Любомудров Системы счисления. Методы перевода чисел из позитсионноы системы 2014

27

Ответ: А6 = 14426.

Вторым подходом к переводу целых чисел (и целых частей смешанных чисел) является следующий подход.

Величина числа не зависит от системы счисления и является инвариантом. Это позволяет, опираясь на известную величину числа, представленного в позиционной системе счисления с основанием p1, переходить к записи этого числа в позиционной системе счисления с основанием p2. Этот переход удобно выполнять с использованием формулы (3.2).

Приведём примеры перевода целых чисел (и целых частей смешанных чисел) из позиционной системы с основанием p1 в позиционную систему счисления с основанием p2.

Пример 4.5. А2 = 110010102.

А2 → А10 = ?

Решение.

Величина числа А2 = 110010102, при её записи в десятичной системе счисления, равна

А2 = 1·27 + 1·26 + 0·25 + 0·24 + 1·23 + 0·22 + 1·21 + 0·20 = 20210 = A10.

В силу того, что величина числа А2, представленная в десятичной системе счисления, совпадает с искомой записью числа, записываем ответ А10 = 20210.

Ответ: А10 = 20210.

11

Пример 4.6. А10 = 17610.

А10 → А2 = ?

Решение.

Исходно величина числа А10 в силу его записи в десятичной системе счисления известна и равна А10 = 17610.

Записываем величину числа A10 с использованием двоичной системы счисления:

17610 = b1·27 + b2·26 + b3·25 + b4·24 + b5·23 + b6·22 + b7·21 + b8·20,

и подбираем величины bi, где i = 1, 2, …, 8. При выполнении под-

бора получаем b1 = 1; b2 = 1; b3 = 0; b4 = 0; b5 = 0; b6 = 0; b7 = 1;

b8 = 0.

Действительно, 17610 = 1·27+ 1·26 + 0·25+ 0·24 + 0·23 + 0·22 + +1·21 + 0·20.

Таким образом, А2 = 110000102.

Пояснения. В качестве максимальной степени m формируемого полинома выбираем такое минимальное значение m, при котором выполняется неравенство А10 <2m - 1, т.е. m = 7.

Ответ: А2 = 110000102.

Пример 4.7. А5 = 10345.

А5 → А7 = ?

Решение.

А5 = 10345.

Записываем величину числа A5 = 10345 в десятичной системе счисления:

A5 = 10345 = 1·53 + 0·52 + 3·51 + 4·50 = 125 + 15 + 4 = 14410,

и далее с использованием семеричной системы счисления

14410 = b1·72 + b2·71 + b3·70.

Подбирая величины bi (i = 1, 2, 3), получаем b1 = 2; b2 = 6; b3 = 4.

Таким образом, A5 = 10345 = 14410 =·72 + 6·71 + 4·70 = 2647 = А7.

Ответ: А7 = 2647.

12

Пример 4.8. А8 = 7248.

А8 → А7 = ?

Решение.

А8 = 7248 = 7·82 + 2·81 + 4·80 = 46810 = А10; А7 = b1·72 + b2·71 + b3·70 = 46810 = А10;

b1 = 5; b2 = 1; b3 = 1;

5·72 + 1·71 + 1·70 = 5117 = 46810 = А10.

Ответ: А7 = 5117.

5.Перевод дробей из позиционной системы счисления

соснованием p1 в позиционную систему счисления

соснованием p2

Допустим, задано число Аp1= Аp1 цел. часть, Аp1 др. часть, записанное в позиционной системе счисления с основанием p1.

Требуется записать дробную часть Аp1 др. часть в позиционной системе с основанием p2, т.е., согласно (3.3), записать её в виде

Аp2 др. часть =bm+1 p2-1 + bm+2 p2-2 + bm+3 p2-3 …+ bn ·p2m-n.

Из (3.3) следует, что для нахождения искомых цифр bi (i = m + 1,

m + 2, … , n) достаточно выражение для Аp2 др. часть (3.3) последовательно умножать на величину p2. При умножении целые части ре-

зультатов умножения будут являться искомыми цифрами bi

(i = m + 1, m + 2, … , n).

На изложенном принципе основан следующий метод перевода дробей и дробных частей смешанных чисел из системы счисления с основанием p1 в систему счисления с основанием p2.

Метод перевода дроби Аp1 → Аp2 .

