4.2. Повышение эксплуатационной надежности электрооборудования

Основные понятия

Как указывалось в гл. 4, распределение времени появления отказов оборудования подчиняется экспоненциальному закону и может быть описано формулой , так что условная ве­роятность отказа в интервале t, t + dt равна . В этой главе по­добное предположение делается и относительно процесса ремон­та. Будем считать, что основной процент неисправностей устра­няется за короткое время, в то время как детали, отказывающие весьма редко, требуют длительного ремонта. Поэтому предполо­жим, что распределение времени ремонта можно представить в виде G(t) = , и аналогично вероятность завершения ремон­та в интервале t, t + dt при условии, что в момент t ремонт еще продолжался, равна . При такой постановке проблемы нам не­обходимо составить дифференциальные уравнения, которые опи­сывают возможности прямых и обратных переходов системы из одного состояния в другое.

Ранее для необслуживаемых систем рассматривались только прямые переходы, так как система никакими способами не могла вернуться в покинутое ею состояние. Теперь же предполагается, что возникающий отказ оборудования немедленно обнаруживает­ся и начинается ремонт. И если время до отказа и время ремонта представляют независимые случайные величины, распределен­ные каждая по экспоненциальному закону, то подобный подход приводит к марковскому процессу, называемому процессом «ги­бели и размножения».

Для необслуживаемых систем рассматривались два критерия качества:

♦ функция надежности, которая определялась вероятностью безотказной работы к некоторому моменту времени t (т.е.переход в поглощающее состояние не происходит до мо­мента t).

♦ среднее время, которое необходимо до первого попадания в поглощающее состояние (состояние отказа системы), или, как его называют, среднее время до первого отказа.

Для обслуживаемых систем обычно представляют интерес два других критерия. Первым является время, в течение которого сис­тема находится в исправном состоянии, или состоянии готовности. Как будет показано ниже, процесс гибели и размножения описывает готовность системы в переходном и установившемся режимах. Для систем, которые должны работать длительное время непрерывно, изучение установившегося режима является обычно достаточным.

Другим критерием качества, относящимся к обслуживаемым системам, является среднее время возвращения. В этом случае нас интересует время до возвращения системы в исправное состояние из состояния отказа. Иногда его называют средним временем одно­го вынужденного простоя. Важность среднего времени возвраще­ния ясна, так как готовность учитывает только общее время, про­веденное системой в исправном состоянии, и не указывает, как это время распределено. Например, за 10 ООО ч система может один раз выйти из строя на 10 ч, что дает в результате коэффици­ент готовности 0,999. В то же время эта система может отказать десять раз за тот же период, простаивая каждый раз в течение ча­са, что также дает коэффициент готовности 0,999.

Необходимо различать понятия статистического среднего и установившегося состояния (или состояния статистического рав­новесия).

Рисунок 14. Циклограмма работы оборудования

Для простоты рассмотрим один образец оборудования, который должен работать непрерывно. Если производить регист­рацию времени работы и времени простоя оборудования в тече­ние некоторого периода времени (рис. 14), то можно определить его готовность как некоторую случайную величину, характеризуемую функцией распределения. Ожидаемое значение готовности равно среднему по всем возможным значениям этой случайной величины. Когда говорят о готовности оборудования в установившемся режиме, то имеют в виду проведение совокупности одинаковых образцов оборудования. Если име­ется большое число образцов N, проработавших некоторое время, то в любое время ожидаемое число образцов, находящихся в со­стоянии 0 (состоянии готовности), должно быть равно NP₀. Таким образом, отношение числа образцов оборудования, готовых к дей­ствию, к общему числу можно представить в виде: NP₀ /N = Р₀ .

Когда рассматривают установившийся режим, то постулируют существование пределов, т.е. распределение вероятностей со­стояний в установившемся режиме будет поддерживаться идеаль­но для бесконечно большой совокупности. Марковская модель не учитывает флуктуаций поведения отдельных образцов оборудова­ния. Например, если определенный образец отказывает в среднем через каждые 100 ч работы и ремонтируется в течение часа, то ко­эффициент готовности Р₀ = 100/101. Однако временная область возможных отказов оборудования составляет полуинтервал (0, ).

