Мишулина Основы теории вероятностей 2011

2.Докажите свойство линейности оператора математического ожидания для случайного вектора непрерывного типа.

3.Чему равно математическое ожидание разности двух случайных величин?

4.Чему равно математическое ожидание случайного вектора Y AX , где X – случайный вектор размерности n, а А – неслучай-

ная матрица размерности [m×n]?

5.Чему равно математическое ожидание произведения неза-

висимых случайных величин Xi, i 1, n ?

матричной форме.

8.Как изменится дисперсия скалярной случайной величины, если ее отмасштабировать с помощью коэффициента с?

9.Является ли равенство нулю ковариационного момента случайных величин X1 и X2 необходимым условием их независимости?

10.Следует ли из равенства нулю ковариационного момента случайных величин X1 и X2 их независимость?

11.Справедливо ли равенство:

k12 = M[ X 1 X 2 ] M[ X 1 X 2 ] ?

12.Какими свойствами обладает ковариационная матрица случайного вектора с независимыми компонентами?

13.Какими свойствами обладает корреляционная матрица случайного вектора с независимыми компонентами?

14.Чему равна дисперсия суммы попарно независимых случайных величин?

15.Докажите, что D[X1 X2 ] D[X1 X2 ] .

16.Какова область возможных значений коэффициента корреляции случайных величин? Приведите доказательство.

151

17. Является ли равенство | r12 | 1 необходимым условием ли-

нейной зависимости случайных величин X1 и X2 ? Приведите доказательство.

18. Является ли равенство | r12 | 1 достаточным условием ли-

нейной зависимости случайных величин X1 и X2 ? Приведите доказательство.

19.Чему равен коэффициент корреляции r12 , если случайные величины X1 и X2 связаны равенством X1 3 X 2 5 ?

20.Случайный вектор X = col(X1, X2) имеет математическое ожидание mX= col( mX1 , mX 2 ) и ковариационную матрицу

Чему равна дисперсия случайной величины Y = 2X – 3Y + 3?

§ 26. Условные моменты случайного вектора

Рассмотрим двумерный случайный вектор X = col(X1 , X2) непрерывного типа с совместной плотностью распределения вероятностей f X1, X 2 (x1, x2 ) . В § 23 было введено понятие условной плот-

ности распределения вероятностей случайной величины X1 относи-

тельно условия X2 = x2: f X1 | X 2 (x1 | x2 ) .

Условное математическое ожидание произвольной функции ξ(X1) случайной величины X1 при условии, что случайная величина X2 приняла значение x2 , определяется следующим выражением:

Если ξ(X1) = X1 , то получим условное математическое ожидание случайной величины X1 относительно события X2 = x2:

mX1| X 2 (x2 ) M[X1 | X 2 x2 ] x1 f X1| X 2 (x1 | x2 ) dx1 . (3.103)

-

152

усреднения будет безусловное математическое ожидание случайной величины X1:

Справедливость приведенного равенства показывается прямой подстановкой выражения (3.103) для mX1 | X 2 (x2 ) в (3.104) и ис-

пользованием свойств (3.32) и (3.49) совместной плотности распре-

деления f X1, X 2 (x1, x2 ) .

Заметим, что в случае независимости случайных величин X1 и X2

mX1 | X 2 (x2 ) mX1 ,

т.е. условное и безусловное математические ожидания случайной величины X1 совпадают.

то получим выражение для условной дисперсии случайной величины X1 относительно события X2 = x2:

случайной величины X1 при X2 = x2. Она отражает ту меру неопределенности (рассеяния) значения случайной величины X1 , которая осталась после измерения X2 = x2. Средняя остаточная дисперсия

Функция регрессии mX1 | X 2 (x2 ) является наилучшей в средне-

квадратичном смысле оценкой значения случайной величины X1, если известно значение X2 = x2:

M[( X1 mX1|X 2 (x2 ))2 ] min M[( X1 h (x2 ))2 ] .

h( x2 )

Это свойство широко используется в теории статистического оценивания и прикладных задачах статистики.

Приведенные определения и свойства условных моментов, рассмотренные выше для случайных величин непрерывного типа, справедливы и для дискретных случайных величин.

Обобщим понятие условного математического ожидания на случайные векторы X = col(X'Т, X"Т), X' = col(X1, X2, …, Xm), X" = col(Xm+1, Xm+2, …, Xn). Условным математическим ожиданием

mX i | X"(x") случайной величины Xi , i 1, m , при условии, что слу-

чайная величина X" приняла значение x", называется: mX i | X"(x") mX i | X"(xm 1, xm 2 , ..., xn )

Вектор условного математического ожидания mX'|X"(x") определяется выражением:

mX'|X"(x") = col( mX1| X" (x"), mX 2| X" (x"), ..., mX m| X" (x") )

и называется функцией регрессии вектора X' на вектор X".

