Сандаков Методы решения задач по теме Интегралные уравнен 2012

Следовательно, согласно формуле (6) решение нашего интегрального уравнения будет:

Третье занятие.

ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ

Пусть заданы следующие интегральные уравнения Фредгольма второго рода

Совместно с этими уравнениями будем рассматривать сопряженные к ним уравнения:

где ядро K (s, t ) называют сопряженным к ядру K (t, s). Справедливы следующие утверждения.

Теорема 3. При фиксированном μ следующие четыре условия эквивалентны:

1)однородное уравнение (70) имеет только тривиальное решение x0 (t )≡ 0;

2)для неоднородного уравнения (7) существует единственное

решение для любой правой части y (t ) C (G);

3)однородное сопряженное уравнение (80) имеет только тривиальное решение z0 (t )≡ 0;

4)для неоднородного сопряженного уравнения (8) существует единственное решение для любой правой части ω(t ) C (G).

11

Замечание 2. Из теоремы 3 следует, что единственность решения уравнения Фредгольма второго рода эквивалентна существованию решения этого уравнения при любой правой части.

Теорема 4. При фиксированном μ однородное уравнение (70) и сопряженное ему уравнение (80) имеют одинаковое конечное число r ≥ 0 линейно независимых решений x1(0), x2(0), ..., xr(0) и z1(0),

z2(0), ..., zr(0).

Замечание 3. Если однородное уравнение (70) имеет только тривиальное решение при фиксированном μ, то это число μ называют нехарактеристическим (несингулярным).

Если при заданном μ однородное уравнение (70) имеет r (r ≥ 1) линейно независимых решений, то μ называют характеристическим

(сингулярным) числом, число λ = μ1 называют собственным чис-

лом, а соответствующие ему r линейно независимых функций называют собственными функциями оператора Фредгольма (5).

Теорема 5. При фиксированном μ для существования решения неоднородного уравнения (7) (соответственно (8)) необходимо и достаточно чтобы правая часть y (t ) (соответственно ω(t )) была

ортогональна (в метрике L2) всем решениям однородного сопря-

женного уравнения (80) (соответственно (70)) или более подробно: а) для существования решения неоднородного уравнения (7) необходимо и достаточно, чтобы правая часть y (t ) была ортого-

нальна всем решениям однородного сопряженного уравнения

(80), т.е.

(70), а СK (K =1, 2, ..., r ) − произвольные числа;

12

б) для существования решения неоднородного уравнения (8) необходимо и достаточно, чтобы правая часть ω(t ) была ортого-

K=1

где zчаст (t ) − произвольное частное решение уравнении (8); zK0 (t )

(K =1, 2, ..., r ) − линейно независимые решения уравнения (80), а

αK − произвольные числа.

Замечание 4. Скалярное произведение ( f , g ) вводится следующим образом ( f , g )= ∫ f (t )g (t )dt.

G

После формулировок теорем Фредгольма рекомендуем проиллюстрировать эти теоремы на примере систем линейных алгебраических уравнений.

Интегральные уравнения с вырожденным ядром

Ядро K (t, s) интегрального уравнения Фредгольма второго ро-

да называют вырожденным, если оно является суммой конечного числа произведений функций только от t на функции только от s, т.е. если оно имеет вид

но независимы между собой.

Замечание 5. Ядро сопряженное к вырожденному ядру (11), очевидно, также вырождено и имеет вид

n

K (s; t )= ∑ai (t )bi (s).

i=1

13

Интегральное уравнение с вырожденным ядром

G i=1

легко сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Действительно, положим

∫x (s)bj (s)ds = ξ j , j =1, 2,..., n.

G

Тогда если у интегрального уравнения (12) есть решение, то оно имеет вид

i=1

где ξi , i =1, 2, ..., n − неизвестные постоянные. Чтобы найти постоянные ξi , подставим значение x (t ), определяемое формулой (14), в равенство (13) и получим, вводя обозначения

систему линейных алгебраических уравнений относительно ξi

j=1

Если определитель этой системы отличен от нуля, то система (15), а следовательно, и интегральное уравнение (12) имеют единственное решение. Решением интегрального уравнения (12) будет функция x (t ), определяемая равенством (14), где числа ξ1, ξ2, ..., ξn

есть решения системы (15). Если же определитель системы (15) равен нулю, то согласно теореме Фредгольма (теорема 5) интегральное уравнение (12) имеет решение тогда и только тогда, когда правая часть y (t ) ортогональна всем решениям однородного инте-

грального уравнения

n

z0 (t )−μ∫ ∑bi (t )ai (s)z0 (s)ds = 0.

G i=1

14

Замечание 6. Можно показать, что интегральное уравнение (12) с вырожденным ядром и система (15) эквивалентны в том смысле, что каждому решению x (t ) уравнения (12) соответствует только

одно решение (ξ1, ξ2, ..., ξn ) системы (15) и, наоборот, каждому решению (ξ1, ξ2, ..., ξn ) системы (15) соответствует единственное

решение интегрального уравнения (12) и это соответствие между решениями уравнения (12) и системы (15) осуществляется форму-

лой (14).