Таким образом, коэффициент готовности 100/101 ничего не говорит нам о флуктуациях готовности отдельных образцов, а лишь показывает, что в бесконечно большой совокупности об­разцов оборудования на каждый образец, который никогда не от­казывает, имеется такой образец, который отказывает в момент использования. Для системы из одного образца оборудования не слишком трудно вывести функцию распределения коэффициента готовности и определить его моменты.

Функции готовности. Метод определения вероятности того, что система находится в некотором состоянии в момент времени t + t, остается тем же, что и для необслуживаемых систем. Един­ственное отличие состоит в том, что в связи с возможностью ре­монта система может осуществлять прямые и обратные переходы вместо односторонних переходов в случае необслуживаемых сис­тем. Так, для системы из одного образца оборудования можно ввести два состояния: состояние 0, когда система работает, и со­стояние 1, когда система неисправна и ремонтируется. Далее, так как условная вероятность отказа в интервале t, t + t равна t, a условная вероятность завершения ремонта в интервале равна , получаем следующую матрицу переходов:

0 1

Конечно, разностные уравнения, описывающие стохастическое поведение этой системы, можно составить из следующих соображе­ний: вероятность того, что система находится в состоянии 0 к мо­менту t + t, выводится из вероятности того, что эта система была в состоянии 0 в момент времени t и не отказала в течение отрезка вре­мени или что она находилась в состоянии 1 в момент t и возвратилась в состояние 0 за интервал t,t+ t. Поэтому получаем

Подобным образом, вероятность пребывания систем в со­стоянии 1 в момент времени t + t выводится из вероятности того, что данная система была в состоянии 1 в момент t и ремонт за время [t, t + t] не был закончен. Поэтому

Член 0( ) в обоих уравнениях представляет собой вероят­ность осуществления двух событий за [t, t+ t], т. е. является бес­конечно малой величиной более высокого порядка, чем осталь­ные величины.

Заметим, что коэффициенты этих уравнений являются эле­ментами одних и тех же строк матрицы переходов. Как и ранее, дифференциальные уравнения получаем, используя предельный переход при 0, а также определения

В результате имеем

Если система при t = 0 находилась в работе, то начальными усло­виями будут Р(0) = 1, Р (0) = 0.

Интересно также рассмотреть случай, когда при t = 0 система находится в ремонте. Тогда начальными условиями будут Р(0) = 0, Р (0) = 1. Применяя преобразование Лапласа и учитывая началь­ные условия Р(0) = 1, Р (0) = 0, получаем

.

После приведения подобных членов имеем:

;

Хотя Р₀(s) и Р (s) для этого случая можно легко найти подста­новкой, мы используем правило Крамера, так как это окажется полезным для дальнейшего изложения. Для решения данной сис­темы уравнений введем определитель D, элементами которого яв­ляются коэффициенты при Р (s). Кроме того, введем определи­тель D , который образуется в результате замены i-го столбца столбцом коэффициентов правой части уравнений системы. То­гда и

/ или

Функция готовности, которую обозначим через А (t), является обратным преобразованием Лапласа для Р₀(s), т. е.

или

(3)

Если система в начальный момент t = 0 находилась в ремонте, т. е. Р₀(0) = 0 и , то

_и

₍₄₎

_{Заметим, что при больших значениях} t выражения (3) и (4) становятся равными. Это означает, что после того, как система проработает некоторое время, ее поведение становится независи­мым от начального состояния.

Функцию готовности А (t) можно понимать как вероятность того, что система находится в рабочем состоянии в произвольный момент времени t. Во многих случаях нас интересует среднее вре­мя исправного состояния для некоторого конечного интервала времени. Тогда можно просто просуммировать А (t) по всему ин­тервалу и разделить на него, т. е.