Пример 3.14. В примере 3.9 было рассмотрено дискретное распределение вероятностей двух статистически зависимых случайных величин X1 и X2 на множестве возможных значений {0, 1, 2} каждой из них. Для расчета условных математических ожиданий mX1 | X 2 (x2 ) , x2 = 0, 1, 2, используем формулу

2

mX1 | X 2 (x2 ) = i1 pX1 | X 2 (i1 | X 2 x2 ) .

i1 0

Воспользуемся фрагментом табл. 3.7, в котором приведены необходимые для расчетов безусловные и условные распределения случайных величин X1 и X2 :

154

Проверим выполнение равенства (3.104), согласно которому ус-

с использованием приведенного во фрагменте таблицы распределения pX 2 (i2 ) :

M X 2 [mX1|X 2 ( X 2 )] = 0,38·1,526 + 0,34·1,412 + 0,28·1,354 = 1,44.

Проведем расчет математического ожидания mX1 :

2

mX1 = i1 pX1 (i1) = 0·0,08 + 1·0,40 + 2·0,52 = 1,44.

i1 0

Равенство (3.104) выполнено.

Контрольные вопросы и задачи

1. Что называется условным математическим ожиданием произвольной функции ξ(X1) случайной величины X1 при условии, что случайная величина X2 приняла значение x2? Напишите определение для случайных величин непрерывного и дискретного типов.

155

2.Что называется регрессией случайной величины X1 на X2?

3.Напишите выражение для линейной регрессии X1 на X2 .

4.Как безусловное математическое ожидание mX1 случайной

величины X1 связано с условным математическим ожиданием mX1| X 2 (x2 )? Приведите доказательство.

5.Чему равно условное математическое ожидание случайной

величины X1 относительно X2 в случае независимости случайных величин? Приведите доказательство.

6.Что называется остаточной дисперсией случайной величины X1 при X2 = x2?

7.Как вычисляется средняя остаточная дисперсия X1 относи-

тельно X2?

8.Какое свойство функции регрессии X1 на X2 широко используется в теории статистического оценивания и прикладных задачах статистики?

9.Как обобщается понятие функции регрессии на векторные случайные величины?

10.Напишите общее выражение для функции линейной регрес-

сии случайной величины X1 на вектор X' = col(X2, X3, …, Xn).

§ 27. Характеристическая функция случайного вектора

Понятие характеристической функции скалярной случайной величины, введенное в § 18, обобщается на векторные случайные величины.

Характеристической функцией n-мерного случайного вектора

Определение (3.107) можно записать в краткой векторной форме:

X

где λ = col(λ1, λ 2, …, λ n).

156

Отметим основные свойства характеристической функции случайного вектора. Эти свойства будут далее иллюстрироваться на примере распределений непрерывного типа.

1. Для любых i , i 1, n, характеристическая функция φX(λ) ограничена | φX(λ) | ≤ 1 и удовлетворяет условию

Это утверждение следует из определения (3.108)

и свойства нормировки распределения вероятностей.

2. Характеристическая функция случайного вектора X = col(X1, X2, …, Xn) с независимыми компонентами X1, X2, …, Xn равна произведению их характеристических функций:

n

X ( 1, 2 , ..., n ) X i ( i ) . (3.111)

i 1

Сформулированное утверждение основано на свойстве (3.90) оператора математического ожидания, в котором произвольная

3. Характеристическая функция суммы независимых случайных

Для доказательства равенства (3.112) применяется определение (2.71) характеристической функции Z ( ) скалярной случайной

157

величины Z и свойство (3.90) оператора математического ожидания:

4. Если случайный вектор Y размерности m является линейным преобразованием случайного вектора X размерности n

Y = AX + B,

где А – матрица размерности [m×n]; B – вектор размерности m, то

Действительно, используя определение характеристической функции и свойства оператора математического ожидания, получим:

5. Если случайный вектор X = col(X1, X2, …, Xn) имеет смешан-

Этот результат может быть получен дифференцированием левой

иправой частей равенства (3.110) по переменным λ1, λ 2, …, λ n .

6.Плотность распределения вероятностей случайного вектора

X = col(X1, X2, …, Xn) непрерывного типа может быть определена с помощью его характеристической функции по формуле обратного преобразования:

158

Контрольные вопросы и задачи

1.Дайте определение характеристической функции n-мерного случайного вектора.

2.Напишите расчетные выражения для характеристической функции случайных векторов непрерывного и дискретного типов.

3.Какова область возможных значений абсолютной величины характеристической функции?

4.Каким свойством обладает характеристическая функция случайного вектора с независимыми компонентами? Приведите доказательство для случайного вектора дискретного типа.

X

рактеристическая функция X (λ) .

6.Чему равна характеристическая функция суммы независимых случайных величин?

7.Как определить характеристическую функцию случайного вектора Y размерности m, если он является линейным преобразованием Y = AX + B случайного вектора X размерности n с извест-

ной характеристической функцией X (λ)?

X = col(X1, X2, …, Xn)?

9. Как рассчитать плотность распределения вероятностей случайного вектора X = col(X1, X2, …, Xn) непрерывного типа, если известна его характеристическая функция X (λ) ?

159