Варламов Линейные електрические цепи переменного тока Ч3. 2012

Определим длину волны этих волн λв. Так как по определению длина волны есть расстояние между двумя точками волны, взятыми в направлении её распространения, фазы в которых различаются на

2π, то

Найдем скорость, с которой распространяется в линии прямая (падающая) волна. При этом под скоростью распространения в данном случае надо понимать скорость, с которой распространяется в линии состояние равной фазы волны, например скорость, с которой перемещается вдоль линии некоторый нуль напряжения или тока.

Это условие можно выразить как:

ωt −βx + ϕ1 = const.

Откуда

Найденное выражение определяет так называемую фазовую скорость волны.

Если теперь обратиться ко вторым слагаемым решения (1.12):

то легко убедиться, что они описывают волну такого же характера, как и прямая, но распространяющуюся в обратном направлении. Эти волны получили название обратных (или отраженных) волн напряжения и тока.

Фазовая скорость обратной волны совпадает с точностью до знака с таковой для волны прямой. Амплитуда обратной волны напряжения или тока убывает в направлении от конца линии к ее началу.

11

Учитывая (1.13) и (1.16), выражения (1.8) и (1.9) можно пред-

волн тока.

Важно отметить, что для любой координаты х, т.е. для любой

Выражение (1.18) можно интерпретировать как закон Ома для прямых и обратных волн. Кроме этого (1.18) может быть использовано для определения физического смысла волнового сопротивления.

Введем понятие коэффициента отражения, которое играет важную роль в анализе цепей с распределенными параметрами. По определению коэффициент отражения в любом сечении линии х есть отношение комплексных амплитуд напряжения или тока обратной и прямой волн в этом сечении, т.е.

Очевидно, что Г(х) является комплексной величиной, причем |Г| ≤ 1, если, разумеется, генератор подключен на входе в линию.

Постоянные интегрирования А1 и А2 могут быть найдены из граничных условий, т.е. по известным токам и напряжениям на входе или выходе длинной линии (рис. 1.2).

Так, если при х = 0 U (0) =U1 ; İ(0) = İ1, то согласно (1.17) Ủ1 = = А1+А2, Zвİ1 = А1+А2. Тогда

12

Рис. 1.2

Подставляя (1.20) в (1.19) дает выражение для коэффициента отражения в начале линии:

13

Подставляя эти выражения в (1.8), получим:

Выражения (1.23) и (1.24) можно переписать и в другой форме. Учитывая формулы для А1 и А2, а также (1.17), получим для (1.23)

1.5. Уравнения передачи длинной линии (длинная линия как четырехполюсник)

Для решения ряда прикладных задач достаточно знать соотношения между напряжениями и токами только на внешних зажимах линии, т.е. рассматривать, по существу, линиюкакчетырехполюсник.

Уравнения, связывающие комплексные амплитуды напряжений и токов на внешних зажимах длинной линии, называются уравнениями передачи линии.

Используя выражения (1.17) и (1.20) и подставляя x = l, можно получить:

U1 = Uн +2ZвIн eγl +Uн −2ZвIн e−γl ,

I1 = Uн 2+ZZввIн eγl −Uн 2−ZZввIн e−γl .

14

Проведя соответствующие группировки членов последних уравнений, получим:

Последнее выражение совпадает по форме (если положить Ủн = = Ủ2; İн = İ2) с уравнениями четырехполюсника в характеристических параметрах, поэтому матрица

может быть определена как матрица передачи четырехполюсника, образованного отрезком линии длиной l.

Из матрицы следует, что отрезок однородной линии является обратимым и симметричным четырехполюсником (det||A|| = 1, А11= А22), у которого характеристическое сопротивление совпадает с волновым, а мера передачи – с величиной γl.

Для определения величины Zв и γl используем режимы короткого замыкания и холостого хода линии (по аналогии с теорией четырехполюсников).

Для режима короткого замыкания на выходных зажимах линии,

15

Совместное решение (1.30) и (1.31) позволяет найти Zв и γl.

По результатам вычисления волновых параметров линии можно определить и первичные параметры. В самом деле, из (1.11) следует:

R0 + jωL0 = γZв, G0 + jωC0 = γ / Zв,

откуда находятся величины L0, C0, R0, G0.

