Варламов Линейные електрические цепи переменного тока Ч3. 2012

сопротивлением ZC(p) подобно тому, как в цепях синусоидального тока емкостной элемент заменялся комплексным индуктивным сопротивлением 1/jωC. В случае ненулевых начальных условий для изображения напряжения на емкостном элементе должно выполняться соотношение

в котором первое слагаемое можно рассматривать как некоторый источник ЭДС в области изображений. При этом направление ЭДС источника EC0 должно быть противоположно направлению тока и напряжения на емкостном элементе.

Таким образом, операторная схема замещения емкостного элемента в области изображений состоит из элемента с операторным сопротивлением ZC(p) соединенного последовательно с источником ЭДС EС0. На рис. 2.2 показаны варианты операторной схемы замещения емкостного элемента при нулевых и ненулевых начальных условиях, в том числе вариант, в котором проведена замена источника ЭДС на эквивалентный источник тока.

Рис. 2.2

Законы Кирхгофа (и другие методы расчета линейных цепей) можно применить для нахождения изображений неизвестных токов и напряжений. Для этого достаточно построить операторную схему замещения, которая соответствует схеме цепи после коммутации. Ненулевые начальные условия должны быть учтены на операторной схеме замещения введением соответствующих источников ЭДС или источников тока так, как это показано на рис. 2.1 и 2.2. Алгоритм построения операторной схемы замещения и практиче-

41

ское применение методов расчета в операторной форме рассмотрим на различных примерах.

Примеры

Задача 2.1. Для схемы цепи, изображенной на рис. 2.3 построить операторную схему замещения и найти изображение для напряжения UL2 .

Решение.

1. Построение операторной схемы замещения. Проанализируем начальные условия на индуктивных и емкостных элементах. Нулевые на-

чальные условия имеют место на элементах L2 (ток в этой ветви до коммутации не протекает) и C2 (по условию этот емкостной элемент до коммутации не заряжен). Поэтому на операторной схеме замещения этим элементам соответствуют элементы с операторными сопротивлениями

На элементах L1 и C1 начальные условия являются ненулевыми. Через индуктивный элемент L1 до момента коммутации протекает

постоянный ток I = r +Er1 (в направлении, указанном на рис. 2.3

стрелкой).

Напряжение (направление, которого указано на рис. 2.3 стрелкой) на емкостном элементе С1 до момента коммутации не изменяется и равно

42

UC1 =Ur1 = Ir1 = rE+r1r1 .

На операторной схеме замещения этому элементу соответствует ветвь вг (см. рис. 2.4), состоящая из элемента с операторным со-

Резистивным элементам r, r1 и r2 на операторной схеме (см. рис. 2.4) соответствуют элементы, сопротивление которых совпадает с резистивным. Источнику постоянной ЭДС на операторной схеме замещения соответствует источник, ЭДС которого в области изображений составляет Е/р.

2. Найти изображение напряжения можно, например, воспользовавшись методом двух узлов:

В общем виде дальнейшее упрощение выражения UL2 ( p) неце-

лесообразно. Для нахождения оригинала необходимо знать конкретное соотношение между параметрами цепи либо их числовые значения.

43

1. Построение операторной схемы замещения. На емкостных элементах С1 и С2 начальные условия будут ненулевыми: до момента коммутации через резистивные элементы R1 и R2 протекает постоянный ток (направления тока и напряжения, указаны на рис. 2.5 пунктирными стрелками), поэтому

В момент коммутации: UC1 (0+) =UC1 (0+) и UC2 (0+) =UC2 (0−). На операторной схеме замещения (рис. 2.6) каждому из емкостных элементов соответствует ветвь, состоящая из элемента с операторным сопротивлением 1/рС и источника ЭДС

EC0 , причем

В операторной схеме замещения на рис. 2.6 отсутствует ветвь с резистивным элементом R, поскольку операторная схема замещения строится для интервала времени t ≥ 0. Резистивным элементам R1 и R2 соответствуют элементы с резистивными сопротивлениями, а источнику постоянного тока соответствует в области изображений источник J/p.

44

2. Изображения напряжений UC1 ( p) и UC2 ( p) могут быть най-

дены различными методами. Один из них – замена ветвей с источниками ЭДС на эквивалентные источники тока. В результате операторная схема замещения имеет вид, показанный на рис. 2.7.

Рис. 2.7

Такой же вид имела бы операторная схема замещения, если бы емкостные элементы С1 и С2 (при ненулевых начальных условиях) заменялись не на последовательно соединенные элементы (с операторным сопротивлением 1/рС и источником ЭДС EC0 ), а на па-

раллельно соединенные элементы, как это было показано ранее

(см. рис. 2.2).

Полученная операторная схема позволяет найти непосредственно

45

Полученные выражения для uC1 (t) и uC2 (t) при t = 0 дают значения uC1 (0) и uC2 (0) , совпадающие с ранее полученными значе-

ниями в п.1 решения этой задачи.

Временные диаграммы напряжений изображены на рис. 2.8.

46

Изображение можно записать (выделив полный квадрат):

3. Для перехода от найденного изображения к оригиналу тока i(t) используем таблицы оригиналов и изображений:

Между коэффициентами левой и правой части имеет место соответствие (указанное в таблице оригиналов и изображений):

Заметим, что в левой части изображения I(p) a = Lr , b = −2rL ,