§50 Линейный оператор. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (ло). Инвариантные подпространства

50.1 Линейный оператор и его матрица в заданном базисе. Матрица суперпозиций линейного оператора

Определение: Оператор A₁ (некая функция) перехода из одного линейного пространства в другое называется линейным, если выполняются два требования:

1.

2.

Пусть в пространстве есть базис , в пространстве базис и в пространстве - . И пусть имеется схема переходов между пространствами с помощью ЛО:

Разложим образы по базису :

(50.1)

Определение: Матрица вида (i-ый столбец которой есть координаты A₁(e_i)) по базису ) называется матрицей ЛО А₁ по базису .

Найдем преобразование координат:

Т.е. (50.2)

Можно записать иначе:

Теперь пусть A₃=A₂A₁, т.е. (по определению) A₃(x)=A₂(A₁(x)). Пусть ЛО А₂ имеет матрицу , т.е. (50.3)

Докажем, что преобразование A₃ имеет матрицу C=BA, т.е. найдем матрицу суперпозиции.

, где , т.е. BA=C ( - матрица ЛО А₃ в базисе ).

50.2 Матрицы перехода к другому базису

Определение: Пусть и -базисы в линейном пространстве и их разложим f_k по базису а g_j – (j=1,2,…,n) – по базису

(50.4)

(50.5)

Определение: Матрица (её k-ый столбец есть координаты f_k по базису ) называется матрицей перехода от базиса к базису (соответственно, матрицей перехода от базиса к базису является матрица , определённая равенством (50.5)

Имеем схему переходов:

(50.6)

Тогда чему будет равна матрица перехода от базиса к ?

Найдем эту матрицу:

; , т.е. B=CD, где - матрица перехода от базиса к базису . При этом матрица перехода от первого базиса к второму невырождена, т. к. имеет обратную, являющиеся матрицей перехода от 2-го базиса к первому. (ибо очевидно, что матрица перехода от базиса к нему самому есть единичная матрица).

Мы показали, что матрицей перехода от базиса к по схеме (50.6) является произведением соответствующих матриц: B=CD.

50.3 Матрица перехода для ортонормированного базиса

Пусть в рассмотренных выше случаях базисы ортонормированны а ЕП - вещественно. Заметим, что ЛО вещественный, если его матрица действительна. В ОНБ элемент линейного пространства (ЛП) равен . Элемент базиса имеет вид:

(50.7),

где - элемент базиса . При этом матрица перехода C должна обладать свойством:

(50.8)

В самом деле, т.к. - ОНБ, то

(50.9)

Подставляя вместо f_i и f_j в (50.9) их выражения из (50.7), получим:

, т.е

ибо - ОНБ, и поэтому ) следовательно

(ибо - ОНБ, и поэтому ), т.е. , и равенство (50.8) доказано.

50.4 Инвариантные подпространства и ортогональные дополнения

Пусть имеется ЛО перехода из пространства X в Y.

Определение: линейное подпространство (ЛПП) Y инвариантно, (ИПП) если для всех элементов ЛП||Y образ ЛПП принадлежит ЛП||Y или

Определение. Множество называеться ортогональным дополнением к ЛПП Y, если

и для выполнено равенство

Теорема: Если х – ИПП в ЛП L имеет размерность k, а ЛП L имеет размерность n, то ортогональные дополнения имеет размерность n-k.

Доказательство:

Пусть - ОНБ в ЛПП х. Дополним его до базиса во всём ЛП. (см. §18, следствие 18.1). Можно считать, что - ОНБ (в противном случае проведем ортогонализацию Шмидта (см. §49, и 49.4) и каждый элемент полученного базиса поделим на его длину), т.е. имеет место равенство:

(50.10)

Берём любой элемент и разложим его по базису :

(50.11)

Так как , а х, то (50.12), если

Тогда, умножая скалярно обе части равенства (50.11) на получим . Подставив последнее равенство в (50.11), получим: . Мы покали что система полна в и т.к она линейно независима (является частью ОНБ ), то она является базисом в из (n-k) элементов. Теорема доказана.