1.Дробь Аp1 умножается на p2. Результат умножения содержит целую часть 1 и дробную часть 1.

2.Дробная часть 1 умножается на p2. Результат умножения содержит целую часть 2 и дробную часть 2.

3.Дробная часть 2 умножается на p2. Результат умножения содержит целую часть 3 и дробную часть 3. И т.д.

13

Целые части являются искомыми цифрами дроби Аp2 в позиционной системе счисления с основанием p2, начиная с цифры старшего разряда.

Все вышеуказанные действия выполняются в системе счисления с основанием p1.

Пример 5.1. Дана десятичная дробь А10 = 0,3110. Требуется записать эту дробь в двоичной системе счисления.

Решение.

0,31

×2

1-я цифра → 0,62

×2

2-я цифра → 1,24

×2

3-я цифра → 0,48

×2

4-я цифра → 0,96

×2

5-я цифра → 1,92

×2

6-я цифра → 1,84

×2

7-я цифра → 1,68

Ответ: А2 = 0,0100111…

При переводе дробей из системы счисления с основанием p1 в систему счисления с основанием p2 вышеизложенным методом возникает вопрос о необходимом количестве цифр после запятой в записи дроби Аp2.

Необходимое количество цифр n2 после запятой в записи дроби Аp2 определяется из равенства

14

где n1 – количество цифр после запятой в записи дроби Аp1, n2 – количество цифр после запятой в записи дроби Аp2.

Равенства (5.1) и (5.2) обеспечивают равенство точностей при записях чисел в системах счисления с основанием p1 и p2 соответственно.

Так как выражение (5.2) содержит целую и дробную части, то на практике для нахождения n2 применяют следующую формулу:

n2 = [(n1·lg p1) : (lg p2)] + 1,

в которой квадратные скобки обозначают, что от выражения (n1·lg p1) : (lg p2) берётся целая часть.

Для рассмотренного примера по переводу дроби А10 = 0,3110 в двоичную систему счисления

n2 = [(2·lg 10) : lg 2] + 1 = 7.

Приведём примеры перевода дробей Аp1 из позиционной системы счисления с основанием p1 в позиционную систему счисления с основанием p2.

Пример 5.2. А3 = 0,213 lg 3 = 0,477 lg 5 = 0,699

А3 → А5 = ?

Решение.

n2 = [(2·lg 3) : (lg 5)]+1 = [(2·0,477) : 0,699] + 1 = [1,37] + 1 = 2.

Ответ: А5 = 0,345.

15

Пример 5.3. А5 = 0,345 lg 5 = 0,699 lg 3 = 0,477

А5 → А3 = ?

Решение.

Пример 5.4. А5 = 0,435 lg 5 = 0,699 lg 7 = 0,845

А5 → А7 = ?

Решение.

n2 = [(2·lg 5) : (lg 7)]+1 = [(2·0,699) : 0,845] + 1 = [1,65] + 1 = 2

Ответ: А7 = 0,637.

Пример 5.5. А7 = 0,637 lg 7 = 0,845 lg 5 = 0,699

А7 → А5 = ?

16

Решение.

n2 = [(2·lg 7) : (lg 5)]+1 = [(2·0,845) : 0,699] + 1 = [2,41] + 1 = 3

Ответ: А5 = 0,4245.

6.Перевод чисел из системы счисления с основанием p1=2

всистему счисления с основанием p2=2k и обратно

Пусть задано число А2 = a1, a2, …, am, am+1, am+2, …, am-n, представленное в двоичной системе счисления. Требуется представить это

число в системе счисления с основанием p2 = 2k, где k = 2, 3, 4, ... .

Перевод числа А2 из системы счисления с основанием p1=2 в систему счисления с основанием p2=2k осуществляется следующим образом. Двоичные цифры исходного числа А2 разбиваются на группы по k разрядов влево и вправо от запятой. Каждая из сфор-

мированных групп даёт запись искомых цифр в системе счисления с основанием p2 = 2k.

Пример 6.1. Пусть задано число А2=110011101,1010100012,

представленное в двоичной системе счисления. Требуется записать это число в системе счисления с основанием p2 = 24, т.е. при k = 4.

А2 = 1 1001 1101, 1010 1000 12; А16 = 1 9 D , A 8 816.

Пример 6.2. Пусть задано число А2 = 101011000,000110112,

представленное в двоичной системе счисления. Требуется записать это число в системе счисления с основанием p2 = 23, т.е. при k = 3.