.

В данном случае

Если нас интересует коэффициент готовности системы при длительной эксплуатации, то, полагая , имеем

(5)

причем А ( ) обычно называют коэффициентом готовности в уста­новившемся режиме. Этим предполагается, что для большой сово­купности (ансамбля) одинаковых образцов оборудования процесс будет поддерживаться в состоянии статистического равновесия.

В литературе по вопросам надежности можно часто встретить определение коэффициента готовности как отношения среднего времени до отказа к сумме среднего времени до отказа и среднего времени ремонта. Для рассматриваемой системы такое определе­ние приводит к результату, аналогичному выражению (5). Од­нако, как далее будет видно, для резервированных систем эта эк­вивалентность не сохраняется.

Для системы из одного образца оборудования среднее время до отказа равно 1/ , среднее время ремонта 1 / и коэффициент готовности 1/ (1/ + 1/ ) = . На рис. 15 показаны графики этих мер готовности для . В данном случае каждая мера достигает установивше­гося значения (установившийся режим) через 20 ч непрерывной работы.

Рисунок 15. Сравнение трех мер готовности нерезервированных систем

Установившийся режим. Для всех случаев, когда оказывается возможным перейти из одного состояния в другое в течение дли­тельного периода времени, легко показать, что всегда существует. Это означает, что решение для установившегося режима можно получить, полагая производные равными ну­лю. Тогда система дифференциальных уравнений сводится к сис­теме алгебраических уравнений. Для решения этих уравнений нужно использовать тот факт, что (i= 0, 1, 2, ..., ) составляют распределение вероятностей, т.е. . Так, рассматриваемая система уравнений приобретает следующий вид:

система уравнений приобретает следующий вид:

Откуда

Определение коэффициента готовности систем различной конфигурации

Системы с последовательным соединением оборудования

Рассмотрим систему, состоящую из двух образцов оборудова­ния, соединенных последовательно. При таком соединении отказ любого из них приводит к отказу системы (рис. 16). Для просто­ты предположим, что каждый образец имеет одинаковую интен­сивность отказов и интенсивность ремонтов .

Рисунок 16. Схема последовательного соединения образцов оборудования

Теперь систему можно мыс­лить находящейся в одном из трех возможных состояний в неко­торый момент времени t. Обозначим:

0 - состояние системы, в котором оба образца оборудования исправны;

1- состояние системы, когда один образец исправен, а вто­рой ремонтируется;

2- состояние ремонта обоих образцов.

Так как для работы системы необходимы оба образца оборудования, то неисправное состояние (состояние простоя) определяется попа­данием в состояние 1. Таким образом, вероятность того, что система находится в состоянии 0 в момент времени t, имеет вид А (t) = P₀(t).

Далее будем считать, что функция готовности системы непо­средственно зависит от числа ремонтников, обслуживающих от­казавшее оборудование. Следует ожидать, что, если, например, иметь двух ремонтников, то система будет находиться большее время в состоянии 0, чем если иметь только одного ремонтника. При наличии одного ремонтника время простоя системы будет складываться из времени непосредственного ремонта и времени ожидания начала ремонта,

Случай, когда имеется один ремонтник. Если в распоряжении имеется один ремонтник для обслуживания двух образцов обору­дования, то вероятности перехода системы за время выра­зятся следующим образом:

_{1. Если система находится в состоянии 0 в момент времени} t, то она будет оставаться в нем при условии, что в течение отрезка времени ни один образец оборудования не выйдет из строя. Эта вероятность равна (1 - t)²=1 -2

2. Если система находится в состоянии 0 в момент времени t, то она может перейти в состояние 1 при отказе любого из образцов оборудования в интервале . Так как оба образца имеют одинаковую интенсивность отказов, то эта вероятность складывается из вероятностей того, что первый образец отказал, а второй - нет или наоборот, т. е.

3. Если система находится в состоянии 0 в момент времени t, то она может перейти в состояние 2 за время [ ], если оба образца оборудования откажут за это время. Вероятность этого перехода равна .

