Лекция 6

Полученное выражение можно представить в следующей короткой форме:

Введенный нами вектор

называется градиентом скалярной функции. Градиент можно представить как вектор, получающийся после действия на скалярную функцию так называемого оператора Гамильтона или просто оператора «набла» :

Сделаем сразу два замечания. Во-первых, набла – это одновременно и вектор и оператор, причем линейный. Эти два свойства будут в дальнейшем нами не раз эксплуатироваться. Во-вторых (что является гораздо более тонким моментом), градиент – это не вектор, а ковектор, ибо он задан

f

ковариантными компонентами x и разлагается по векторам взаимного

базиса:

(Вспомните правило суммирования Эйнштейна). В пространстве с заданной метрикой ничего страшного в этом нет: мы всегда можем перейти от ковариантных компонент к контравариантным. И вообще, в большинстве задач можно считать, что вектор и ковектор – это один и тот же объект,

только заданный в разных базисах (исходном и взаимном). Однако, как мы увидим из материала, посвященного тензорному анализу, в общем случае эти объекты совершенно различны: вектор – это вектор, а наш ковектор – это так называемая 1-форма.

Итак, производная от скалярной функции по направлению единичного вектора является проекцией градиента скалярной функции на этот самый

единичный вектор (131).

Дифференциал скалярной функции f f r можно представить в виде

скалярного произведения вектора бесконечно малого смещения dr и

градиента f :

dr f dse f ds fe .

2.Можно себе представить геометрическое место точек,

соответствующее одному и тому же значению скалярной функции. В

трехмерном случае – это двумерные поверхности постоянного значения функции, так называемые поверхности уровня (изоповерхности)

скалярного поля

Рассекая эти поверхности, скажем, плоскостью z 0 , получим семейство линий, называемых линиями уровня. Если мы будем перемещаться вдоль некоторой линии уровня, то, очевидно, дифференциал функции при этом

окажется равным нулю. Если мы движемся вдоль линии уровня, то dr

направлен по касательной к ней. Как следует из (135), при этом dr f 0, что

означает ортогональность градиента и линии уровня в каждой ее точке. Т.е.

Здесь – угол между градиентом и вектором e . Ясно, что наибольшее значение производной по направлению будет иметь место при 0. Это означает, что при этом e сонаправлен с градиентом, т.е. направлен перпендикулярно к линии уровня. Следовательно, направление градиента –

это направление, вдоль которого функция изменяется (растет) наиболее быстро:

Пример: Найдем градиент величины радиус-вектора r r . Проведем

расчеты в декартовой системе координат двумя способами. Сначала без использования индексных обозначений для суммирования, т.е. по формуле

(132):

gradr xr ex yr ey rz ez .

Найдём производную r x . Для этого вспомним, что r x2 y2 z2 .

Тогда

Остальные производные находим аналогично. В итоге получаем

gradr rx ex ry ey rz ez 1r xex yey zez rr .

Теперь рассчитаем градиент, используя индексы суммирования. Для этого вспомним, что квадрат радиус-вектора можно записать в декартовых

метрического тензора в декартовых координатах являются постоянными –

символами Кронекера . Тогда, используя правила вычисления производных и свойства метрического тензора (жонглирование индексами),

получим

3. Производная по направлению от векторной функции f

определяется аналогично производной от скалярной функции:

Рассмотрим примеры. Пусть r,t – плотность среды в точке r в момент времени t . Найдем по известным из математического анализа правилам полную производную по времени от плотности:

Следует отметить, что производные в формулах (141) и (142) являются примерами так называемой субстанциональной производной (или производной Лагранжа):

Первое слагаемое отвечает локальной производной, т.е. производная берется по времени в фиксированной точке пространства. Второе слагаемое называется конвективной производной. Эта производная обусловлена переносом вещества со скоростью v .

Задание 23.

1.Найти поверхности уровня следующих скалярных полей: a. exp ar ,

направлению вектора v

a.u x2 y2 z2 32 , v ex ey ez , M 1,1,1 .

b.u x ln y arctgz , v 8ex 4ey 8ez , M 2,1, 1 .

3.Найти производную скалярного поля u x, y, z в точке M

a.по направлению, перпендикулярному к линиям уровня поля, если u 2x y , M 1,1 ;

b.по направлению, перпендикулярному к линиям уровня поля, если u ln x2 y2 , M 2,0 ;

Ma2, 2b,c .

4.Написать уравнение прямой, проходящей через точку M 3, 2,1 в

направлении наискорейшего роста функции f r exp r 2 .

7.Найти градиент скалярной функции (считать, что a,b,k – постоянные векторы, r r , c – постоянное число):

a.ar r ,

b.r,d r ,

f. = [a r][b r] ,

g.arr3 ,

h.ar 3 , r2

i.r3 ar ,

j.a b r ,

k.ar br .

8.Найти напряженность электрического поля, если задан потенциал

a.x2 2y2 z sin x exp x2 y2 z2 ,

b.x2 sin z x y2 x cos z exp x2 ,

10.Доказать тождество grad c r 2 2rc2 2c cr . Здесь c – постоянный вектор.