А2 = 101 011 000, 000 110 112;

Обратный перевод. Перевод числа Аp1 из системы счисления с основанием p1 = 2k в систему счисления с основанием p2=2 осуществляется посредством замены цифр числа Аp1 их двоичными эквивалентами.

Пример 6.3. Пусть задано число А16 = 19D, A8116 в системе счисления c основанием p1 = 16. Требуется записать это число в системе счисления с основанием p2 = 2.

А16 = 1 9 D , A 8 116; А2 = 0001 1001 1101 , 1010 1000 00012.

Пример 6.4. Пусть задано число А8 = 530, 0668 в системе счисления c основанием p1= 8. Требуется записать это число в системе счисления с основанием p2 = 2.

7.Перевод чисел из десятичной системы счисления

вдвоично-десятичную систему счисления и обратно

Этот перевод выполняется таблично без выполнения арифметических операций. Каждая десятичная цифра при этом переводе с помощью табл. 2.1 заменяется четырёхразрядным двоичным эквивалентом (тетрадой).

Пример 7.1. Пусть нам задано десятичное число A10 = 246,05310. Требуется записать это число в двоично-десятичных системах 8421

и 8421+3.

Заменяя цифры исходного числа A10 = 246,05310 с помощью табл. 2.1 четырёхразрядными двоичными эквивалентами, получаем:

А8421+3 = 0101 0111 1001, 0011 1000 01108421+3.

Обратный перевод чисел из систем счисления 8421 и 8421+3 в десятичную систему счисления выполняется также таблично посредством замены тетрад соответствующими десятичными цифрами.

18

Пример 7.2. Пусть задано число А8421 = 0011 1000 1001, 0101 0001 01108421, записанное в двоично-десятичной системе счисления

8421. Требуется записать это число в десятичной системе счисления.

Заменяя с помощью табл. 2.1 тетрады соответствующими десятичными цифрами, получаем:

А8421 = 0011 1000 1001, 0101 0001 01108421; А10 = 3 8 9 , 5 1 610.

Пример 7.3. Пусть задано число А8421+3 = 0101 1100 0011, 0101 0111 10118421+3, записанное в двоично-десятичной системе счисления 8421 + 3. Требуется записать это число в десятичной системе

счисления.

Заменяя с помощью табл. 2.1 тетрады соответствующими десятичными цифрами, получаем:

А8421+3 = 0101 1100 0011, 0101 0111 10118421+3; А10 = 2 9 0 , 2 4 810.

8. Перевод чисел с использованием промежуточных систем счисления

В некоторых случаях перевод чисел удобно выполнять с использованием промежуточных систем счисления.

Пример 8.1. Пусть требуется выполнить перевод числа А8 = 372, 0258 в шестнадцатеричную систему счисления.

При выполнении этого перевода удобно воспользоваться следующей схемой: А8 → А2 → А16. Применяя эту схему, получаем:

Пример 8.2. Пусть требуется выполнить перевод числа А16 = =FA,0A816 в четверичную систему счисления.

19

При выполнении этого перевода удобно воспользоваться следующей схемой: А16 → А2 → А4. Применяя эту схему, получаем:

9. Тесты

Тесты представляют собой задания для самостоятельной работы и выполняются студентом на практическом занятии в течение 20 минут.

В тестах предлагается два задания.

Первое задание взаимосвязано с непосредственным переводом чисел, имеющих целую и дробную части, из позиционной системы счисления с основанием p1 в позиционную систему счисления с основанием p2.

Второе задание связано с переводом чисел, имеющих целую и дробную части, из позиционной системы счисления с основанием p1 в позиционную систему счисления с основанием p2 с применением промежуточных систем счисления.

Вариант № 1

1.Задано число А7 = 651,2437 в позиционной системе счисления

соснованием p1 = 7. Требуется записать это число в позиционной системе счисления с основанием p2 = 4.

2.Задано число А16 = F05,4E316 в позиционной системе счисления с основанием p1 = 16. Требуется перевести это число в позиционную систему счисления с основанием p2 = 8. Перевод выполнить

сприменением промежуточной системы счисления.

Вариант № 2

1.Задано число А8 = 721,4328 в позиционной системе счисления

соснованием p1 = 8. Требуется записать это число в позиционной системе счисления с основанием p2 = 5.

20