Многоступенчатые системы

Выше мы рассмотрели только простейшие типы систем. Во­обще говоря, системы можно представить состоящими из не­скольких ступеней, каждая из которых должна выполнять раз­личные функции. Например, радиолокационная система имеет передающую, приемную, усилительную ступени, ступень обра­ботки данных и т.д. Простая последовательная система будет иметь конфигурацию, при которой все ступени соединяются по­следовательно. Для последовательного соединения п образцов оборудования функция надежности

Предположим теперь, что желательно дублировать некоторые ступени системы, т. е. включить на этих ступенях параллельно по два образца оборудования. Оценим функцию надежности для та­кой системы. Рассмотрим простой случай двухступенчатой сис­темы, в которой первая ступень имеет параллельно работающее резервное оборудование, а вторая ступень не резерви­руется, как показано на рис. 6.

Рисунок 7. Схема двуступенчатой системы

Для простоты допустим, что оборудование А, В и С имеет одинаковую интен­сивность отказов. Можно перечислить восемь состояний для этой системы. Вышедшее из строя оборудование обозначается соответствующей буквой с чер­той сверху. Состояниями рассматриваемой системы будут , и . Как видим, толь­ко первые три состояния обеспечивают надежную работу системы.

Задачу можно решить двумя способами. При решении первым способом пренебрегаем зависимостью процесса переходов от времени и определяем вероятность нахождения системы в сово­купности допустимых состояний: или и окончательно

Так как оборудование каждой ступени имеет одинаковую ин­тенсивность отказов, то Р(А) = Р(В) = Р(С) = Р и R = 2Р² - Р³ или если , то

При использовании второго подхода составляется следующая матрица переходов:

Попав в поглощающее состояние, система остается в нем с вероятностью, равной единице, так как этим, по определению, завершается процесс переходов. Определение надежности в слу чае матрицы переходов высокого порядка представляет большие трудности, если только мы не сможем найти способа понижения ее порядка.

Один из способов состоит в преобразовании матрицы Р к ка­нонической форме. При этом все недопустимые состояния со­ставляют нижнюю левую часть матрицы Р, которая приобретает вид

Здесь подматрица I — единичная; подматрица 0 - нулевая, подматрица R представляет эргодический класс, а подматрица Q - совокупность переходных состояний. Переходными являются та­кие состояния, которые можно покинуть, поэтому они допусти­мы для надежной работы системы. Состояние эргодического класса представляет собой такую совокупность состояний, попав в которые система не может их покинуть. Поэтому эти состояния являются недопустимыми.

Каноническая форма матрицы Р представлена ниже. Дока­жем, что полное решение в случае марковской цепи с поглощени­ем можно получить из подматрицы Q. Для подматрицы Q имеем следующие дифференциальные уравнения:

,

,

с начальными условиями , . Таким образом, матрица Р имеет вид

Решение этой задачи было уже найдено в виде выражения

Надежность многоступенчатых систем, в которых ступени со­вершенно независимы друг от 'друга, можно найти без примене­ния этих матриц переходов. Для этого полагают, что надежность каждого образца оборудования не зависит от времени, и исполь­зуют обычные методы вычисления вероятностей.

Рисунок 8. Схема системы с двумя перекрестными связями

Однако надежность многих систем нельзя найти таким обра­зом. Рассмотрим, к примеру, двухступенчатую систему, схемати­чески представленную на рис. 8. Резервное оборудование С и D до возникновения необходимости в ре­зервировании поддерживается в от­ключенном состоянии.

В этой системе блоки оборудо­вания А и В первоначально исправ­ны. По известным допустимым со­стояниям системы можно составить множество переходных со­стояний Q, как показано в табл. 4.

Таблица 4-Множество состояний системы

Состояние системы	Работающее оборудование системы	Состояние остального обо­рудования системы
0 1 2 3	АВ AD СВ CD	С и D — резерв В — отказ, С — резерв А — отказ, D — резерв А и В — отказ

Теперь если для простоты предположить, что все образцы оборудования системы имеют одинаковую интенсивность отка­зов, то подматрица Q имеет вид

0 1 2 3

На основании этой матрицы составим систему дифференци­альных уравнений

с начальными условиями , . Используя преоб­разование Лапласа, находим

Сравним рассматриваемую систему с системой, которая рабо­тает так, что если оборудование А или В выходит из строя, то сле­дует подключать соответствующий резерв - оборудование С и D. Надежность последней системы Однако так как мы включаем резервное оборудование в работу только тогда, когда это необходимо, то надежность системы повышается. Заме­тим также, что если в этом примере перенумеровать все возможные состояния, то получилась бы матрица переходов порядка 16x16.

Интересно отметить, что если резервное оборудование, вклю­чаемое замещением, имеет до включения ту же интенсивность отказов то надежность системы .Ис­пользуя подстановку , находим .

Этот результат свидетельствует о том, что большой класс задач теории надежности можно рассматривать с помощью процессов, не зависящих от времени, и решать с помощью так называемого модифицированного биномиального процесса. То есть, обозна­чив надежность оборудования через Р, можно выразить вероят­ность безотказной работы системы и затем найти функцию надежно­сти, подставив вместо Р экспонен­циальную функцию времени.

