Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Например, сила тока в электрической цепи или время опоздания студента на лекцию.

Случайная величина считается полностью определённой с вероятностной точки зрения, если существует соотношение между значениями случайной величины и соответствующим им вероятностями. Такое соотношение называется законом распределения случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины

Закон распределения дискретной случайной величины X считается заданным, если известны все ее возможные значения x1, x2 , , xn и вероятности их появления P(x1) = p1, P(x2 ) = = p2 P(xn ) = pn . В дальнейшем большими буквами будем обо-

значать случайную величину, а малыми – конкретные ее значения, которые могут появиться в результате опыта.

Так как это событие, т.е. появление конкретных значений, образует полную группу несовместных событий (действительно, не может же одна случайная величина в одно и то же время иметь два

значения!), то n P(xi ) =1 . Про-

i=1

стейшей формой задания дискретной случайной величины является табл. 3.1 (ряд распределения).

Пример. Пусть случайное число X − это число появлений «герба» при двукратном бросании монеты. Требуется составить ряд распределения. Понятно, что случайная величина X может принимать лишь три значения: 0 – «герб» не выпадет ни разу, 1 – «герб» выпадет один раз, 2 – два раза. Легко посчитать вероятно-

сти этих событий. Обозначим A1 − событие, заключающееся в вы-

21

падении «герба» при первом броске ( A1 − выпадение «решки» при первом броске), A2 − выпадение «герба» при втором броске ( A2 −

выпадение «решки» при втором броске). Используем теоремы сложения и умножения вероятностей. Пусть вероятность выпадения «герба» при однократном бросании монеты p . (Понятно, что

p =0,5.) Тогда, вероятность не выпадения герба равна 1− p . Так

как результаты при бросании монеты первый и второй раз не зависят друг от друга, то событие C, заключающееся в том, что «герб» не выпадет ни первый, ни второй раз, есть произведение

событий C = A1A2 , и по теореме о вероятности произведения событий получимP(0) = P(A1)P(A2 ) =0,5 0,5 =0, 25. Аналогично, вероятность того, герб выпадет два раза подряд, есть P(2) =

= P( A1)P( A2 ) =0,5 0,5 =0, 25.

Событие B, состоящее в выпадении «герба» один раз при двукратном бросании монеты, есть B = A1A2 + A1A2 . Действительно, для реализации события C необходимо, чтобы «герб» выпал либо при первом, либо при втором броске. Понятно, что события A1A2 и A1A2 несовместны, поэтому можно использовать теорему сложения вероятностей P(B) = P(A1 A2 ) + P( A1A2 ) и, применяя затем теорему умножения вероятностей, получим P(B) = P( A1)P(A2 ) + +P(A1)P(A2 ) =0,5.

Ряд распределения имеет вид табл. 3.2.

Графическое представление ряда распределения называют многоугольником распределения. В данном случае он имеет вид, представлен-

ный на рис. 3.1.

22

видите, очень полезный закон.

Пример. Рассмотрим пример, близкий к вашей будущей специальности – «инновационный менеджмент». Допустим, вы хотите продать некий интеллектуальный продукт. У вас есть 10 потенциальных покупателей ( n =10 ). Причем вероятность продать каждому из них одна и та же и равна p = 0,2 . Спрашивается, ка-

кова вероятность продать продукт m покупателям? Желательно знать это значение вероятности для различных m = 1,...10 ? Счи-

тать вручную по вышеприведенной формуле долго и лишено необходимости. В настоящий момент практически во всех математических пакетах MatLAB, MathCAD, Maple и др. есть разделы, связанные с решением задач теории вероятностей и статистики. Есть такая возможность и в хорошо вам известной программе Exel. Покажем, как это можно сделать. Откройте программу Exel. Введите информацию, представленную в первых 6 строчках на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Биномиальные вероятности

24

Введите значения от 0 до 10 в ячейки A7:A17. Выделите ячейку B7 и в меню «Вставка» выберете команду «Функция». В диалоговом окне «Мастера функций» выберете в списке категорий «Статистические» и функцию «БИНОМРАСПР». Нажмите OK. (Сокращенно указанный порядок действий можно записать так:

Вставка → Функция → Мастер функций → Статистические → БИНОМРАСПР.)

В окне «Аргументы функции» (рис. 3.3) заполните строки в соответствии с рисунком.

Рис. 3.3. Диалоговое окно БИНОМРАСПР

1.Выделите ячейку С7 и повторите шаги 3 и 4, но введите 1 в качестве аргумента строку «Интегральная».

2.Введите формулы в ячейки D7, E7 и F7, показанные на рис. 3.4.

