Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

4. C = A + B − сумма событий состоит в том, что наступает хотя бы одно из событий A или B .

Например, событие A состоит в том, что вы сдадите экзамен по данному предмету, а событие B , что нет.

5. A B = V − события A и B называются несовместными, если они не могут реализоваться одновременно (знак V означает невозможность события).

Например, событие A состоит в том, что сборная России по футболу не вышла в финал чемпионата мира, а событие B − стала чемпионом мира.

6. A1... An − события образуют полную группу событий, если хо-

n

тя бы одно из них непременно происходит. Ai = A1 + ... + An .

i=1

Например, событие Ai состоит в том, что при бросании шести-

гранной игральной кости выпадет i очков, тогда понятно, что ка- кое-нибудь число выпадет непременно. Более того, одновременно не могут выпасть два числа, т.е. события Ai и Aj несовместны, т.е.

A B = V , в этом случае говорят, что это полная группа попарно несовместных событий.

7. Два несовместных события A и A, образующих полную

группу, называются противоположными.

Пример – выпадение «орла» или «решки» при бросании монеты.

Классическое, геометрическое и статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности. Пусть имеется полная группа из n попарно несовместных и равновозможных элементар-

ных событий (исходов). Если событие A может реализоваться m элементарными исходами, то вероятность события A вычисляется

как P(A) = mn , где m − число исходов, благоприятствующих собы-

тию A , а n − общее число исходов.

11

Определим, например, вероятность события A , состоящего в том, что в результате бросания игральной кости выпадет четное число. Понятно, что такое событие может реализоваться тремя элементарными исходами: выпадает число 2, выпадает число 4, выпадает число 6. Таким образом, благоприятных элементарных исходов

3, а общее число исходов 6. Поэтому P(A) = 63 = 12 .

Из данного выше определения вероятности, легко выводятся

Доказательство: если событию A благоприятствуют m случаев, будем обозначать это так: A → m , тогда для противоположного события A → n − m и по классическому определению вероятности

Так как m2 ≥ m1 , то P( A) ≤ P(B) .

Геометрическое определение вероятности. Классическим определением вероятности легко пользоваться тогда, когда вы можете посчитать число возможных исходов, а как быть, если это сделать невозможно, например когда число исходов бесконечно? Например, вы настолько плохой стрелок, что можете попасть только в квадрат мишени, причем в совершенно произвольное место. Пусть в мишени, как обычно, нарисованы концентрические круги, например один

из них радиусом a4 (рис. 1.1). Какова вероятность того, что вы попадете в круг?

12

при достаточно больших n для большинства таких серий наблюдений сохраняет почти постоянную величину. И чем большее число независимых испытаний n мы будем проводить, тем реже будут наблюдаться большие отклонения от некоторой постоянной величины, которую мы будем принимать за вероятность события A.

Аксиоматическое определение вероятности. Данное определение вероятности включает как частные случаи классическое и статистическое определение вероятности и снимает недостатки каждого из них. Этот подход предложен А.Н. Колмогоровым и связывает теорию вероятностей с теорией множеств и метрической теорией функций. В силу задач, поставленных перед данным курсом лекций, мы аксиоматический подход рассматривать не будем.

Лекция 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Теоремы, которые мы сейчас рассмотрим, позволяют достаточно просто посчитать вероятности сложных событий, не занимаясь перебором всех возможных вариантов.

Напомним, что суммой событий называется событие C = A + B,

состоящее в том, что наступает хотя бы одно из событий: A, B или оба вместе.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство. Для наглядности воспользуемся геометрическим определением вероятности. На рис. 2.1,а показана мишень, в

которую наудачу бросается точка. Если она попадает в область D1, площадь которой g1, то происходит событие A, а если в область D2 площадью g2 , то событие B. Так как события A и B несов-

14

а б

Рис. 2.1. К теоремам сложения и умножения вероятностей: а – несовместные события; б – совместные

Следствия:

1) для произвольного числа несовместных событий P(A1 +

+A2 + ... + An ) = P(A1) + ... + P(An ) = n P(Ai ) ;

i=1

2)если A1... An образуют полную группу несовместных событий,

то P(A1 + ... + An ) = 1.

Если A и B совместны, то справедлива теорема сложения вероятностей совместных событий.

Теорема. Вероятность появления, хотя бы одного из двух совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Доказательство следует из геометрического смысла совместных событий (рис. 2.1,б). Суммарная площадь, отвечающая сумме собы-

15

тий, есть g1 + g2 за вычетом их площади пересечения (иначе мы бы

эту площадь учитывали два раза), т.е. одновременного наступления (произведения) событий C = A B.

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий P(A +

+B + C) = P(A) + P(B) + P(С) − P(A B) − P(A С) − P(B С) − P(A B С).

Теорема умножения вероятностей

Прежде чем говорить о теореме умножения, введем понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью события A относительно B называется вероятность события A, вычисленная при условии, что произошло событие B. Обозначается это так: P ( A/B) . Например, событие B

заключается в том, что по дороге в МИФИ вы встретили блондинку, а событие A состоит в том, что у нее при этом оказались действительно зеленые глаза, а не линзы. Тогда смысл теоремы умножения вероятностей состоит в том, что вероятность встретить блондинку с зелеными глазами P(A B) равна произведению вероятности встре-

тить просто блондинку P(B) , умноженную на вероятность того, что у этой блондинки зеленые глаза P(A/B) .

