Варламов Линейные електрические цепи переменного тока Ч3. 2012

Условием согласованного нагружения линии в сечении 2–2′ является

Г2−2 ' = Zвх2−2' − Zв = 0,

Zвх2−2 ' + Zв

т.е. в сечении 2–2′ должно выполняться

Zвх2−2' − Zв .

Так как волновое сопротивление линии без потерь Zв является действительным, а величина Zвх2−2' - комплексной, то последнее равенство разбивается на два:

относительно длин отрезков линий l1 и l2, которые обеспечивают согласованный режим исходной линии.

31

определяемые из граничных условий.

Для линии без потерь α = 0 и, следовательно, γ = iβ.

ты x.

Задача 1.2. Однородная длинная линия без потерь нагружена на активное сопротивление Zн = 300 Ом. Волновое сопротивление линии составляет Zв = 600 Ом. Значение напряжения в нагрузке равно Uн = 120 В. Определить положение максимумов и миниму-

мов в распределении U (x′/ λв) , а также величину напряжения в

этих точках.

Решение. Определим величину коэффициента отражения в нагрузке:

Тогда в соответствии с (1.33)

=Uпад (x′/ λв) + Uотр (x′/ λв).

Всоответствии с (1.50) точки максимумов функции U (x′/ λв)

находятся из условия сложения комплексных амплитуд падающей и отраженной волн в фазе:

2π( x′/ λв )max = −2π(x′/ λв )max +π+2πk, k = 0 ,1 …

а точки минимумов – в противофазе:

2π(x′/ λв )min = −2π( x′/ λв )min +π+π+2πk, k = 0 ,1 …

32

Таким образом:

Как видно из последних выражений, первый минимум напряжения в линии находится в нагрузке.

Значение напряжения в точках максимумов:

и в точках минимумов

Рис. 1.13

Задача 1.3. Определить напряжение на входе длинной линии без потерь, образованной двумя каскадно соединёнными отрезками

линий без потерь, длиной λ8в и λ4в соответственно (рис.1.14), если

X L = Zв.

33

Таким образом, источник Е работает в режиме холостого хода и, следовательно, искомое напряжение на входных зажимах длин-

ной линии U11′ = E .

Задача 1.4. Для согласования

длинной линии без потерь с нагрузкой

Zн = Zн′ + jZн′′ ( Yн =Yн′+ jYн′′) исполь-

зуется следующая схема (рис. 1.16). Определить длину замкнутого отрезка линии l и волновое сопротивление четвертьволнового отрезка линии Z для

согласования исходной линии. Решение. Четвертьволновое согласование может быть приме-

нено только для активных сопротивлений нагрузки. В этой связи длинна короткозамкнутого отрезка длинной линии (шлейфа) l оп-

34

ределяется из того условия, чтобы общее сопротивление Zвх22′ или проводимость Yвх22′ на зажимах были действительной величиной:

Входная проводимость слагается из проводимости нагрузки и входной проводимости шлейфа:

Yвх11′ =Yн +Yвх.шл.

Входная проводимость шлейфа – короткозамкнутого отрезка

В соответствии с (1.68):

Yн′′=Yвctg 2πl.

λв

И искомая величина l:

l = λв arctg Yв . 2π Yн′′

Что же касается волнового сопротивления четвертьволнового отрезка линии Zв1/4 то оно выражается следующим образом (1.64):

Zв1/4 = ZвZн′.

35

Глава 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

2.1. О некоторых ограничениях классического метода расчета переходных процессов

Проводя расчет переходного процесса классическим методом, для определения искомой реакции (тока или напряжения) необходимо найти произвольные постоянные, содержащиеся в выражении, которое задает реакцию как решение дифференциального уравнения. Реакция в общем случае имеет вид:

х = А1 eλ1t + А2 eλ2t + ...+ Ап eλпt + хуст.

Число произвольных постоянных Ak совпадает с порядком цепи (порядком дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс). Значение произвольных постоянных определяется начальными условиями – токами и напряжениями на элементах цепи в момент коммутации, а также их производными. В цепи первого порядка для любой реакции достаточно определить одну постоянную, в цепи второго порядка – значения двух произвольных постоянных. Используя законы коммутации совместно с законами Кирхгофа (или другими методами расчета) можно найти эти произвольные постоянные, причем первые производные токов на индуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах имеют очевидный физический смысл, соответственно, напряжений на индуктивных элементах и токов через емкостные элементы.

В цепях высокого порядка (при n > 2) потребуется находить не только напряжения, токи и значение их первых производных в момент коммутации, но и значение производных токов и напряжений более высокого порядка. Процедура их нахождения аналогична алгоритму действий для цепей первого и второго порядков и должна быть выполнена многократно (в зависимости от порядка цепи). Однако эта процедура становится формальной (физический смысл производных тока и напряжения второго порядка и выше далеко не очевиден), а многократность ее повторения делает классический метод малопригодным для расчета цепей высокого порядка. Применение классического метода, кроме того, ограничивается типом допустимых воздействий: источники токов и напряжений могут формировать в цепи только постоянные, синусоидальные и/или

36

экспоненциальные воздействия, которые обеспечивают, так называемую, стандартную правую часть в соответствующих линейных дифференциальных уравнениях, описывающих процессы в цепи.

Перечисленное выше не отбирает у классического метода его главного преимущества – наглядности и физичности при анализе процессов в цепях первого и второго порядков. На практике это актуально на начальных стадиях моделирования процессов в электрических цепях, когда стремятся получить относительно простые модели (которые «поддаются» физической проверке на адекватность).

