Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

для дискретных случайных величин

−∞ −∞

На рис. 8.2,а и 8.2,б показано распределение случайных точек на плоскости при различных значениях корреляционного момента.

Рис. 8.2. Распределение случайных точек:

а – нет корреляционной связи; б – положительная корреляция

Из рисунка видно, что чем больше корреляционный момент между случайными величинами (X , Y ), тем теснее располагаются

точки друг к другу. Однако корреляционный момент характеризует не только степень «тесноты» зависимости между X и Y, но и их рас-

сеяние. Действительно, если X мало отличается от mx , то Kxy бу-

дет близок к нулю, хотя случайные величины X и Y могут быть и сильно связаны. Поэтому для характеристики именно степени связи между X и Y вводится безразмерная величина

71

Величина rxy называется коэффициентом корреляции. Если rxy = 0, то случайные величины называются некоррелированными.

Отметим сразу, что некоррелированность в общем случае не означает независимости случайных величин. В то же время из независимости некоррелированность следует. Действительно, если X и Y

независимы, то, согласно выражению (8.2), f (x, y) = f1(x) f2 ( y), тогда

+∞ +∞

Kxy = (x − mx )( y − my ) f (x, y)dxdy =

= (x − mx ) f1(x)dx ( y − my ) f2 ( y)dy = 0.

−∞ −∞

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости. Можно показать, что если между случайными величинами есть функциональная зависимость Y = a X + b, то

rxy = +1, если a > 0 и rxy = −1, если a < 0. В общем случае, когда X и Y связаны вероятностной зависимостью, то −1 < rxy < 1.

Пример. На рис. 8.3 показан фрагмент листа программы Exel , где показаны результаты случайного розыгрыша роста и веса человека. При этом полагалось, средний рост и средний вес человек связаны эмпирическим соотношением вес(кг) = (рост (см) −

−110 см) кг/см. Относительное среднее квадратическое отклоне-

ние по росту было принято 5 %, а по весу 10 %. Случайные величины разыгрывались с помощью функции =НОРМОБР(СЛЧИС(); среднее значение; среднее квадратическое отклонениие). Затем с помощью функции =КОРРЕЛ(массив1;массив2) был рассчитан коэффициент корреляции (рис. 8.4).

72

Рис. 8.3. Результаты случайного розыгрыша роста и веса человека

Рис. 8.4. Физические параметры человека в случайно отобранной группе

73

Числовые характеристики системы n-случайных величин

Система случайных величин (X1...Xn ) может быть охарактеризована следующим минимальным числом характеристик:

1.n-математических ожиданий m1... mn ;

2.n-дисперсий;

3.n (n − 1)-корреляционных моментов Kij = M[Xi X j ] , где i ≠ j.

Корреляционные моменты образуют симметричную положительноопределенную матрицу

ˆ

Для некоррелированный случайных величин матрица K диагональна. Два случайных вектора X и Y называются некоррелированными, если каждая из составляющих вектора X некоррелирована с каждой из составляющих вектора Y , т.е. Kij = 0 для всех i = 1,..., n и j = 1,..., n.

Лекция 9. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН НА ПЛОСКОСТИ)

Из законов распределения случайных величин рассмотрим наиболее распространенный – нормальный. Для наглядности ограничимся случаем системы из двух случайных величин, поскольку она может представляться случайной точкой на плоскости. Функция плотности распределения системы в этом случае выражается формулой

где

74

Функция распределения случайной величины Х есть:

Из формулы (9.6) видно, что при нормальном законе распределения случайных величин из некоррелированности следует их незави-

Формулу (9.7) можно привести к виду

75

Сравнивая выражение (9.9) с выражением (9.4), легко заметить, что f ( y/x) есть плотность распределения случайной величины,

имеющей нормальный закон распределения, если положить

Из этих формул видно, что от x зависит только математическое ожидание, но не дисперсия. При этом my/x есть условное матема-

тическое ожидание. В геометрическом плане выражение (9.10) представляет собой линию, которая называется линией регрессии случайной величины Y на X.

Числовые характеристики функций случайных величин

На практике часто возникает необходимость определять статистические характеристики функции от случайных величин.

В математическом плане задача ставится следующим образом. Случайная величина Y есть неслучайная функция нескольких слу-

чайных величин Y = ϕ(X1... Xn ). Известны математические ожидания и дисперсии аргументов: mx1 ... mxn и Dx1 ... Dxn . Требуется

определить математическое ожидание и дисперсию функции M[ϕ(X1...Xn )] = mϕ и D[ϕ(X1...Xn )] = Dϕ . Начнем с простейшего

случая, когда имеется случайная величина X с заданным законом распределения f (x) и случайная величина Y, связанная с X функ-

циональной зависимостью Y = ϕ(X ). Требуется определить mϕ и Dϕ . Рассмотрим сначала случай, когда X дискретная случайная величина с известным рядом распределения:

76

Тогда возможные значения величины Y и вероятности этих значений даются рядом распределения

−∞

Дисперсия функции в соответствии с ее определением есть для дискретной случайной величины

i=1

Для непрерывной случайной величины

−∞

Обобщая вышеприведенные формулы на функцию многих случайных аргументов, например для непрерывных случайных величин, получим

−∞ −∞

Примечательным в приведенных выше выражениях является то,

что для определения числовых характеристик функций случайных

77

аргументов достаточно знать только закон распределения аргу-

ментов. Более того, если функция линейно зависит от своих аргументов, то знать закон их распределения тоже не обязательно. Для определения числовых характеристик в этом случае достаточно знать только числовые характеристики самих аргументов. Нетрудно показать справедливость следующих соотношений.

1. Математическое ожидание постоянной величины есть сама эта величина

Действительно, если рассматривать неслучайную величину с как частный вид случайной, принимающей единственное значение с

вероятностью p = 1, то M [c]= p c = 1 c = c.

3. Дисперсия не случайной величины равна нулю:

3. Не случайная величина может быть вынесена за знак матема-

4. Вынесение не случайной величины за знак дисперсии и сред-

5. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий

78

6. Применяя результаты пп. 1−5, можно показать, что математическое ожидание линейной функции от случайных аргументов равно линейной функции от математических ожиданий аргументов:

79

Приведенные правила еще раз подчеркивают важное свойство математического ожидания как линейного оператора. Приведем еще ряд полезных соотношений для нелинейной функции – произведения случайных величин:

а) математическое ожидание произведения случайных величин

б) дисперсия произведения независимых случайных величин

Рассмотренный выше аппарат числовых характеристик позволяет определять числовые характеристики функций случайных аргументов, зная лишь числовые характеристики самих аргументов. В этом заключается его удобство. Однако применим этот аппарат, главным образом, к линейным функциям. Если исходная функция нелинейна, то выйти из положения можно следующим образом.

Допустим, что значения случайной величины X ограничены пре-

делами α и β, а случайная величина Y связана со случайной величиной X функциональной зависимостью

Разложим функцию Y в ряд около точки mx и ограничимся членами первого порядка малости

Чем меньше интервал (α, β), тем точнее выполняется соотношение

(9.29). Так как теперь функция Y является линейной относительно аргумента X, то для нахождения ее математического ожидания и дисперсии можно применить аппарат числовых характеристик:

80