Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

3.В выделенных ячейках щелкните по кнопке «Увеличить разрядность», чтобы отражались два десятичныхз знака.

4.Выделите ячейку B2 и вставьте в нее функцию НОРМРАСП. (Вставка → Функция → Мастер функций → Статистиче-

ские → НОРМРАСП). После применения мастерав диаграмм вы получите нижеприведенный рисунок (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Плотность распределения размера обуви у студенток ИИМ

5. Для решения задачи нам потребуется функция НОРМРАСП с параметром «Интегральная», равным единице, при этом функция возвращает интегральную меру левого хвоста распределения (вероятность того, что значение случайной величины X будет менее заданного значения x , т.е. P(X < x) ). Используя эту функцию при

x1 = 42 и x2 = 40, получим результаты, приведенные в табл. 7.1. Искомая вероятность составляет величину 0,022321.

61

Система случайных величин

На практике часто встречается необходимость описывать объекты, которые характеризуются не одной, а несколькими случайными величинами, образующими комплекс или систему. Например, мужская рубашка обычно идентифицируется в магазине по двум параметрам: размеру воротника и длине рукава. Понятно, что объем шеи и длина рук у случайно отобранного из человеческой совокупности индивидуума являются случайными величинами. Вместе с тем очевидно, что между этими случайными величинами есть связь. Однако она не носит жесткого функционального характера. Также не носит жесткого характера связь между ростом, и весом человека. Нельзя, зная рост, однозначно указать вес человека, но мы знаем, что, как правило, чем больше рост человека, тем больше его вес. Таким образом, в данном случае объект исследования описывается системой случайных величин. Важно отметить, что в данном примере для вероятностной характеристики объекта недостаточно знать отдельно функцию плотности распределения роста и функцию плотности распределения веса. Иными словами, свойства системы случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных величин её составляющих, помимо этого они включают также взаимные связи между случайными величинами.

Система двух (X , Y ) или более (X1...Xn ) случайных величин

может быть изображена случайной точкой, соответственно, в двухмерном или n-мерном пространстве.

Прежде чем формально вводить определение функции распределения для системы величин, обратимся к рис. 7.5.

На этом рисунке в координатах (вес, рост) показаны физические кондиции некоторой группы людей. Как вы видите, случайные точки распределены неравномерно. Пусть численность исследуемой группы равна N, количество точек, лежащих ниже прямой A − A

(рост 170 см), равно NA , количество точек, лежащих левее прямой B − B (вес менее 70 кг), равно NB , а число точек в квадранте AOB равно NAOB . Тогда вероятность того, что случайная точка будет лежать левее прямой B − B, будет пропорциональна частоте

wB = NNB , т.е. вероятности того, что вес будет менее 70 кг. Обо-

62

значим эту вероятность F1(x) . Аналогично, отношение числа точек,

есть величина пропорциональная вероятности того, рост человека будет ниже 170 см. Обозначим эту вероятность F2 ( y). Частота

wAOB = NANOB будет пропорциональна вероятности того, что при

росте менее 170 см. вес человека будет менее 70 кг. Обозначим эту вероятность F(x, y).

Рис. 7.5. Геометрическое толкование случайной точки в двумерном пространстве

Если точку O (x, y) поднимать вверх вдоль прямой A − A, то

количество точек в квадранте AOB будет увеличиваться за счет включения людей с большим ростом, но при этом их вес будет оставаться менее 70 кг. Понятно, что при этом F(x, y) → F1(x). Ес-

ли же передвигать точку O(x, y) вправо по прямой B − B′, то коли-

чество точек будет увеличиваться за счет включения людей с большим весом, но при росте менее 170 см. При этом F(x, y) → F2 ( y).

После такого предварительного пояснения введем формальное определение функции распределения системы двух случайных величин.

63

Функция распределения системы двух случайных величин

Функцией распределения двух случайных величин называется вероятность совместного выполнения двух неравенств X < x и Y < y :

Свойства функции распределения следуют из ее геометрической интерпретации (рис. 7.6).

Рис. 7.6. Геометрическая интерпретация функции распределения

Свойства функции F(x, y)

1) Функция распределения системы случайных величин − неубывающая функция. Это означает, что если x2 > x1 , то

F(x2 , y) ≥ F(x1, y), если y2 > y1, то F(x, y2 ) ≥ F(x, y1);

2)F(x,−∞) = F(−∞, y) = F(−∞, −∞) = 0;

3)F(x,+∞) = F1(x), F(+∞, y) = F2 ( y);

4)F(+∞, +∞) = 1.

Условимся событие, состоящее в том, что случайная точка попадет в область R, обозначать (X , Y ) R.

Найдём вероятность попадания точки в область в виде прямо-

64

В выражении (7.10) последний член входит со знаком «+» потому, что при вычитании F(α, δ) и F(β, γ) мы два раза вычитаем

площадь F(α, γ).

