Варламов Линейные електрические цепи переменного тока Ч3. 2012

Воспользовавшись формулами Крамера, находим

3. Разложив на простейшие дробно-рациональные функции изображения токов, можно перейти к оригиналам токов:

Коэффициенты A, B, D, K, N могут быть найдены, например, с помощью метода неопределенных коэффициентов. Их значения таковы:

4. В результате изображения токов I1(p) и I2(p) можно записать (воспользовавшись таблицей оригиналов и изображений) в следующем виде:

51

Временные диаграммы токов показаны на рис. 2.14, а и б.

Рис. 2.14

52

Штрихпунктирной линией на рисунках изображены временные

i2(t) = 0, и переходный процесс, характеризуется постоянной времени

53

Глава 3. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

ВЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

СПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ

3.1.Временные характеристики линейных цепей

Единичная функция. Для анализа переходных процессов в теории линейных электрических цепей важное значение имеет единичная ступенчатая функция, которая определяется следующим образом:

График функции 1(t −t0 ) изображен на рис. 3.1.

действия на цепь при коммутации этого воздействия в момент времени t = t0:

где fвх (t) – функция времени источника напряжения (Uвх (t) ) или

тока ( iвх (t) ).

При подключении источника постоянного напряжения или тока к цепи в момент времени t = t0 внешнее воздействие может быть записано в виде

fвх (t) = Fвх 1(t −t0 ),

где для источника напряжения или для источника тока (рис. 3.2).

Внешнее воздействие такого типа называется неединичным скачком при t = t0.

Переходная характеристика. Рассмотрим линейную пассив-

ную цепь, в которой начальные значения напряжений в емкостных элементах и токов в индуктивных элементах равны нулю. Пусть внешнее воздействие на цепь представляет собой неединичный

54

скачок напряжения или тока Fвх 1(t −t0 ) , а реакция цепи на это воз-

действие, т.е. ток или напряжение в какой-либо ветви или на какихлибо зажимах этой цепи равно fвых(t).

Переходной характеристикой h 1(t −t0 ) цепи для данной цепи

называют величину, равную отношению реакции цепи (т. е. тока или напряжения) на воздействие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых независимых началь-

ных условия

h1(t – t0) = fвых(t)/Fвх.

Так как при h1(t – t0) = fвых(t), то переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи (т.е. величине тока или напряже-

ния где-либо в этой цепи) на воздействие источника, генерирующего единичный скачок напряжения или тока. Размерность переходной характеристики может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной.

Для определения переходной характеристики цепи необходимо решить задачу на переходной процесс, определив искомые ток или напряжение, при подключении к данной цепи постоянного единичного источника энергии (тока или напряжения). Это может быть выполнено с помощью классического или операторного методов расчета переходных процессов.

Интеграл Дюамеля. Рас-

смотрим произвольную пассивную цепь без запасенной энергии, переходная характеристика которой h1(t) известна. Пусть внешнее воздействие на цепь (временная функция источника напряжения или тока) задано функцией (рис. 3.3) Не-

обходимо найти реакцию данной цепи, т. е. определить искомые токи или напряжения.

Данное внешнее воздействие при t ≥ 0 можно приближенно представить в виде суммы ступенчатых функций высотой fвхk, смещенных по времени на τk:

fвх(t) = fвх(0) + ∑ fвхk 1(t −τk )

k

55

или

fвх(t) = fвх(0) + ∑k Δτfвхkk Δτk 1(t −τk ) .

Используя определение переходной характеристики h1(t), определим реакцию цепи fвых(t) (т. е. искомые токи или напряжения) на каждую ступенчатую функцию как произведение переходной характеристики на высоту «ступеньки» с учетом смещения ступенчатых функций по времени:

fвх(t) = fвх(0) h1(t) + ∑k Δτfвхkk h1 (t −τk )dτ.

При временном расстоянии между соседними ступенчатыми функциями Δτk , стремящимися к нулю ( Δτk →0 ), сумма в правой

части последнего равенства может быть заменена интегралом, а соответствующие отношения в конечных разностях на производные. С учётом этого окончательно получаем:

Последнее выражение известно как интеграл Дюамеля. Используя (3.1), можно найти точное значение реакции цепи (т. е. ток или напряжения) при подключении к цепи источника тока или напряжения fвх(t) в любой момент времени после коммутации. При этом интегрирование осуществляется на промежутке 0 ≤ τ ≤ t, а

выражения для fвх(τ) и h1(t – τ) получаются из fвх(t) и h1(t) простой заменой t на τ и t – τ соответственно.

Выражение (3.1) обобщается и для случая, если временная функция источника fвх(t) имеет конечное число разрывов (рис. 3.4).

Рис. 3.4

56

В этом случае необходимо разбить интервал интегрирования на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности fвх(t) и учесть реакцию цепи на конечные скачки функции fвх(t) в точках разрыва, как это сделано в рассмотренном выше случае для t = 0. При этом выражение для интеграла Дюамеля выглядит следующим образом:

для 0 ≤ t < t1

для t > t2

Следует обратить внимание, что величина f1 есть величина скачка функции в момент времени t = t1, в то время как f2 – величина скачка в момент времени t2 (берётся с отрицательным знаком). Таким образом, искомые токи и напряжения (fвых(t)) в любой момент времени t определяются действием всех токов или напряжений, вступивших в действие до момента t. Сам же расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля проводят в два этапа. На первом этапе определяют искомое неизвестное (ток или напряжение) при подключении к цели вместо исходного источника тока или напряжения постоянный (единичный) источник такого же вида. Этим неизвестным является в данном случае переходная характеристика h1(t). На втором этапе соответствующие величины

57

подставляются в выражение интеграла Дюамеля (3.2) и производится интегрирование.

В заключение раздела отметим, что, кроме (3.1), существуют и другие формы записи интеграла Дюамеля.

Примеры

Задача 3.1. Определить ток i(t) в цепи, изображенной на рис. 3.5, а при t > t2. Временная зависимость источника ЭДС е(t) представлена на рис. 3.5, б.

Рис. 3.5

Решение. Для решения задачи воспользуемся интегралом Дюамеля (3.2). На первом этапе необходимо определить искомое неизвестное i(t) в той же цепи, на вход которой подключается постоянный единичный источник ЭДС (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Отметим, что в этом случае i(t) = h1(t). Данная задача легко решается классическим или операторным методом. Её решение для t ≥ 0 выглядит следующим образом:

i(t) = R1 e−RCt = h1(t).

58

Задача 3.2. Определить ток i(t) в цепи, изображенной на рис. 3.7, а при t > t1. Временная зависимость источника тока I(t) представлена на рис. 3.7, б.

Рис. 3.7

Решение. Воспользуемся интегралом Дюамеля (3.2).

Как и в предыдущем случае на первом этапе определяется неизвестное i(t) = h1(t) при подключении на вход цепи постоянного единичного источника тока (рис. 3.8).

Рис. 3.8

Для t ≥ 0 решение данной задачи выглядит следующим образом:

− tR

i(t) = h1(t) = (1−e L ).

Проведя соответствующие подстановки в выражение для интеграла Дюамеля (3.2), получим:

59