3.Чтобы скопировать формулы, выделите ячейки B7:F7. Скопируйте их в буфер (нажмите клавиши Ctrl-C). Перетащите маркер заполнения в правом нижнем углу ячейки F7 к ячейке F17. Перед вами теперь должен появиться рисунок 3.2, на котором показаны результаты расчетов. В столбце B7:B17

находятся значения вероятностей того, что вы продадите продукт, соответственно, m покупателям. Если m = 0 , то никому не продадите, если m =1, то одному из покупателей и

25

т.д. Из анализа данных этого столбца видно, что наибольшей является вероятность продать двум покупателям. Гистограмма на рис. 3.5 визуализирует этот факт. Столбцы D, E, F содержат так называемые интегральные вероятности. Например, содержимое ячейки С9 определяет вероятность продажи либо одному, либо двум покупателям.

Рис. 3.4. Биномиальные формулы

Рис. 3.5. Гистограмма биномиального распределения

Отметим, что гистограммой некоторой величины называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, на которые раномерно разбита вся область изменения величины, а высоты равны отношению количества значений данной величины, попавших в интервал к величине интервала h.

26

Закон Пуассона

Частным случаем биномиального распределения является закон Пуассона. Можно показать, что если в биномиальном законе число испытаний увеличивать n → ∞, а вероятность события при этом

уменьшать p → 0, то биномиальный закон превращается в закон Пуассона:

где λ = np − среднее число появления события в n испытаниях.

Пример. Железнодорожные кассы продают в день 500 билетов. Вероятность возврата билета 0,002. Требуется найти вероятность того, что будет возвращено следующее количество билетов:

1) ровно три; 2) менее трех; 3) более трех. Понятно, что λ = pn = 1 , тогда:

1) вероятность того, что будет возвращено ровно 3 билета

есть P500 (3) = e−1 = 0,0613; 3!

2) вероятность того, что будет возвращено менее трех биле-

3) найдем вероятность того, что будет возвращено более трех билетов. События «возвращено более трех билетов» и «возвращено не более трех билетов» противоположны (обозначим вероят-

ность этого события Q ), тогда P = 1− Q = 1− [P500 (0) + P500 (1) +

+ P500 (2) + P500 (3)] = 0,019.

На рис. 3.6 показано распределение Пуассона для различных λ. Этот график также построен с помощью программы Exel. Поскольку нам придется и дальше приводить вид различных законов распределения, покажем, как это сделано в данном случае. После-

довательность шагов такова:

1.Откройте программу Exel.

2.Введите информацию, представленную в первых шести строчках на рис. 3.2.

27

ственно среднее равное 2, 3, 4, 5. Результат ваших действий должен быть таким, как на рис. 3.7.

9.С помощью «Мастера построения диаграмм» создайте рис. 3.6.

Рис. 3.8. Диалоговое окно ПУАССОН

Лекция 4. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Функция распределения и её свойства

Универсальной характеристикой, полностью описывающей любую случайную величину с вероятностной точки зрения, является функция распределения ее вероятности. Она определяется как вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем x, т.е.

Поясним смысл введения этого определения на таком примере. Допустим, мы рассматриваем множество людей, живущих на планете Земля, включая лилипутов ростом полметра и великанов ро-

29

стом три метра, на предмет исследования их физических кондиций, например роста. Если мы наугад для исследования выбираем человека, то для нас его рост является случайной величиной. Предположим, что значения роста человека непрерывно заполняют некоторый промежуток, допустим, от 0,5 до 3 м, аналогично геометриче-

ским точкам на отрезке [a, b]. Попытаемся определить вероятности

того, что наугад выбранный нами индивидуум будет иметь рост в пределах от 150 до 180 см. Понятно, что классическим определением вероятности мы здесь воспользоваться не можем, так как не можем перенумеровать все точки отрезка и, соответственно, составить таблицу – ряд распределения. С другой стороны, очевидно, что если мы наудачу будем выбирать из человеческой массы индивидуума, то чаще нам будут попадаться люди среднего роста от 150 до 180 см. Таким образом, рост случайно выбранного человека неравновероятно распределен по оси роста. Введение функции распределения позволяет описать в вероятностном плане такую ситуацию.

Функция распределения обладает следующими свойствами.

Свойства функции распределения

Свойство 1. Значения F(x) принадлежат отрезку [0, 1], т.е. 0 ≤ F(x) ≤ 1.

Это свойство следует из самого определения функции распределения как вероятности F(x) = P(X < x), поскольку вероятность не

может быть ни отрицательной, ни больше 1.

Свойство 2. F(x) − неубывающая функция, т.е. если x2 > x1 , то

F(x2 ) ≥ F(x1).

Доказательство. Пусть x2 > x1 . Событие, состоящее в том, что случайная величина X примет значение меньшее, чем x2 можно

подразделить на следующие два несовместных события: случайная величина X примет значение меньшее, чем x1 . (Слу-

чайная точка попадет левее точки x1 , см. рис. 4.1.) Вероятность этого события F(x1) = P(X < x1);

случайная величина X примет значение из интервала x1 ≤ X < x2 . Вероятность этого события P(x1 ≤ X < x2 ).

30