Теорему умножения вероятностей сформулируем следующим образом.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них на условную вероятность другого

Для доказательства обратимся к рис. 2.1,б. Пусть площадь пересечения областей D1 и D2 есть g3 ... Тогда вероятность произве-

дения событий A и B есть вероятность попадания точки в пересечение этих областей. Используя понятие геометрической вероятно-

сти, получим P(AB) = gG3 . Вероятность события A есть P(A) = gG1 ,

16

Можно показать, что для n событий теорема умножения вероятностей будет иметь вид

P(A1 A2 ... An ) = P(A1) P(A2 /A1) ... P( An /A1 A2 ...An−1).

Условие независимости событий выражается соотношением

P(A/B) = P(A) или P(B/A) = P(B).

Следствия:

1) если A не зависит от B, то и B не зависит от A. Действительно, если событие A не зависит от события B, то есть

P(A/B) = P(A) , то, применяя теорему умножения вероятностей в форме P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B) , получим P(B/A) = P(B);

2) вероятность произведения двух независимых событий есть

P(A B) = P( A) P(B) ,

Для произвольного числа событий P(A1 A2 ... An ) =

= P( A1) ... P(An ) .

Анекдот. Задаю на экзамене студенту ИИМ вопрос: «Какова вероятность того, что при бросании шестигранной игральной кости выпадет 6 очков?» Cтудент, ненадолго задумавшись, ответил: «Один делить на шесть». Я: «Правильно, а если два раза бросить кость, какова вероятность, что и при первом, и при втором броске выпадет 6 очков?» Студент задумался надолго и ответил: «одна двенадцатая». Тут задумался я и решил проверить: умеет ли студент МИФИ складывать дроби. (Типичная ошибка для менеджеров, когда складывают числители и знаменатели.) Говорю: «Вы, видимо, вместо теоремы умножения вероятностей использовали здесь теорему сложения и сложили одну шестую с одной шестой?» Ответ: «Ну, да». Я: «А как вы складывали дроби? » Студент: «Ну как, сложил знаменатели». Я (невинным голосом): «А что же вы числители-то не сложили?». Студент: «Ну, это было бы уже слишком!» На самом деле, видимо студент складывал и

17

числители, но тогда получалось 16 + 16 =122 и после сокращения на

двойку опять получается 16 ! Но это уже было с одной костью!

Понимая, что здесь другая ситуация, студент не складывал числители!

Теорема о полной вероятности

Теорема. Вероятность некоторого события A , которое может произойти вместе с одним из событий H1...H n , которые образуют

полную группу несовместных событий (гипотез), равна

Доказательство. Так как гипотезы H1...H n образуют полную группу несовместных событий, то событие A может появиться

Так как гипотезы не совместны, то Hi A и H j A несовместны,

следовательно, применима теорема о сумме вероятностей несовместных событий. Применяя ее, получим

Применяя затем к каждому из слагаемых теорему умножения ве-

18

условные вероятности появления события A с каждой из этих гипотез P(A/H1)...P(A/H n ) . Пусть в результате опыта наблюдено появ-

ление события A . Тогда вероятность гипотез переопределим следующим образом:

i=1

Доказательство. Из теоремы умножения вероятностей следует, что

P(A Hi ) = P(A) P(Hi /A) = P(Hi ) P(A/Hi );

Пример. Три молодых человека ухаживают за девушкой, жаждут встречи с ней, а потому вечерами дежурят около ее подъезда. Естественно, ни один из них не хочет в это время встречаться с остальными. Обозначим: H1, H 2 , H3 − события, состоящие в том,

что, соответственно, первый, второй или третий поклонник находятся у подъезда в 20.00. Понятно, что события H1, H 2 , H3 обра-

зуют полную группу несовместных событий. Какова вероятность события B, обнаружить девушку в означенное время с одним из

поклонников, если мы знаем:

1.Вероятности появления каждого из поклонников в это время

уподъезда. Пусть, по нашим представлениям, это будет, напри-

мер, P(H1) =0,4, P(H 2 ) =0,4, P(H3 ) =0,2.

2. Вероятность того, что девушка выйдет из подъезда, увидев

девушки либо экзамены, либо она смотрит передачу «Дом-2», либо ждет другого поклонника.

Но а если всё-таки событие B произошло. Ведь вероятность P(B) =0,18 не означает невозможности! Тогда следует переопре-

19

делить первоначальные (априорные) вероятности гипотез в соответствии с формулой Байеса и найти апостериорные вероятности

гипотез: P(H i /B) = P(Hi )P(B/Hi ) . Подстановка численных значе- P(B)

ний дает: P(H1 /B) =0,22, P(H 2 /B) =0,22, P(H3 /B) =0,56. Таким образом, мы ошибались в определении вероятности появления поклонников, но незначительно.

Данный пример можно переформулировать и так. Некий «менеджер» хочет продать некий продукт фирме. В фирме в данный момент безвластие и претендуют на пост генерального директора три человека. Только «менеджер» знает, какова вероятность

каждому из претендентов занять этот пост: P(H1), P(H 2 ), P(H3 ) . В зависимости от того, кто станет директором, вероят-

ность продажи разная, но по оценкам менеджера, учитывающим марку автомобиля, качество жилья, частоту посещений ресторана, казино, а следовательно, и требуемый объем «отката» для каждого из претендентов, он оценили условные вероятности: P(B/H1), P(B/H 2 ), P(B/H 2 ) . Спрашивается: какова вероятность

продать этот продукт?

Лекция 3. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, не известно заранее, какое именно.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной называют случайную величину, которая принимает

отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины образует счетное множество.

Например, число атомов, распадающихся в единицу времени или число студентов, присутствующих на лекциях по данному предмету.

20