111Equation Chapter 1 Section 1МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ,
СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное
государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ
──────────────────────────────────────
Кафедра общей теории связи
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
№ 26-1
по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»
на тему:
«Анализ нерекурсивных цифровых фильтров
1-го и 2-го порядка»
Вариант №3
Выполнил:
Проверил: проф. каф. ОТС
Волчков В. П.
Москва ****
1. Цель работы
На персональном компьютере провести экспериментальный анализ нерекурсивных (трансверсальных) фильтров (ЦФ) 1 – го и 2 – го порядка; исследовать частотные и временные характеристики фильтров, а также их взаимосвязь со значениями коэффициентов (параметров) ЦФ.
2. Выполнение домашнего задания
2.1 Исходные данные варианта
Табл. 1. Таблица значений параметров фильтра
№ Варианта |
3 |
Параметр:
|
0,76 |
Параметр:
|
1 |
2.2 Запись разностного уравнения и системной функции
Разностное уравнение нерекурсивного ЦФ – 1 (первого порядка) имеет вид:
22\* MERGEFORMAT ()
Нахождение
системной функции
:
Свойства
-
преобразования:
Св.1 (линейности):
33\* MERGEFORMAT ()
Св.2 (смещения):
44\* MERGEFORMAT ()
Пусть
задан дискретный сигнал
( i=0, 1, 2, …), тогда его
односторонним Z –
преобразованием называется:
55\* MERGEFORMAT ()
Системной функцией ЦФ называется отношение:
66\* MERGEFORMAT ()
Находим
применив к обеим частям Z
преобразование и воспользовавшись
свойствами линейности и смещения (св.1
и св.2):
77\* MERGEFORMAT ()
Отсюда получаем:
88\* MERGEFORMAT ()
2.3 Структурная схема ЦФ
Ниже изображена структурная схема нерекурсивного цифрового фильтра 1 – го порядка:
Рис. 1. Структурная схема нерекурсивного
ЦФ 1 - го порядка (
)
2.4 Расчёт и построение импульсной реакции, амплитудно-частотной характеристики и фазо-частотной характеристики ЦФ
Ниже изображена схема получения импульсной характеристики:
Рис. 2. Схема получения ИХ
Расчёт импульсной реакции:
По определению ИХ (см. Рис.2.)
99\* MERGEFORMAT ()
где:
1010\* MERGEFORMAT ()
- единичный импульс Кронекера
Из (8) с учётом начального условия и (9) последовательно получаем:
1111\* MERGEFORMAT ()
Ниже представлена импульсная характеристика цифрового фильтра:
Рис. 3. Импульсная характеристика ЦФ ( )
Расчёт комплексного коэффициента передачи:
Комплексным
коэффициентом передачи ЦФ
называется функция частоты
:
,
1212\* MERGEFORMAT ()
где
- частота дискретизации,
- интервал дискретизации
Свойства комплексных чисел:
Если
то
1313\* MERGEFORMAT ()
1414\* MERGEFORMAT ()
1515\* MERGEFORMAT ()
Формулы Эйлера:
1616\* MERGEFORMAT ()
1717\* MERGEFORMAT ()
Находим
используя
(11) и формулы Эйлера (15), (16):
1818\* MERGEFORMAT ()
Находим Re и Im от по (12), (13):
1919\* MERGEFORMAT ()
Расчёт АЧХ:
Амплитудно – частотной характеристикой (АЧХ) ЦФ, называется функция частоты:
2020\* MERGEFORMAT ()
где
- оператор взятия модуля комплексного
числа
2121\* MERGEFORMAT ()
Находим АЧХ по формуле (20) и с учётом (18):
2222\* MERGEFORMAT ()
Ниже представлена амплитудно – частотная характеристика ЦФ:
Рис. 4. АЧХ цифрового фильтра ( )
Расчёт ФЧХ:
Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) цифрового фильтра называется функция частоты:
2323\* MERGEFORMAT ()
Находим
ФЧХ
по
формуле (22):
2424\* MERGEFORMAT ()
Ниже представлена полученная фазо – частотная характеристика ЦФ:
Рис. 5. ФЧХ цифрового фильтра ( )
3. Выполнение лабораторной работы
3.1. Исходные параметры фильтров
Значения коэффициентов для нерекурсивных ЦФ 1-го и 2-го порядка, представлены ниже, в таблицах 2 и 3.
Табл. 2. Значения коэффициентов ЦФ 1-го порядка.
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
Табл. 3. Значения коэффициентов ЦФ 2-го порядка.
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0.3 |
-0.2 |
1 |
-1 |
1 |
1 |
-2 |
1 |
1 |
1 |
-2 |
3.2. Структурные схемы исследуемых фильтров
На основе разностных уравнений построим структурные схемы цифровых фильтров. Разностное уравнение ЦФ 1-го порядка определяется по формуле (1). На рисунке 1 представлена структурная схема ЦФ 1-го порядка.
Уравнение ЦФ 2-го порядка:
2525\* MERGEFORMAT ()
Ниже представлена структурная схема нерекурсивного ЦФ 2-го порядка.
Рис. 6. Структурная схема нерекурсивного ЦФ 2-го порядка
3.3. Результаты экспериментального исследования
Формулы для расчёта характеристик цифрового фильтра 1-го порядка:
ИХ ЦФ 1-го порядка определяется по формуле (10).
АЧХ ЦФ 1-го порядка определяется по формуле (21).