Пример 1.6. Решить однородное интегральное уравнение

1

x (t )= λ∫(arccos t ) x (s)ds.

0

Решение. Запишем это интегральное уравнение в виде

Подставляя (16) в (17), получим для определения постоянной C1

уравнение

1

C1 = λC1∫arccos s ds.

0

Откуда очевидно имеем

C1 (1−λ)= 0.

Следовательно, если λ =1, то C1 − произвольное, и решение получаем в виде x (t ) = C arccos t. Если же λ ≠1, то C1 = 0 и заданное

интегральное уравнение имеет только тривиальное решение x (t ) ≡ 0.

Пример 1.7. Найти все решения уравнения

x (t )= λ∫1 t (s2ch s −es2 )x (s)ds +sh t.

−1

Решение. Перепишем заданное интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром в виде

15

Подставляя (18) в (19), получим для определения постоянных C1 и C2 систему уравнений

Так как под знаком всех интегралов стоят нечетные функции, то получим C1 = 0, C2 = 0. Следовательно, заданное интегральное

уравнение имеет единственное решение x (t ) =sh t.

Пример 1.8. Найти характеристические числа и собственные функции для следующего однородного интегрального уравнения:

1

x (t )= λ∫(t ch s − s sh t )x (s)ds.

Подставляя (20) в (21), получим для определения постоянных C1 и C2 систему уравнений

или после простых вычислений имеем

16

Следовательно, λ = − 21e является единственным характеристи-

ческим числом интегрального уравнения, ему соответствует собственная функция x (t )= C sh t, C ≠ 0.

Пример 1.9. Найти характеристические числа и собственные функции для следующего однородного интегрального уравнения

x (t )= λ∫1 (45t2 ln s −9s2 ln t )x (s)ds.

Подставляя (22) в (23), получим для определения постоянных C1 и C2 систему уравнений

Определитель этой системы

=−157λ2 − 4λ −1

иочевидно, что при любом вещественном λ он отличен от нуля. Следовательно, система (24) имеет только тривиальное решение

17

C1 = C2 = 0, и поэтому заданное интегральное уравнение не имеет

вещественных характеристических чисел.

Пример 1.10. Исследовать на разрешимость при различных значениях параметра λ следующее интегральное уравнение

x (t )−λ∫1 (t2 − 2ts)x (s)ds = t3 −t.

−1

Решение. Запишем заданное интегральное уравнение в виде

Подставляя (25) в (26), получим для определения постоянных C1 и C2 систему уравнений

темы несовместно, и, следовательно, заданное интегральное урав-

18

данного интегрального уравнения единственно и имеет вид

x (t )= t3 − 3(4λ+5) t. 5(4λ +3)

Четвертое и пятое занятия.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Следует напомнить основные определения, относящиеся к линейным нормированным пространствам и привести примеры нормированных пространств, с которыми в дальнейшем предстоит работать.

Линейное пространство Х называют нормированным пространством, если каждому элементу x X поставлено в соответствие неотрицательное число x (норма x), для которого выполнены следующие аксиомы:

1)для любого x: x ≥ 0; x = 0 x = 0;

2)λx = λ x ; 3) x + y ≤ x + y .

Линейное нормированное пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится. Полное нормированное пространство − банаховое.

Унитарное пространство H называется гильбертовым, если оно полно в норме, порожденной скалярным произведением этого пространства.

Примеры линейных нормированных пространств

1. Пространство C (G) − пространство непрерывных функций,

заданных в G с нормой x (t ) = max x (t ) . Справедливость аксиом

t G

1)−3) без труда проверяется.

2. RL2 (G) − унитарное пространство (определение унитарного пространства и введение нормы в унитарном пространстве см. в

19

[4]) интегрируемых по Риману в G функций со скалярным произведением

(x, y)= ∫x (t ) y (t )dt,

G

становится нормированным, если норму в нем определить равенством x = (x, x).

3. Пространство C (m) (G ). Элементами этого пространства яв-

ляются всевозможные функции, определенные в G и имеющие в

G непрерывные производные до m-й включительно. Операции сложения функций и умножения функции на число определяются

обычным образом. Норма элемента x (t ) C(m) (G) находится по формуле

4.Гильбертовое пространство L2 (G ) определяется как по-

полнение пространства RL2 (G) по норме, порожденной скалярным произведением в пространстве RL2 (G).

5.Пространство ограниченных числовых последовательно-

стей. Пусть X − множество ограниченных числовых последова-

тельностей x = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...). Это означает, что для любого x X существует такая постоянная M, зависящая только от x, что ξi ≤ M для всех i.

Введем норму в этом пространстве равенством x = sup ξi .

i

Она, очевидно, удовлетворяет всем аксиомам нормы. Действительно, проверки требует лишь аксиома треугольника. Имеем (если

20