2.2. Об использовании свойств преобразования Лапласа для расчета переходных процессов

В математике обосновывается, что для решения линейных дифференциальных уравнений применимы методы операционного исчисления, которые основываются на преобразовании Лапласа. Преобразование Лапласа ставит в соответствие функции f(t) действительной переменной t (в электротехнических задачах – времени) функцию F(p) комплексной переменной p на основании соотношения

∞

F ( p) = ∫e− pt f (t)dt.

0

Это соотношение имеет смысл для некоторого класса функций f(t), удовлетворяющих определенным условиям1.

Оказывается, что реакции электрических цепей, в которых протекают переходные процессы, удовлетворяют тем же условиям, либо могут быть представлены в виде функций, удовлетворяющих требуемым условиям.

Если функция F(p) удовлетворяет ряду условий, то ей с помощью соотношения, называемого обратным преобразованием Лапласа1, может быть поставлена в соответствие функция f(t).

1 При t < 0 f(t) ≡ 0; при t ≥ 0 функция f(t) имеет не более чем конечное

число точек разрыва первого рода; при t → ∞ функция f(t) имеет ограниченную степень роста, т.е. |f(t)| ≤ Meat для всех t > 0.

37

Функция F(p), связанная с помощью преобразования Лапласа с функцией f(t), называется изображением функции f(t). Функция f(t) называется оригиналом функции F(p). Связь между функциями F(p) и f(t) символически обозначают так:

F(p) f(t).

Следует обратить внимание, что в области изображений токи и напряжения имеют размерность соответственно А·с и В·с.

Рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа, которые позволяют получить операторные схемы замещения элементов электрических цепей и наиболее часто используются при решении простейших электротехнических задач. Можно считать, что в этих задачах между оригиналом и изображением существует взаимно однозначное соответствие2.

Линейность изображения. Если Fi (p) fi(t) и αi – постоянные,

то выполняется:

Таким образом, линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбинация их изображений. На основании этого свойства, если между изображением и оригиналом (реакции) тока

имеет место соотношение I(p) i(t), то для изображения и оригинала (реакции) напряжения на резистивном элементе, для которого по закону Ома u(t)=Ri(t), выполняется:

U(p) = RI(p) Ri(t) = u(t).

Заметим, что связь между изображением тока и напряжения на резистивном элементе по форме соответствует закону Ома. Поэтому операторная схема замещения резистивного элемента совпадает с обычным обозначением этого элемента на схеме.

1 Обратное преобразование задается так называемой формулой Мелли-

2 В математике такое соответствие, строго говоря, существует с известными оговорками.

38

Изображение производной. Если f´(t) удовлетворяет условиям существования изображения и f (t) F (p), то выполняется:

f´(t) pF(p) – f(0).

На основании этого свойства, если между изображением и ори-

гиналом (реакции) тока имеет место соотношение I(p) i(t) и известно значение i(0), то для изображения и оригинала (реакции) напряжения на индуктивном элементе, для которого u(t) = L· i′(t), выполняется:

U(p) u(t) = Li′(t) LpI(p) – Li(0).

При нулевых начальных условиях для изображений напряжения

итока на индуктивном элементе справедливо соотношение U(p) =

=pLI(p), в котором множитель pL можно рассматривать как опера-

торное сопротивление Z(p):

ZL ( p) = pL = UI ((pp)) .

Значит, при нулевых начальных условиях индуктивный элемент в области изображений может быть заменен операторным сопротивлением ZL(p) подобно тому, как в цепях синусоидального тока индуктивный элемент заменялся комплексным индуктивным сопротивлением jωL.

В случае ненулевых начальных условий для изображения напряжения на индуктивном элементе должно выполняться соотношение

U(p) = ZL(p) I(p) – Li(0) = ZL(p)I(p) – EL0,

в котором слагаемое Li(0) = EL0 можно рассматривать как некоторый источник ЭДС в области изображений. При этом направление ЭДС источника должно совпадать с направлением тока и напряжения на индуктивном элементе.

Таким образом, операторная схема замещения индуктивного элемента в области изображений состоит из элемента с операторным сопротивлением ZL(p) соединенного последовательно с источником ЭДС EL0.

На рис. 2.1 показаны варианты операторной схемы замещения индуктивного элемента при

39

нулевых и ненулевых начальных условиях, в том числе вариант, в котором проведена замена источника ЭДС на эквивалентный источник тока.

Изображение интеграла. Если f (t) F(p), то выполняется:

На основании этого свойства, если между изображением и ори-

гиналом (реакции) тока имеет место соотношение I(p) i(t), то для изображения и оригинала (реакции) напряжения на емкостном элементе, для которого

Причем напряжению U(0) на емкостном элементе при t = 0 (в момент коммутации) в области изображений соответствует слагаемое U(0)/p, являющееся изображением постоянной U(0), которая может быть получена как результат интегрирования:

U (0) = 1 ∫t i(τ)dτ.

C −∞

При нулевых начальных условиях для изображений напряжения и тока на емкостном элементе справедливо соотношение

U ( p) = pC1 I ( p).

Множитель 1/pC можно рассматривать как операторное сопротивление Z(p):

= 1 = U ( p)

ZC ( p) pC I ( p) .

Таким образом, при нулевых начальных условиях емкостной элемент в области изображений может быть заменен операторным

40