венно отличаться. Руководство НИСТ не дает ответ на вопрос, как формировать последовательности в этом случае.

Примечание 3. Число возможных начальных состоянии генератора p может быть значительно больше m. Возможны ситуации, когда начальное состояние приводит к вырожденным циклам, то есть когда генератор постоянно переходит в состояние, равное предыдущему, или когда начальное состояние приводит к заведомо неслучайным последовательностям. Идеальным вариантом была бы проверка всех возможных начальных состояний, однако это потребовало бы значительных временных и вычислительных ресурсов. В связи с этим найден компромисс – тестирование только части значений, при этом критерий выбора m соответствующих величин из p возможных в Руководстве НИСТ не определен. В качестве одного из вариантов можно предложить формирование m начальных состояний из значений, полученных с генератора случайных или псевдослучайных последовательностей.

4.17.3. Исполнение набора статистических тестов

Каждая из m последовательностей проверяется каждым из t тестов набора. Результатом работы каждого теста является вычисление тестовой статистики s(obs) (табл. 4.11).

Таблица 4.11. Результаты выполнения набора статистических тестов

152

Примечание. В результате выполнения отдельных тестов может вычисляться не одна, а несколько статистик. В таких случаях необходимо хранить все полученные оценки. Возможен вариант получения интегральной оценки для теста – получения значений P-value для статистик теста и анализ этих значение при помощи критерия Колмогорова–Смирнова или Андерсона–Дарлинга, однако данный подход существенно снижает силу теста.

4.17.4. Анализ прохождения статистических тестов

Существует три варианта оценки тестовой статистики.

1.Пороговые значения. Если тестовая статистика больше (меньше) порогового значения, последовательность считается неслучайной.

2.Фиксированные интервалы. Если тестовая статистика выходит за пределы заданного интервала, последовательность считается неслучайной.

3.Вероятностные значения. Для тестовой статистики вычисляется P-value и выбирается уровень значимости . Если значение P-value больше либо равно , то тест считается пройден-

ным.

Поскольку для первых двух способов необходимо заранее рассчитывать пороговые значения и фиксированные интервалы, вычисление P-value представляется наиболее эффективным вариантом оценки тестовой статистики.

Таким образом, вычисляются значения P-value для тестовых статистик s(obs) как показано в табл. 4.12.

Таблица 4.12. Результаты вычисления значений P-value для тестовых статистик s(obs)

Существует два варианта оценки прохождения m последовательностями i-го теста, i 1, t .

1. Анализ числа появлений значений P-value. Данный анализ можно провести при помощи критерия 2 или критериев Колмого-

рова–Смирнова или Андерсона–Дарлинга. В первом случае, множество значений P-value [0; 1] разбивается на k категорий с вероят-

ностями, равными 1k в каждой категории, после чего подсчитыва-

k

анализируемая при помощи критерия 2 с числом степеней свободы, равным k – 1. Вычисляется интегральная оценка

Во втором случае вычисляется значение P-value для критериев Колмогорова–Смирнова или Андерсона–Дарлинга в предположе-

нии, что F x x .

2. Анализ значений P-value. Подсчитывается доля последовательностей, прошедших данный тест (т.е. доля последовательно-

стей, для которых P-value ), и определяется, принадлежит ли данная доля определенному доверительному интервалу.

Для заданного уровня значимости α (вероятности того, что неслучайная последовательность будет принята за случайную) теоретическое значение доли равно pт = 1 – α. Вероятность того, что отклонение экспериментальной доли рэ от рт не превысит заданного числа > 0, приближенно равна удвоенной функции Лапласа:

где ξ – точность оценки, γ– надежностьоценки, n – число испытаний.

154

Таким образом, если доля последовательностей, прошедших данный тест, лежит в указанном интервале, то для заданного уровня значимости теста α последовательность считается случайной с надежностью γ.

В Руководстве НИСТ отмечается, что при длине последовательности, большей 1 000 бит, доля последовательностей распределена по нормальному закону, следовательно, можно применить правило

«трех сигм», то есть 1 3 .

L 2

Таким образом,

рэ 1 3 1n ;1 3 1n .

Результаты тестирования набора из m последовательностей каждым из t тестов могут быть сведены в таблицу, аналогичную, например, табл. 4.13.

Непрохождение какого-либо теста свидетельствует о статистических слабостях в структуре генератора.

155