УПП / Курс 2 / Семестр 3 / Математика / Лекции / Лекция 8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

y n a

n 1

y n 1 ... a y' a

0

y f x и

1

пусть

y1, y2,...yn

-

фундаментальная

система

решений

однородного

уравнения

y n a

n 1

y n 1 ... a y' a

0

y 0. Будем искать решение неоднородного уравнения в виде

1

y C1 x y1 C2 x y2

... Cn x yn , где

C1 x ,C2 x ,...,Cn x

- некоторые

неизвестные

функции

y C1 x y1

C2 x y2

... Cn x yn

в неоднородное дифференциальное уравнение.

Для определения функций C1,C2,...,Cn необходимо придумать еще n -1 условие.

Рассмотрим производные функции y C1y1

C2 y2

... Cn yn :

y'

C

y' C

2

y' ... C

n

y

'

C' y

C'

y

2

... C'

y

n

.

1 1

2

n

1 1

2

n

Пусть C'

y C' y

2

... C'

y

n

0

(первое условие), тогда

y'

C

y' C

2

y'

... C

n

y'

и

1 1

2

n

1 1

2

n

y'' C

y'' C

2

y

'' ...

C

n

y''

C

' y

'

C' y

'

... C

' y' .

1 1

2

n

1 1

2 2

n n

Пусть C

' y'

C' y'

... C

'

y'

0(второе условие),

тогда

y'' C

y'' C

2

y''

... C

n

y'' .

1 1

2 2

n n

1 1

2

n

Вычислив третью производную, получаем третье условие:

C' y

'' C'

y''

... C

'

y'' 0

и т.д.

1

1

2

2

n

n

Последнее условие

получим

после

вычисления

y n 1 :

C'

y n 2

C

' y

n 2 ... C'

y n 2

0.

1

1

2

2

n

n

Теперь

подставляем

функцию

y C1y1

C2 y2 ... Cn yn

и

ее

производные

y' C y'

C

2

y'

... C

n

y'

,

y''

C y'' C

2

y''

... C

n

y''

и

т.

д.

в

уравнение

1 1

2

n

1 1

2

n

y n a

n 1

y n 1

... a y'

a

0

y f x . Получим:

1

C'

y n 1

C'

y

n 1

... C'

y

n 1

f (x)

(последнее условие).

1

1

2

2

n

n

Для определения функций C1,C2,...,Cn

получили систему линейных алгебраических

уравнений

С'

y C

'

y

2

... C

'

y

n

0

1

1

2

n

C'

y' C

'

y

'

... C

'

y

'

0

1

1

2

2

n

n

.....................................

C'

y n 2

C'

y n 2 ... C

'

y n 2

0

1

1

2

2

n

n

C'

y

n 1 C'

y

n 1

... C'

y n 1 f (x)

1

1

2

2

n

n

Определитель

системы

есть

определитель

Вронского

функций

y1, y2,...yn ,

характеристическое уравнение: 2

1 0, i. Фундаментальная система решений состоит

из функций sin x,cosx . Общее

решение

дифференциального уравнения ищем в виде

y C1(x)sin x C2 (x)cosx.

C'

(x)sin x C'

(x)cosx 0

1

2

C' (x)cosx C' (x)sin x cos 1

x

1

2

решим систему по правилу Крамера:

sin x

cosx

sin2

x cos2 x 1

cosx

sin x

1

0

cosx

0 1 1, 2

sin x

0

tgx

cos 1

x

sin x

cosx

cos 1

x

C'

(x) 1

1,C' (x) 2

tgx

1

2

C1 (x) C1' (x)dx dx x C1 , где C1 - произвольная постоянная,

C2 (x) C2'

(x)dx tgxdx ln(cosx) C2

Случай

1:

Дифференциальное

уравнение

имеет

вид

y n a

n 1

y n 1 ... a y'

a

0

y P (x)eax , где

P (x)

- некоторый многочлен степени

m (в

1

m

m

Ищем решение неоднородного уравнения

в виде

y xkQ

m

(x) eax ,

где Q (x) -

m

многочлен с неопределенными коэффициентами, той же степени, что и Pm (x),

k - кратность

числа a как корня характеристического уравнения

(в частности, если a не является корнем

после подстановки функции y xkQm (x) eax

в дифференциальное уравнение. Затем находим

общее решение y

0

однородного уравнения

y n a

n 1

y n 1 ... a y' a

0

y 0

. По теореме об

1

Пример: Найти общее решение уравнения y'' 6y' 5y xex

Решение: Найдем общее решение однородного уравнения

y'' 6y' 5y 0: корни

характеристического уравнения равны 1,

2

5. Общее решение -

y С ex C

e5x .

1

1

2

В данном случае

Pm (x) x

- многочлен первой степени, поэтому

Qm (x) Ax B -

некоторый многочлен первой степени с неопределенными коэффициентами.

Число

a 1

являетсяоднократнымкорнемхарактеристическогоуравнения,поэтому k 1

и

y x Ax B ex Ax2 Bx ex

y' 2Ax B ex Ax2 Bx ex Ax2 2Ax Bx B ex

y'' Ax2

2Ax Bx B ex 2Ax 2A B ex

Подставим y, y', y'' в дифференциальное уравнение:

Ax2 2Ax Bx B ex 2Ax 2A B ex

6 Ax2 2Ax Bx B ex 5 Ax2 Bx ex xex

Сократим полученное равенство на ex , приведем подобные

8Ax 2A 4B x

иприравняем коэффициенты при равных степенях переменной x

8A 1

1

1

x2

x

:

,

значит,

A

;B

,

y

ex

и общее решение имеет вид:

4B 0

8

16

16

2A

8

x2

x

y y

0

y C ex C

e5x

ex .

1

2

8

16

Случай

2:

Дифференциальное

уравнение

имеет

вид

y n a

n

1

y n 1

... a y'

a

0

y eax P (x)cosbx P (x)sinbx ,

где P(x),P (x)

- некоторые

1

1

2

1

2

однородного уравнения имеет вид y C e2x C

e3x .

1

2

В заданном уравнении P1(x) 0,

P2 (x) 1 - многочлены нулевой степени,

a 0,b 1,

число a ib i не является

корнем

характеристического

уравнения, поэтомуk 0 и

y Acosx Bsin x .

y' Asin x Bcosx,

y'' Acosx Bsin x.

Подставляем

функцию

5A 5B 0

,

A B

1

, y

1

cosx sin x

5A 5B 1

10

10

Общее решение: y y0 y C1e2x C2e3x

1

cosx sin x .

10