4. Если система находится в момент времени t в состоянии 1, то она может возвратиться в состояние 0 за время ,если за это время ремонт закончится. Вероятность такого перехода равна .

5. Если система находится в состоянии 1 в момент времени t, то она может оставаться в нем в течение времени , при условии, что ремонт отказавшего образца не заканчивается за это время, а второй образец остается исправным. Вероятность такого события равна

6. Если система находится в состоянии 1 в момент времени t, то она может перейти в состояние 2 за время , если ре­монт отказавшего образца не был закончен в этом интервале вре­мени, а второй образец оставался исправным. Вероятность этого

7. Если система находится в состоянии 2 в момент времени t, то она может возвратиться в состояние 0 за время [t, t + ] при условии, что ремонт двух образцов оборудования будет закончен за это время. Вероятность такого перехода равна .

8. Если система находится в состоянии 2 в момент времени /, то она может вернуться в состояние 1 за время ,если ре­монт любого одного из двух образцов оборудования будет закон­чен за это время. Однако при наличии только одного ремонтника лишь один образец обслуживается им в момент t. Поэтому веро­ятность такого перехода равна .

9. Если система находится в состоянии 2 в момент времени t, то она может остаться в том же состоянии в течение времени , при условии, что ремонт одного образца оборудования не был за­кончен за это время. Вероятность такого события равна (1 - ). Таким образом, матрица переходов Р для данного случая имеет следующий вид:

Отметим, что матрица Р является стохастической, так как сумма элементов каждой ее строки равна единице. В результате можно выписать следующую систему дифференциальных уравне­ний:

После задания начальных условий можно решить эту систему, применяя преобразование Лапласа. Предоставляем эту возмож­ность читателю в качестве самостоятельного упражнения.

Мы будем, как правило, искать решение для установившегося режима, поэтому необходимо помнить, что при длительной экс­плуатации доля времени, которое система будет проводить в каж­дом состоянии, не зависит от его начального состояния. Отсюда в пределе значение каждой вероятности будет постоянным, т. е. , что дает возможность отыскивать решения для уcстановившегося режима приравниванием производных нулю и использовать условие, постулирующее, что пре­бывание системы в каждом из возможных состояний суть собы­тия взаимно исключающие, т.е. Р₀ + Р₁ + Р₂ = 1. Тогда можно вы­писать следующую систему алгебраических уравнений и решить ее относительно Р₀, P_t и Р₂:

(б)

(в)

(г)

Для решения этой системы будем использовать метод Гаусса.

Из условия (а) получаем и из (в)

Тогда Подставляя эти выражения в (г), получаем и . Отсюда следует установить, что

В общем случае замечаем, что если X = , то для искомых ве­роятностей справедливы следующие рекуррентные соотношения:

Так как

и так как то

Случай равенства числа ремонтников числу образцов оборудо­вания. В качестве другого крайнего случая рассмотрим последова­тельное соединение п образцов оборудования при наличии г = п ремонтников. Допустим, что каждый ремонтник может обслужи­вать только один определенный образец оборудования. Перед изучением общего случая рассмотрим систему из двух образцов оборудования с двумя ремонтниками, для которых матрица пере­ходов имеет вид

0 1 2

Она отличается от предыдущей только последней строкой. Это отличие возникает в связи с тем, что система, находясь в со­стоянии 2 в момент времени t, может возвратиться в состояние 1 в течение отрезка времени , если любой из образцов обору­дования отремонтирован за это время. Вероятность такого собы­тия равна

Из матрицы Р можно получить уравнение для установившего­ся режима. Имеем:

,

(б) 0 =

(в) 0 = ,

(г) 1 = .

