Сандаков Методы решения задач по теме Интегралные уравнен 2012

ция задачи (56), (57), отвечающая собственному значению λK) ,

образуют максимальную ортонормированную систему из собственных функций интегрального уравнения (63), если функции uK (x) образуют максимальную ортонормированную систему с

весом r (x) из собственных функций задачи Штурма−Лиувилля

(56), (57).

Теорема 20. Если λ = 0 не есть собственное значение задачи Штурма−Лиувилля (56), (57), то для любой функции f (x) C [a, b] решение u (x) задачи (58), (59) раскладывается в

ряд Фурье по максимальной ОНС {uK (x)}r , K =1, 2, ..., с весом

r (x) из собственных функций задачи Штурма−Лиувилля (56), (57), т.е.

сходится абсолютно и равномерно на [a, b].

Теорема 21 (Cтеклова). Если λ = 0 не есть собственное значение

∞

Φ(x)= ∑(Φ, uK )r uK (x)

K=1

по максимальной ОНС {uK (x)}r , K =1, 2, ..., с весом r (x) из соб-

ственных функций задачи Штурма−Лиувилля (56), (57) сходится к функции Φ(x) абсолютно и равномерно на [a, b].

Следствие 5. Если λ = 0 не есть собственное значение задачи Штурма−Лиувилля (56), (57), то максимальная ОНС {uK (x)}r ,

K =1, 2, ..., с весом r (x) из собственных функций задачи Штурма− Лиувилля есть ОНБ и ПОНС в L2 (r; (a, b)), т.е. для любой

51

b

функции g (x) L2 (r; (a, b)) с нормой ∫r (x) g (x)2 dx <+∞ следу-

Следствие 6. Если λ = 0 есть собственное значение задачи Штурма−Лиувилля (56), (57) (ему соответствует не более двух ли-

нейно независимых собственных функций u0(1) (x), u0(2) (x) ортонормированных с весом r (x)), то ортонормированная система функций {u0(i), uK}r , i =1, 2; K =1, 2, ..., с весом r (x) из собствен-

условиям (53), (54), а d1 и d2 − постоянные.

Утверждение 11. Если λ = 0 не есть собственное значение задачи Штурма−Лиувилля (56), (57), то краевая задача (65), (66) имеет единственное решение

52

b

z (x)= ∫G (x, y) f (y)dy +C1υ1 (x)+C2υ2 (x),

Замечание 22. Система (67) всегда имеет и притом единственное решение.

Замечание 23. Решение краевой задачи (65), (66) можно представить в виде z (x) =u (x) + υ(x), где u (x) есть решение краевой

задачи

Lu = f ,

R1u = R2u = 0,

а υ(x) − решение краевой задачи

Lυ = 0,

R1υ = d1, R2υ = d2.

Решение неоднородной краевой задачи с параметром в случае нулевых граничных условий

[a, b], λ − комплексный параметр.

Из теоремы Гильберта следует, что краевая задача (68), (69) эквивалентна интегральному уравнению

53

a

Из (70) получаем утверждение.

Утверждение 12. Если λ = 0 не есть собственное значение задачи Штурма−Лиувилля (56), (57), то:

1) при λ ≠ λK, K =1, 2, ... , где λK − собственное значение зада-

чи Штурма−Лиувилля (56), (57), существует единственное решение краевой задачи (68), (69), которое может быть найдено по 1-й формуле Шмидта для интегрального уравнения (70) (см. формулу

(47));

2) при λ = λK (λK − собственное значение кратности 1 с собственной функцией uK (x), либо кратности 2, т.е. λK = λK+1 с собственными функциями, отвечающими им uK (x), uK+1 (x)) для раз-

решимости задачи (68), (69) необходимо и достаточно, чтобы функция g (x) была ортогональна всем собственным функциям

задачи Штурма−Лиувилля (56), (57), отвечающим собственному значению λK, т.е. чтобы (g, ui )= 0, где i = K, или i = K, K +1.

При этом решение краевой задачи (68), (69) может быть найдено по 2-й формуле Шмидта для интегрального уравнения (70) (см. фор-

мулу (48)).

Замечание 24. Решение краевой задачи

Lz = λr (x) z (x) + g (x);

R1z = d1; R2z = d2

можно представить в виде z (x) = u (x) + υ(x), где u (x) есть решение краевой задачи (68), (69), а υ(x) − решение краевой задачи

54

h1 + h2 > 0, H1 + H2 > 0, оператор L определяется равенством (52) и коэффициенты p (x) и q (x) в (52) удовлетворяют условиям: p (x) C1 [a, b], q (x) C [a, b].

