня, накануне экзамена, ей необходимо будет позаниматься с Катей и неизвестно когда она вернется и вернется ли сегодня вообще и т.д. и т.п. То вы бы спокойно, с учетом всей этой информации посмотрели последние спортивные новости и не спеша добрались до места встречи. В этом случае справедлива первая часть высказывания академика Тимирязева Климентия Аркадьевича: «…что такое случай? Пустое слово, которым прикрывается невежество, уловка ленивого ума». Правда, далее академик продолжает: «Разве случай существует в природе? Разве он возможен? Разве возможно следствие без причины?» В этом месте цитаты можно возразить. Случай не только возможен в природе, но и необходим. Вернемся к предыдущему примеру. Допустим, студент знает, что интересующая его девушка, прежде чем идти на свидание, будет говорить по телефону с подругами и общаться с мамой. Однако даст ли эта информация ему возможность точно определить, в какое время девушка придет на свидание? Нет! Во-первых, он не знает, как долго продлятся эти переговоры, поскольку это зависит от многих, а точнее, от бесчисленного множества причин, начиная от состояния телефонной связи и кончая эмоциональным состоянием абонента. Обобщая этот пример, скажем,

что поскольку данное явление − результат бесчисленной цепочки причин и следствий, то накопить достаточно информации для однозначного предсказания события не представляется возможным. Отождествлять случайность с беспричинностью тоже неверно. Каждое событие имеет причину. Дело лишь в том, что обычно в качестве причины выделяется лишь определенный наиболее узкий круг существенных причин. Однако менее существенные причины также дают свой вклад, за счет этого-то данное событие случайно.

8

(По образному выражению Ф. Энгельса, одного из классиков марк- сизма-ленинизма, труды которых вы сейчас не изучаете: «Закономерность пробивает себе путь через бесконечное множество случайностей». Отметим также, что случайность отражает не только факт нашей неосведомленности, но имеет более глубокий смысл. В микромире случайность отражает фундаментальное свойство материи (например, самопроизвольный распад некоторых ядер).

Теория вероятностей изучает закономерности не просто в случайных, а в массовых случайных явлениях. Только при наличии массы наблюдений в одних и тех же условиях и возможно установление закономерности в случайных явлениях. Например, вы бросае-

те монету. Выпадение в результате этого «герба» или «решки» − событие случайное. Так вот, теория вероятностей занимается не тем, чтобы объяснить, почему в данном конкретном случае появил-

ся «герб», а не «решка», ее задача − узнать, насколько возможно выпадение «герба», если монету бросать достаточно долго.

А сейчас я попрошу вас привести несколько примеров случайных явлений, которые можно изучать методами теории вероятностей. Вот молодой человек привел следующий пример: «Случайное явление заключается в том, что при раздаче карт на руках окажутся семёрка, девятка, валет и другая длинная масть». Правильный пример. Можно еще добавить, что требуется найти вероятность этого, да еще, чтобы ход был с другой руки. То есть чтобы можно было наверняка сыграть «мизер», как говорят картежники. Кстати, известный вам математик и физик Блез Паскаль тоже ставил и решал задачи, связанные с азартными играми. А именно: сколько раз нужно бросить игральные кости чтобы вероятность того, что хотя бы один раз выпадут две шестерки, превышала вероятность того, что две шестерки не выпадут ни разу. Оказалось 25 бросков. Какова вероятность выпадения вышеназванного набора карт, вы определите на семинарском занятии. Кстати, к созданию теории вероятностей и математической статистики приложили усилия очень многие известные математики (Галилей, Паскаль, Ферма, Гюйгенс, Бернулли, Моавр, Лаплас, Пуассон, Госсет, Пирсон, Винер, Феллер, Дуб, Фишер), среди которых и наши соотечественники (В.Я. Буняковский, П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов, А.А. Марков, С.Н. Бернштейн, А.Я. Хинчин, А.Н. Колмогоров, В.И. Романовский, Н.В. Смирнов и многие другие).

9

Событие, вероятность события, непосредственный подсчет вероятностей

Итак, теория вероятностей изучает закономерности случайных

явлений. Под случайностью понимают непредсказуемость − результат незнания, неосведомлённости и отсутствия необходимой информации. Теория вероятностей устанавливает законы в массовых случайных явлениях. Только при наличии массы наблюдений в одних и тех же условиях и есть возможность установить закономерность в случайных явлениях. Нам в дальнейшем потребуются некоторые сведения из алгебры событий.

Алгебра событий

Определим случайное событие как факт, который может произойти, либо не произойти.

Введем следующие обозначения:

1. A B − событие A включает событие B .

Например, событие A состоит в том, что вы присутствуете сейчас на лекции, а событие B состоит в том, что вы находитесь в МИФИ. Понятно, что если произошло событие A , то событие B тем более реализовалось.

2. A = B − равносильные события.

Например, событие A состоит в том, что вы не пропустили ни одной лекции и семинара, написали на «отлично» все контрольные работы и выполнили все лабораторные работы, а событие B состоит в том, что вы получите зачет-«автомат».

3. C = A B − произведение событий состоит в одновременном наступлении событий A и B .

Например, событие A состоит в том, что студентка Х из вашей группы случайно в данный момент находится в кинотеатре «Ударник», а событие B состоит в том, что студент Y из вашей же группы тоже, естественно, совершенно случайно находится там же. Значит, событие C состоит в том, они оба, естественно, совершенно случайно, вместо лекции оказались на соседних креслах и на последнем ряду.

10