Решая эти уравнения подстановкой, получим Р₀= , , так что Отсюда

Полагая X = , получим следующие рекуррентные соотно­шения:

Тогда

Этого результата и следовало ожидать, так как для каждого образца оборудования имеется свой ремонтник, который работает независимо от остальных, и таким образом коэффициент готов­ности каждого образца не зависит от готовности остальных об­разцов. Если коэффициент готовности любого образца оборудо­вания равен то вероятность одновременной готовности n образцов равна просто вероятности сложного события, или

Совместное обслуживание отказавших образцов оборудования.

Во многих практических случаях ремонтники не могут работать независимо друг от друга. Если система из двух последовательно соединенных или взаимодействующих образцов оборудования обслуживается двумя ремонтниками, то можно считать, что они вместе будут обслуживать отказавшее оборудование. Они работа­ют независимо только при одновременном отказе двух образцов.

Если один ремонтник производит обслуживание неисправного оборудования с интенсивностью р, то обслуживание того же са­мого оборудования двумя ремонтниками будет происходить с ин­тенсивностью . Но эта линейная зависимость не всегда сохра­няется. Если число ремонтников велико и они вместе пытаются обслужить один неисправный образец оборудования, то это мо­жет привести даже к путанице и уменьшению скорости ремонта.

Предположим, что при обслуживании одного образца двумя ремонтниками интенсивность равна 1,5 и что, если оба ремонт­ника обслуживают один образец, а второй образец выходит из строя, то второй ремонтник немедленно переключается на об­служивание своего образца. Тогда матрица переходов Р приобре­тает вид

0 1 2

а коэффициент готовности

Интересно сравнить коэффициенты готовности в трех случаях для рассмотренной системы из двух взаимодействующих образ­цов оборудования. Пусть = 0,005 ч^-1 (т.е. отказ происходит в среднем каждые 20 ч) и = 1,0 ч^_1 (т.е. один ремонтник завершает ремонт одного образца в среднем за 1ч). Тогда мы можем соста­вить таблицу показателей надежности для каждого способа про­ведения ремонта (табл. 7).

Таблица 7 - Показатели надежности для различных способов проведения ремонта

Число ремонтников	Коэффициент готовности системы	Суммарный простой за 10000 ч,ч
Один Два: а)независимое обслуживание б)совместное обслуживание	0,905 0,907 0,936	950 930 640

Можно заметить, что готовность системы с двумя ремонтни­ками при независимом обслуживании ненамного выше готовно­сти системы с одним ремонтником. С другой стороны, если оба ремонтника работают совместно, то коэффициент готовности системы значительно повышается.

Системы с параллельным соединением резервного оборудования

В этом разделе будет рассмотрен случай, когда отдельные об­разцы оборудования соединяются параллельно. Предположим, что все образцы одновременно выполняют одну и ту же функцию, и поэтому система будет готова к действию, если хотя бы один из образцов исправен.

Рисунок 17. Циклограмма работы при параллельном соединении образцов оборудования

На рис.17 изображен типичный для дублированной системы процесс переходов. Вначале оба образца оборудования А и В ис­правны. Если А выходит из строя, система переходит в состояние 1 (один образец работает, второй в ремонте). После того, как обо­рудование А будет отремонтировано, система возвращается в состоя­ние 0. Аналогично при отказе В система попадает в состояние 1 и после окончания ремонта возвращается в состояние 0. И нако­нец, если оборудование В неисправно и отказ А происходит до окончания ремонта образца В, то система оказывается в состоя­нии отказа 2.

Определим теперь коэффициент готовности системы как до­лю времени, проведенного системой во всех состояниях, кроме состояния 2. Функция надежности определяется вероятностью достижения системой состояния 2 за некоторый интервал време­ни (0, t) при условии, что первоначально при t = 0 система нахо­дилась в состоянии 0.

Положим, что каждый образец оборудования имеет одинако­вые интенсивности отказов и ремонтов .

