Раздел VII Физика твердого тела Глава V. Колебания кристаллической решетки. Излучение черного тела.
1.Колебания кристаллической решетки
Склассической точки зрения волны упругости описываются волновыми функциями вида:
(r,t) cei( t kr)
k |
|
V - фазовая скорость волны |
|
||
V |
|
упругости С квантовой точки зрения, каждой волне
упругости соответствует квазичастица фонон с энергией и импульсом:
|
|
|
|||
|
p |
|
|
=> p |
|
|
k |
||||
|
Vф |
||||
|
|
|
|
|
Плотность квантовых состояний для фононов:
(каждому вектору к соответствует 3 независимых типа колебаний: 2 поперечных и 1 продольная мода)
V4 p2dp dG(p) 3
h3
dG( )
3V 2d
2 2Vф3
max
dG( ) 3N
0
3V 3
max 3N N числоатомов
6 2Vф3
|
|
3N полное число |
|||
|
|
степеней свободы |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
V (6 2n)1/3 |
n |
N |
концентрация |
max |
|
||||
|
ф |
|
V |
||
|
|
|
|
атомов
g( )
9N 2
max3
max - максимальная частота волн
упругости В состоянии термодинамического
равновесия волны упругости – это тепловые колебания решетки. Энергия тепловых колебаний равна:
|
max |
|
1 |
|
|
U |
|
[ n( ) |
]g( )d |
||
|
|||||
|
0 |
2 |
|
Так как фононы являются бозонами, среднее число фононов в квантовом состоянии:
n( ) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
e |
|
|
( 0) |
|||||||||
|
|
|
kT |
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
9N |
max 3d |
||||
U |
|
N max |
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
max |
0 |
e |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
kT |
Первое слагаемое – энергия нулевых колебаний U0 .
Второе слагаемое можно вычислить приближенно в зависимости от параметра, который называется температура Дебая:
D max
k
А) T << D –> |
U U0 DT4 |
|||
Закон Дебая – |
C |
V |
~ T |
3 |
T |
|
Б) T >> D (классический предел)
|
U U0 3NkT |
||
Закон Дюлонга |
C 3Nk 3 |
m |
R |
|
|||
и Пти – |
|
|
С – теплоемкость кристалла В общем случае зависимость теплоемкости
кристалла от температуры имеет вид С(Т):
Для многих металлов теплоемкость при комнатных температурах можно вычислять по классической формуле Дюлонги и Пти. Формула Дюлонга и Пти получается в предположении, что на каждую степень свободы колебательного движения атома в узле кристаллической решетки приходится энергия равная КТ (закон равнораспределения).
2. Излучение черного тела
Излучательная способность черного тела была найдена Планком в предположении, что излучение света нагретыми телами
происходит порциями – квантами.
Пусть тепловое излучение находится в равновесии с нагретой поверхностью черного тела. С квантовой
точки зрения тепловое излучение – газ фотонов, энергии и импульсы которых:
p k , k , p c c
Функция плотности квантовых состояний фотонов (каждому вектору к соответствует 2 независимых поперечных поляризации):
dG(p) |
V4 p |
2dp |
2 |
||
|
h3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dG( ) |
V 2d |
|
|
||
|
2c3 |
|
|||
|
|
g( )
V 2
2c3
Спектральная плотность энергии фотонного газа:
U( ) n( ) g( )
V
Так как фотоны являются бозонами, среднее число фотонов в квантовом состоянии:
n( ) |
1 |
( 0) |
|
ekT 1
Излучательная способность черного тела в состоянии равновесия с тепловым излучением равна спектральной плотности потока энергии теплового излучения, падающего на поверхность:
f ( ,T) |
1 |
cn |
|
1 |
cU( ) |
|
|
||||
4 |
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
f ( ,T) |
2 |
|
|
|
|
|
4 2c2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
ekT 1 |
||||
|
|
|
Закон смещения Вина:
max 2,8kT
Закон СтефанаБольцмана:
q f ( ,T)d T4 Вт м2
0
5,67 10 8 Вт м2 К4
Вопросы:
1.Что такое фононы
2.Закон Дебая
3.Закон Дюлонга и Пти
4.Что такое температура Дебая
5.Зависимость теплоемкости кристалла от температуры в общем случае
6.Что такое фотоны
7.Излучательная способность черного тела
8.Закон смещения Вина
9.Закон Стефана – Больцмана