111Equation Chapter 1 Section 1министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций российской федерации

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

──────────────────────────────────────

Факультет СиСС

Кафедра общей теории связи

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 

№ 26-2

по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»

на тему:

«Анализ рекурсивных цифровых фильтров

1-го и 2-го порядка»

Вариант №18

                                                                             Выполнил:

                                                                               Проверил: проф. каф. ОТС  

                                                                                                             Волчков В. П.

Москва ****

1. Цель работы

Провести экспериментальный анализ рекурсивных цифровых фильтров (ЦФ) 1-го и 2-го порядка; исследовать частотные и временные характеристики фильтров, их взаимосвязь со значениями коэффициентов ЦФ; определить области устойчивости рекурсивных фильтров 1 и 2 порядка.

2. Выполнение домашнего задания

2.1 Исходные данные варианта

Табл. 1. Таблица значений параметров фильтра

№ Варианта	18
Параметр:	1
Параметр:	0,5
	8000 Гц

2.2 Запись разностного уравнения и системной функции

Разностное уравнение рекурсивного ЦФ-1 (первого порядка) имеет вид:

22\* MERGEFORMAT ()

Построение системной функции :

Пусть задан дискретный сигнал , тогда его односторонним - преобразованием называется:

33\* MERGEFORMAT ()

Свойства - преобразования:

Свойство 1 (линейности):

44\* MERGEFORMAT ()

Свойство 2 (смещения):

55\* MERGEFORMAT ()

Пусть на входе ЦФ действует сигнал , а на его выходе наблюдается сигнал , тогда системной функцией ЦФ называется отношение:

66\* MERGEFORMAT ()

Находим применив к обеим частям уравнения (1) Z преобразование и воспользовавшись свойствами линейности и смещения (свойство 1 и свойство 2):

77\* MERGEFORMAT ()

Отсюда получаем:

88\* MERGEFORMAT ()

2.3 Структурная схема цф

Структурная схема цифрового фильтра строится на основе разностного уравнения (1). Ниже представлена структурная схема рекурсивного ЦФ 1-го порядка:

Рис. 1. Структурная схема рекурсивного ЦФ 1-го порядка

( )

2.4 Расчёт и построение импульсной реакции, переходной характеристики, амплитудно-частотной характеристики и фазо-частотной характеристики цф

Ниже представлена схема получения импульсной характеристики ЦФ:

Рис. 2. Схема получения ИХ

По определению ИХ (см. рис. 2):

99\* MERGEFORMAT ()

где 1010\* MERGEFORMAT ()

– единичный импульс Кронекера

Из (8) с учётом начального условия и (9) последовательно получаем:

1111\* MERGEFORMAT ()

Ниже представлена импульсная характеристика ЦФ 1-го порядка:

Рис. 3. Импульсная характеристика ЦФ 1-го порядка

( )

Ниже представлена схема получения переходной характеристики ЦФ:

Рис. 4. Схема получения ПХ

Переходной функцией цифрового фильтра называется его отклик на дискретный единичный скачок:

1212\* MERGEFORMAT ()

По определению фильтр называется устойчивым если при ограниченном входном воздействии его выход (отклик) также ограничен, т.е.

Следовательно, из определения выше следует, что для устойчивости ЦФ при действии на входе на выходе получаем .

Из (11) следует, что:

1313\* MERGEFORMAT ()

Любой ЦФ является дискретной линейной системой, действие которого на входной сигнал описывается линейным оператором . Это означает, что выходной сигнал а если , то

1414\* MERGEFORMAT ()

Выражение (13) описывает свойство линейности. Следовательно, если , то из (12) и (13) имеем:

1515\* MERGEFORMAT ()

Делаем замену переменных

1616\* MERGEFORMAT ()

Из (15) c учётом (10) получаем:

1717\* MERGEFORMAT ()

Отсюда получаем метод построения . Сначала, зная уравнение ЦФ строим ИХ , затем по формуле (16) строим :

Рис. 5. Переходная характеристика ЦФ 1-го порядка

( )

Нахождение комплексного коэффициента передачи:

Комплексным коэффициентом передачи ЦФ называется функция частоты :

1818\* MERGEFORMAT ()

где – частота дискретизации, – интервал дискретизации

Свойства комплексных чисел:

Если то

1919\* MERGEFORMAT ()

2020\* MERGEFORMAT ()

2121\* MERGEFORMAT ()

Если - комплексная дробь, то справедливо:

2222\* MERGEFORMAT ()

2323\* MERGEFORMAT ()

2424\* MERGEFORMAT ()

Формулы Эйлера:

2525\* MERGEFORMAT ()

2626\* MERGEFORMAT ()

Находим используя (17) и формулы Эйлера (24), (25):

2727\* MERGEFORMAT ()

Находим Re и Im от с учётом (21), (22), (23):

2828\* MERGEFORMAT ()

2929\* MERGEFORMAT ()

3030\* MERGEFORMAT ()

3131\* MERGEFORMAT ()

Нахождение АЧХ:

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) ЦФ, называется функцией частоты:

3232\* MERGEFORMAT ()

Находим АЧХ по формуле (31) и с учётом (23):

3333\* MERGEFORMAT ()

Преобразуем знаменатель с учётом полученного ранее в формуле (28):

3434\* MERGEFORMAT ()

Ниже представлена амплитудно-частотная характеристика ЦФ 1-го порядка:

Рис. 6. АЧХ ЦФ 1-го порядка

( )

Нахождение ФЧХ:

Фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) цифрового фильтра называется функция частоты:

3535\* MERGEFORMAT ()

Находим ФЧХ по формуле (34), используя (29), (30):

3636\* MERGEFORMAT ()

Ниже представлена фазо-частотная характеристика ЦФ 1-го порядка:

Рис. 7. ФЧХ ЦФ 1-го порядка

( )