ФЧХ ЦФ 1-го порядка определяется по формуле (23).
Формулы для расчёта характеристик цифрового фильтра 2-го порядка:
По определению ИХ (см. рис. 2):
2626\* MERGEFORMAT ()
Из (25) и (9) последовательно получаем:
2727\* MERGEFORMAT ()
Находим применив к обеим частям уравнения (24) Z преобразование и воспользовавшись свойствами линейности и смещения (св.1 и св.2):
2828\* MERGEFORMAT ()
Из (5) и (27) получаем:
2929\* MERGEFORMAT ()
Находим используя (11), (28) и формулы Эйлера (15), (16):
3030\* MERGEFORMAT ()
Находим Re и Im от по (12), (13):
3131\* MERGEFORMAT ()
Находим АЧХ ЦФ 2-го по формуле (20) и с учётом (30):
3232\* MERGEFORMAT ()
Находим ФЧХ ЦФ 2-го порядка по формуле (22):
3333\* MERGEFORMAT ()
Рис. АЧХ- 1 (b0 = 1; b1 = 1; b2 = 0) |
Рис. АЧХ- 2 (b0 = 1; b1 = -1; b2 = 0) |
Рис. ФЧХ- 1 (b0 = 1; b1 = 1; b2 = 0) |
Рис. ФЧХ- 2 (b0 = 1; b1 = -1; b2 = 0) |
Рис. ИХ- 1 (b0 = 1; b1 = 1; b2 = 0) |
Рис. ИХ- 2 (b0 = 1; b1 = -1; b2 = 0) |
Рис. АЧХ- 3 (b0 = 1; b1 = 1; b2 = 1) |
Рис. АЧХ- 4 (b0 = 1; b1 = 0.3; b2 = -0.2) |
Рис. ФЧХ- 3 (b0 = 1; b1 = 1; b2 = 1) |
Рис. ФЧХ- 4 (b0 = 1; b1 = 0.3; b2 = -0.2) |
Рис. ИХ- 3 (b0 = 1; b1 = 1; b2 = 1) |
Рис. ИХ- 4 (b0 = 1; b1 = 0.3; b2 = -0.2) |
Рис. АЧХ- 5 (b0 = 1; b1 = -1; b2 = 1) |
Рис. АЧХ- 6 (b0 = 1; b1 = -2; b2 = 1) |
Рис. ФЧХ- 5 (b0 = 1; b1 = -1; b2 = 1) |
Рис. ФЧХ- 6 (b0 = 1; b1 = -2; b2 = 1) |
Рис. ИХ- 5 (b0 = 1; b1 = -1; b2 = 1) |
Рис. ИХ- 6 (b0 = 1; b1 = -2; b2 = 1) |
Рис. АЧХ- 7 (b0 = 1; b1 = 1; b2 = -2) |
Рис. ФЧХ- 7 (b0 = 1; b1 = 1; b2 = -2) |
Рис. ИХ- 7 (b0 = 1; b1 = 1; b2 = -2) |
Детальные выводы по работе
Анализ устойчивости
Нерекурсивные фильтры являются устойчивыми, так как при любых начальных условиях реакция фильтра на любое ограниченное воздействие также ограничена (имеет конечную импульсную характеристику).
Классификация фильтров
Вид фильтра определяется по характеру локализации АЧХ в частотной области. У фильтров нижних частот (ФНЧ) локализация АЧХ происходит у нулевой частоты, в то время, как у фильтров верхних частот (ФВЧ) локализация у частоты Найквиста.
Фильтры, полученные в результате выполнения лабораторной работы:
Фильтр №1: (
является ФНЧ 1-го порядка.
Фильтр №2: (
является ФВЧ 1-го порядка.
Фильтр №3: (
является ФНЧ 2-го порядка.
Фильтр №4: (
является ФНЧ 2-го порядка.
Фильтр №5: (
является ФВЧ 2-го порядка.
Фильтр №6: (
является ФВЧ 2-го порядка.
Фильтр №7: (
является ФВЧ 2-го порядка.
Анализ поведения АЧХ
Нерекурсивные ЦФ 1-го порядка имеют меньшую крутизну АЧХ, чем нерекурсивные ЦФ 2-го порядка. У ФВЧ 1-го порядка крутизна АЧХ (фильтр №2) меньше чем у ФВЧ 2-го порядка (фильтр №6). ФВЧ 2-го порядка обладает пульсацией вне полосы пропускания (фильтр №5), а также в полосе пропускания (фильтр №7). Нерекурсивные ФНЧ 1-го порядка недостаточно подавляют высокие частоты (фильтр №1), ФНЧ 2-го порядка имеет пульсации вне полосы пропускания (фильтр №3), а также в полосе пропускания (фильтр №4).
Недостатки и преимущества исследуемых фильтров
Преимущества:
Основными преимуществами нерекурсивного фильтра является простота анализа и реализации, а также наглядная связь коэффициентов фильтра с отсчетами его импульсной характеристики и абсолютная устойчивость.
Недостатки:
Несмотря на то, что длительность импульсной характеристики нерекурсивного фильтра конечна, она может оказаться достаточно большой для достижения резкого спада частотной характеристики на границе зоны пропускания, также для получения приемлемых частотных характеристик (например, полосовых фильтров с высокой прямоугольностью АЧХ) необходимы нерекурсивные фильтры высокого порядка до нескольких сотен и даже тысяч.