1.6.Линии без потерь

Вряде случаев оказывается полезным в первом приближении рассматривать длинную линию как линию, не имеющую потерь, т.е. пренебрегать активным сопротивлением и проводимостью по сравнению с соответствующими реактивными величинами. Отметим здесь, что в реальных цепях с распределенными параметрами

довольно часто имеет место ωL0 >> R0 и ωC0 >> G0.

Итак, положим R0 = G0= 0. В этом случае для коэффициента распространения получим:

γ= jω L0C0 ,

при этом α = 0, β = ω L0C0 .

Волновое сопротивление становится действительной величи-

ми параметрами линии υф =1 / L0C0 , и отсутствует её зависимость

от частоты.

Учитывая это, уравнения (1.24) можно представить в следующем виде:

16

и, соответственно, уравнения передачи длинной линии (1.28)

Как видно из уравнения (1.33) распределение напряжений и токов в длинной линии без потерь в значительной степени, определяется величиной Гн, которая в свою очередь зависит от соотношения волнового сопротивления и сопротивления нагрузки. Рассмотрим наиболее характерные случаи режима работы длинной линии без потерь.

Режим согласования. Этот режим работы линии характеризуется равенством сопротивления нагрузки и волнового сопротивления линии, т.е. Zн = Zв. В этом случае в соответствии с (1.25) Гн = 0, что свидетельствует об отсутствии отраженной волны. Тогда, из

(1.33) следует:

Переходя к мгновенным (временным) значениям тока и напряжения, получаем:

u(x ',t) = Uн sin(ωt +βx '+ϕн ), i(x ',t) = Iн sin(ωt +βx '+ϕн )

Холостой ход. В этом режиме Zн → ∞, т.е. İн = 0. Коэффициент отражения равен единице: Гн = 1. Таким образом, амплитуды об-

17

ратной и прямой волн напряжения и тока равны, и в линии существуют так называемые стоячие волны напряжения и тока.

Из (1.33) следует:

Выражение (1.36) представляет собой выражения для стоячих волн. Таким образом, в случае режима холостого хода распределение напряжения и тока в линии без потерь аналогично распределению типа «стоячая волна». Для такого режима характерно наличие в линии точек, в которых амплитуда колебаний равна нулю (узлы) и точек, в которых она максимальна (пучность). Определим координаты узлов и пучностей напряжений и токов.

В соответствии с (1.35) узлы напряжения находятся в точках, для которых сos βx′= 0, и так как β = 2π/λв, то координаты узлов напряжения:

где k = 0; 1; …

Пучности напряжения находятся в точках, где cosβх′ = ±1. Откуда координаты пучностей напряжения:

18

Как видно из (1.37)–(1.40), соседние узлы (пучности) как напряжения, так и тока находятся на расстоянии половины длины волны в линии один от другого, в то время как расстояние между ближайшими пучностями и узлами составляет четверть длины волны.

Отметим, что узлы (пучности) тока сдвинуты относительно узлов (пучностей) напряжения в режиме холостого хода на четверть длины волны. В нагрузке (k = 0) находятся пучность напряжения и узел тока.

Распределение амплитуд тока и напряжения для режима холостого хода представлено на рис. 1.4.

Короткое замыкание. В этом случае Zн = 0, т.е. Uн = 0. Из (1.25)

следует, что Гн = –1. Таким образом, амплитуды падающей и отраженной волн напряжения и тока равны, но сами эти волны сдвинуты по фазе на π.

Как следует из (1.33),

19

Как и в предыдущем случае, выражение (1.41) прямо следует из

Последние выражения являются выражениями для стоячих волн. Таким образом, в случае короткого замыкания распределение напряжений и токов в линии без потерь аналогично распределению типа стоячих волн.

Аналогично предыдущему случаю координаты узлов и пучностей напряжения:

Характер распределения амплитуд тока и напряжения для режима короткого замыкания аналогичен случаю холостого хода. Отметим, что в данном случае в нагрузке (k = 0) находится узел напряжения и пучность тока.

Распределение амплитуд представлено на рис. 1.5.

Рис. 1.5

20