Рассмотрим резервированную систему, состоящую из двух об­разцов оборудования, работающих параллельно. Эта система может находиться в состояниях 0 (оба образца исправны), 1 (один образец работает, второй в ремонте) и 2 (оба образца в ремонте). Состояние 2 определяет отказ системы. Готовность системы определяется как

A(t) = P₀(t) + P₁(t),

а матрица переходов Р для этого случая имеет вид

0 1 2

В результате получаем следующую систему дифференциаль­ных уравнений:

Если в начальный момент t = 0 система находится в состоянии 0, то Р (0) = 1, Р (0) = 0, Р₂(0) = 0. Для решения системы снова применим преобразование Лапласа:

Находя P (s) и используя обратное преобразование Лапласа, получим

Можно заметить, что последние два члена быстро стремятся к нулю по мере роста t. Практически они становятся пренебрежи­тельно малыми, если ( ) t > 3. Если нас в основном интересует коэффициент готовности для установившегося режима, то не нужно решать систему дифференциальных уравнений. В этом случае вероятности Pj не зависят от времени и Ис­пользуя эти упрощения, находим, что

И в общем случае при выполнении условия независимости коэффициент готовности в установившемся режиме (т.е. вероят­ность того, что по крайней мере т из п образцов оборудования на­ходится в состоянии готовности) может быть представлен в виде

Если число ремонтников меньше числа образцов оборудова­ния, то условие независимости не сохраняется. Например, если имеется один ремонтник для обслуживания двух образцов обору­дования, то матрица переходов Р будет иметь вид:

0 1 2

а коэффициент готовности

Для отыскания общего решения с любым числом п образцов оборудования и одним ремонтником отметим, что . Если X = , то можно показать, что

Если умножить и числитель, и знаменатель на , то получим в знаменателе выражение для суммы п вероятностей процесса Пуассона:

.

Существует много других интересных видоизменений способа ремонта или обслуживания, которые можно было бы рассмотреть. Например, имеется довольно многочисленный класс систем, ре­монт которых невозможен до наступления полного отказа систе­мы. Это может произойти в том случае, если контролируется только выход системы, а не исправность отдельных образцов ее оборудования. Для дублированной системы с параллельным со­единением оборудования ремонт нельзя начать до попадания сис­темы в состояние 2.

При наличии двух ремонтников возможны четыре состояния:

Состояние 0 — оба образца оборудования исправны.

Состояние 1 — один образец работает, второй отказал и не ре­монтируется.

Состояние 2 — оба образца отказали и находятся в ремонте.

Состояние 3 — один образец работает, другой отказал и ре­монтируется.

Такая постановка задачи приводит к матрице переходов

2 1 2 3

и системе уравнений для установившегося режима

Отсюда находим коэффициент готовности системы:

Для сравнения последнего способа обслуживания со случаем, когда каждый образец оборудования обслуживается при возник­новении неисправностей, допустим, что =001 ч^-1 и Ес­ли ремонт осуществляется после достижения системой состояния 2 (полного выхода из строя), то ожидаемый простой за 10000 ч со­ставит 33 ч по сравнению с 1 ч, если ремонт начинается сразу.

Системы с резервированием замещением

В отличие от параллельной работы резервного оборудования резервирование замещением предполагает, что запасные (резерв­ные) образцы оборудования до включения в работу либо не могут выйти из строя, либо имеют меньшую интенсивность отказов, чем в условиях работы. Когда это условие выполняется, можно считать готовность системы с резервированием способом заме­щения выше готовности системы при параллельной работе ре­зервного оборудования

Рассмотрим, например, дублированную систему, в которой рабочее оборудование отказывает с интенсивностью и резерв­ное не выходит до тех пор, пока его не включат в работу. Предпо­лагая абсолютно надежным переключение, составим матрицу пе­реходов Р для случая одного ремонтника:

3 1 2

Коэффициент готовности в установившемся режиме можно найти как Р₀ + Р_] или

В общем случае для резервированной системы из одинако­вых образцов оборудования, включаемых замещением,

,

Где

Аналогично можно изучить случай, когда система состоит из п одинаковых образцов оборудования, обслуживаемых п ремонтни­ками, причем ( -1) образцов являются резервными, включае­мыми замещением. В этом случае