Рассмотрим, например, систему, показанную на рис. 9.

Рисунок 9. Схема системы с одной перекрестной связью

Обозначая работоспособное оборудование индексом 1, а отказавшее - индексом 0,

можно определить число способов (доступных путей), которыми можно обеспечить, чтобы данная система находилась в работо­способном состоянии при различных комбинациях отказов от­дельных образцов оборудования (табл.5).

Теперь, рассматривая число доступных для каждой комбина­ции путей, можно представить надежность системы в виде

R = Р⁴ + 4Р³(1 -Р) + ЗР²(1 - Р)² или .

Функция надежности имеет вид

Таблица 5-Комбинации состоянии системы с одной перекрестной связью

Комбинации работающего оборудования	Состояние оборудования ABCD	Состояние системы	Число доступных путей
4 из 4	1111	1	1
3 из 4	0111	1	4
	1011	1
	1101	1
	1110	1
2 из 4	0011	1	3
	0101	0
	0110	1
	1001	0
	1010	0
	1100	1

В общем случае можно показать, что функция надежности системы в канонической форме представляется полиномом

где С, - число доступных путей или способов, которыми / рабо­тающих образцов оборудования из общего числа п обеспечивают надежную работу системы.

В качестве другого примера рассмотрим систему, схематиче­ски показанную на рис. 4.13, в которой для обеспечения надеж­ной работы системы по крайней мере один образец оборудования каждой ступени должен быть исправен.

Рисунок 10. Схема многоступенчатой системы с перекрестными связями

Заметим вначале, что если все системы с перекрестными связями пять образцов оборудования или

любые четыре из пяти, или любые три образца из пяти, за исклю­чением комбинации ABC, исправны, то система будет работать. Таким образом, нужно подробнее рассмотреть десять комбина­ций из пяти по два. Эти комбинации представлены в табл. 6.

Среди этих десяти комбинаций имеются четыре допустимые комбинации, поэтому вероятность того, что по крайней мере одна до­пустимая комбинация из этих десяти существует, и функция надежности после подстановки и приведения подобных членов представляется как

Таблица 6 -Комбинации состояний многоступенчатой системы с перекрестными связями

Комбинация	Состояние оборудования системы ABCDE	Состояние системы
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	11000 10100 10010 10001 01100 01010 01001 00110 00101 00011	0 0 1 1 0 1 0 0 1 0

Способ параллельного включения резерва, наиболее часто встречающийся на практике, исследовался в ряде работ. Фон Ней­ман изучал задачу синтеза надежных систем из ненадежных эле­ментов в связи с проблемами автоматов. Мур и Шеннон изучали методы построения надежных схем из менее надежных реле. Эти методы позволяют строить схему, надежность которой равна, по крайней мере, 0,5 при любом наборе значений надежности реле.

Другой подход состоит в использовании двухполюсных схем для построения схемы, надежность которой может быть сделана сколь угодно близкой к единице. С точки зрения надежности лю­бую систему можно рассматривать в виде двухполюсника, в кото­ром каждый образец оборудования передает информацию от од­ного полюса к другому.

Ошибочное мнение относительно параллельного включения резерва обычно состоит в том, что любое соединение резерва можно использовать для повышения надежности системы. Это не всегда справедливо. Если один образец оборудования произволь­ной надежности Р требуется для выполнения заданной функции, то применение параллельного включения резерва повысит на­дежность системы. На рис. 11 показана зависимость надежности дублированной системы от надежности одного образца. Прямая линия соответствует случаю нерезервированной системы. На осно­вании этого графика построена кривая чистого выигрыша в на­дежности в сравнении с нерезервированной системой (рис. 12).

Рисунок 11. Зависимость надежности дублированной системы при параллельной работе резерва от надежности одного образца оборудования

Рисунок 12. Прирост надежности резервированной системы по сравнению с использованием лишь одного образца оборудования

Из сравнения обоих графиков видно, что надежность системы повышается независимо от уровня надежности оборудования, причем ее максимальный прирост наблюдается при Р=0,5. Мож­но показать, что произвольное значение надежности системы R достигается при достаточно большом числе идентичных образцов оборудования, имеющих надежность Р. Если R > Р, то имеется только одно такое целочисленное значение п, при котором .

Однако не во всех системах или отдельных ступенях этих сис­тем для нормальной работы требуется исправность только одного из п идентичных образцов оборудования. Во многих случаях для надежной работы системы требуется, чтобы были исправны хотя бы т из п образцов ее оборудования. Кривая надежности систе­мы, содержащей пять образцов, из которых, по крайней мере, три должны быть исправны для обеспечения ее работы, показана на рис. 13.

Рисунок 13. Зависимость надежности резервированной системы от надежности одного образца ее оборудования ( по меньшей мере 3 из 5 образцов ее оборудования должны быть исправны)

Заметим, что при Р < 0,5 выгоднее с позиции надежности ис­пользовать нерезервированную систему. Поэтому одна из основных задач конструирования надежной системы заключается в попытке упростить ее конфигурацию, исключив то оборудование, которое оказывается бесполезным с точки зрения надежности.