Если λK, K =1, 2, ..., − собственные значения задачи Штурма−

Лиувилля (56), (57), то справедливы следующие теоремы. Теорема 22. Пусть в задаче Штурма−Лиувилля (56), (57)

q (x)≥ 0, p (x) > 0 на [a, b], тогда λK ≥ 0 для любого K =1, 2, ... .

Теорема 23. Если в задаче Штурма−Лиувилля (56), (57) p (x) > 0, q (x)≥ 0 на [a, b]. Тогда для того, чтобы λ = 0 было собственным

значением задачи Штурма−Лиувилля (56), (57), необходимо и достаточно, чтобы h1 = H1 = 0, q (x) = 0 на [a, b], при этом собствен-

ному значению λ = 0 соответствует собственная функция u0 ≡ const ≠ 0.

55

Пример 2.1. Найти решение краевой задачи

Решение. Нетрудно заметить, что заданное уравнение есть уравнение Эйлера [5]. Общее решение этого уравнения имеет вид

Заданная краевая задача не будет иметь решения тогда и только тогда, когда система

относительно C1 и C2 несовместна (эта система получена из заданных граничных условий). Система (75) несовместна при усло-

вии, если sin a = 0, cos a = −1 (если sin a = 0, то cos a = ±1).

В случае cos a =1 уравнения системы пропорциональны и, следовательно, система (75) совместна. Из последних условий находим,

что заданная краевая задача не имеет решений при a = (2n −1)2 π2.

Кроме того, как отмечено выше, при a = 0 также не существует решения краевой задачи. При a < 0 решение, очевидно, существует.

56

Пример 2.3. Построить функцию Грина следующей краевой задачи

Решение. Сначала покажем, что для данной краевой задачи функция Грина существует и она единственная. Для этого достаточно показать, что краевая задача (76), (77) имеет только тривиальное решение.

Заданное уравнение есть уравнение Эйлера. Стандартным методом [5] находим фундаментальную систему решений этого уравне-

ния y1 = x, y2 = x12 , т.е. общее решение уравнения (76) имеет вид

y (x)=C1x + Cx22 , где C1 и C2 − произвольные постоянные. Из

краевых условий (77) находим, что C1 = C2 = 0. Итак, задача (76),

(77) имеет только нулевое решение, а значит, для нее можно построить и притом единственную функцию Грина.

Будем искать функцию Грина G (x, y) в виде

57

Тогда из (79) и (80) для определения CK (y) получим систему

решение которой имеет вид C1 = 31y2 , C2 = − 3y . Далее функция

Грина должна удовлетворять заданным краевым условиям, которые в силу (78), (81) можно переписать в виде

родного уравнения и удовлетворяют, соответственно, 1-му и 2-му краевым условиям (83). Следовательно, согласно замечанию 20

58

можно функцию Грина G (x, s) краевой задачи (82), (83) искать в виде

Постоянные a и b будем находить из условий непрерывности функции Грина и из условия скачка производной функции Грина при x = s. Из этих условий для нахождения a и b получаем систему

a ch s −b e−s = 0;

−b e−s −a sh s =1.

Решая эту систему, получим a = −e−s, и = −ch s. Следовательно,

шениями уравнения (85) и удовлетворяют, соответственно, первому и второму из условий (86). Ни одна из этих функций не удовлетворяет сразу двум условиям (86). Поэтому функция Грина существует и единственна и ее можно искать в виде

A ch (x − a), 0 ≤ x ≤ s ; G (x, s)=

B ch (x −b), s ≤ x ≤ b.

Для нахождения постоянных A и B из условия непрерывности G (x, s) при x = s и условия скачка производной функции Грина при x = s получаем систему:

A ch (s −a) − B ch (s −b) = 0;

B sh (s −b)− A sh (s − a)=1.

59

Решение. Уравнение (87) можно переписать в виде x2 y′′+ xy′−K2 y = 0.

Это уравнение Эйлера. Согласно общей методике [5] нетрудно найти линейно независимые решения y1 = xK и y2 = x−K уравне-

ния (87). Так как задача (87), (88) имеет только тривиальное решение, то функция Грина задачи (87), (88) существует и она единственная. Будем искать ее в виде

Из условия непрерывности, условия скачка производной функции Грина и граничных условий (88) получаем для нахождения коэф-

60