Пусть теперь область R представляет собой элементарный прямоугольник с площадью S = x y.

Рис. 7.7. К выводу функции плотности распределения системы

Вероятность попадания случайной точки в эту элементарную площадку есть

Для непрерывных случайных величин существует предел

Функция f (x, y) называется плотностью распределения системы двух случайных величин. По своему смыслу f (x, y)dxdy есть веро-

ятность попадания случайной величины в элементарную площадку dS = dxdy. Понятно, что вероятность попадания случайной точки в

произвольную область R есть

65

На рис. 7.8 показана геометрическая интерпретация плотности распределения как поверхности.

Рис. 7.8. Геометрическая интерпретация плотности распределения системы двух случайных величин

Между функцией распределения и плотностью распределения существует простая связь:

−∞ −∞

В справедливости этого выражения легко убедиться, если взять производную по переменному верхнему пределу. Тогда получим выражение (7.12).

Свойства функции плотности распределения f (x, y) вытекают из свойств функции распределения F(x, y) :

1)так как F(x, y) неубывающая функция, а f (x, y) ее производная, то f (x, y) ≥0;

2)поскольку F(+∞, +∞) =1, то из выражения (7.14) следует

+∞ +∞

f (x, y) dxdy =1.

−∞ −∞

66

Лекция 8. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ВХОДЯЩИХ В СИСТЕМУ

Условные законы распределения

Обратимся к третьему свойству функции распределения системы. Смысл его в том, что оно связывает функцию распределения системы с функцией распределения одного аргумента: F(x, + ∞) =

= F1(x); F(+∞, y) = F2 ( y). Вернемся к примеру с ростом и весом человека. Функция распределения F1(x) есть вероятность того, что вес человека будет меньше заданного P(X < x), и эта вероятность не зависит от того, какой рост у человека, и, наоборот, F2 ( y) есть

вероятность того, что рост человека будет меньше заданного P(Y < y), и эта вероятность не зависит от того, какой вес у челове-

ка. Понятно, должна существовать связь и между такими функциями, как плотность распределения системы f (x, y), и плотностями

распределения отдельных переменных f1(x) и f2 ( y).

Теорема. Пусть f (x, y) − плотность распределения системы случайных величин (X ,Y ), тогда плотность распределения от-

Доказательство. Функция распределения системы двух случай-

нее, исходя из геометрического смысла функции распределения,

67

Данная теорема показывает, что, зная закон распределения системы величин, можно определить закон распределения каждой из них, обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Недостаточно знать закон распределения каждой величины, необходимо знать зависимость между величинами, входящими в систему. Эта зависимость может быть охарактеризована с помощью условных законов распределения.

Условным законом распределения случайной величины X, вхо-

дящей в систему (X , Y ), называется закон её распределения, вы-

численный при условии, что случайная величина Y приняла определённое значение. Для условной функции распределения введем обозначение F(x/y) , а для условной плотности распределения, соот-

ветственно, f (x/y).

Пример. Пусть система случайных величин (X , Y ) − это вес и рост человека. Тогда, например, если y = 180 см, а x = 50 кг, то F(50 кг/180 см) есть вероятность того, что при росте 180 см. вес

будет менее 50 кг. Понятно, что если это мужчина, то дистро-

фик, а если девушка… − то «модель»!

Зная закон распределения одной из величин, входящей в систему и, условный закон распределения другой − можно определить закон

Вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник R есть P((X ,Y ) R) = f (x, y)dxdy. Из рис. 8.1 видно,

что для того, чтобы попасть в эту область, необходимо, чтобы произошло два события. Во-первых, случайная величина X попала в элементарную полосу от x до x + dx. Во-вторых, чтобы случайная величина Y попала в элементарную полосу от y до y + dy. Произве-

дение этих двух событий и есть событие, заключающееся в том, что случайная точка попадет в элементарный прямоугольник R.

68

f (x/y) = f1(x) − случайная величина X не зависит от случайной

величины Y;

f ( y/x) = f2 ( y) − случайная величина Y не зависит от случайной

величины X.

Зависимость или независимость случайных величин всегда взаимны. Действительно, если случайная величина X не зависит от

случайной величины Y, т.е. f (x/y) = f1(x) , то из (8.1) следует, что

величина Y не зависит от X.

Для независимых случайных величин плотность распределения системы равна произведению плотностей распределений отдельных величин

Числовые характеристики системы двух случайных величин

Важнейшими числовыми характеристиками системы двух слу-

чем не отличается от смысла числовых величин, рассмотренных ранее для одной переменной. Но эти числовые характеристики никак не отражают тот факт, что случайные величины X и Y образуют систему случайных величин (X , Y ). Характеристикой именно си-

стемы случайных величин является корреляционный момент Kxy , который по определению есть

Ввиду особой важности этой характеристики приведем ее явный вид для дискретных и непрерывных величин:

70