Добавил:

Rin_Yano Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекция 6. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.10.2022

Размер:

711.88 Кб

Скачать

☆

Лекция

Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые понижением порядка. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теоремы о структуре общего решениялинейныхуравненийn-гопорядка.ОпределительВронского.Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А.Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с. С. 26 – 49

Дифференциальные уравнения порядков выше первого

Дифференциальное уравнение порядка n имеет вид F x, y, y',..., y n 0, где F – заданная функция, x - независимая переменная, y- неизвестная функция.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Геометрическая интерпретация: Поскольку производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, то дифференциальное уравнение первого порядка F x, y, y' 0

устанавливаетсвязьмеждукоординатамиточкиналиниииугломнаклонакасательнойклинии вэтойточке.Можнодать аналогичнуюинтерпретацию дифференциальногоуравнения второго

порядка F x,y, y', y'' 0	: поскольку формула	y''			задает кривизну графика функции в
порядка F x,y, y', y'' 0	: поскольку формула		3		задает кривизну графика функции в
		1 y' 2
		1 y' 2		2

точке и зависит только от первой и второй производных, то уравнение F x,y, y', y'' 0, также

зависящееот координатточки ипроизводныхпервогои второгопорядков,устанавливаетсвязь между координатами точки, углом наклона касательной и кривизной в этой точке.

Физическая интерпретация: поскольку скорость материальной точки равна производной по времени от пройденного пути, то дифференциальное уравнение первого порядка F x, y, y' 0 устанавливает связь между моментом времени x , координатой точки y и скоростью y'

материальной точки в этот момент времени. Аналогично, дифференциальное уравнение второгопорядка дает зависимостьмежду моментомвремени x ,пройденным кэтомумоменту

путем y, скоростью y' материальной точки и ее ускорением y'' .

Основные задачи теории дифференциальных уравнений второго порядка:
1)	Найти общее решение уравнения F x,y, y', y'' 0
2)	Задача Коши. Найти решение уравнения		F x,y, y', y'' 0, удовлетворяющее
	начальным условиям y x0 y0 , y' x0 y0' , где x0 ,y0 , y0' - заданные числа.
3)	Краевая задача. Найти решение уравнения F x,y, y', y'' 0 на промежутке					a;b ,
	удовлетворяющее граничным условиям y a A, y b B, где A,B - заданные числа.
			y''
Пример: Решением задачи Коши для уравнения					0 будет прямая, проходящая
		1	y' 2	3
				2

череззаданнуюточку M x0, y0 подзаданнымуглом(тангенскоторогоравен y0' )косиабсцисс.

Решениемкраевой задачи для тогоже уравнения будетпрямая,проходящаячерездве заданные точки M1 a,A , M2 b,B .

Уравнения, допускающие понижение порядка

1) Рассмотрим уравнение, содержащее только одну производную произвольного порядка и независимую переменную:F x,y n 0. Такое уравнение можно решить последовательным интегрированием производных.

Пример 1: Найти общее решение уравнения yIV x 3

Решение: По известной четвертой производной можно найти третью производную:

y'''

x 3dx

, по третьей производной можно найти вторую и т. д.

2x2

C1x C2

C1x2

C1x C2

lnx

C2 x C3

C x

ln x

x C

xln x x

C1x3

C2 x2

C3x C4

Пример 2: Материальная точка движется с ускорением, связь которого со временем дается формулой a(t) 2sin3t . В момент времени t0 0 координата точки была равна s(t0 ) 1, а

скорость- v(t0 ) 2 Найти закондвижения (изменение координаты взависимости отвремени).

Решение: Поскольку скорость есть производная от пути, а ускорение – его вторая производная, то, по сути, требуется решить задачу Коши:

s''(t) 2sin3t,

s(0) 1,

s' (0) 2.

s' (t) 2 sin3tdt

cos3x C1

s(t)

cos3x C

sin3x C x C

Теперьнужноопределитьзначенияпостоянных C ,C											2	изначальныхусловий s(0) 1	, s'(0) 2
										1	2
:
s(0)	2	sin 3 0 C 0 C				1, значит, C				1
s(0)		sin 3 0 C 0 C			2	1, значит, C			2	1
	9		1		2				2
	9
s' (0) 2cos 3 0 C				2;		2	C	2; C		8 .
	3		1			3	1	1		3

Значит, закон движения задается формулой s(t) 92sin3x 83 x 1

Замечание: В общем случае при решении задачи Коши или краевой задачи для определения произвольных постоянных приходится решать систему линейных уравнений.

2) Рассмотрим уравнение, не содержащее неизвестной функции и, возможно, нескольких последовательных младших производных: F x, y k ,y k 1 ,..., y n 0

В этом случае заменой y k z можно понизить порядок уравнения. Пример: Найти общее решение уравнения x2 y''' y'' 2 .

Решение: Заменим младшую из присутствующих в уравнении производных на новую

неизвестную функцию

y''

z ,

тогда

y'''

и уравнение можно записать в виде

Найдем общее решение полученного уравнения с разделяющимися переменными.

;

C x 1

Возвращаемся к переменной y :

y''

и рассмотрим сначала случай C

C1x 1

1 x C 1

C 1

x C 1

C x 1

ln x

x C

C2 ln x

2 dx

ln x

Если

0, то y''

;

C2 x C3 .

F y, y',..., y n 0.

3) Рассмотрим уравнение, не содержащее независимой переменной

x :

Будем считать

функцию

новой

независимой переменной, а функцию

z y' - новой

неизвестной

функцией

от

независимой

переменной

Тогда

y''

z' z,

d z'

z''z z'

2 z z''z2

y'''

z z' 2

и т. д.

то есть порядок уравнения понижается на 1.

Пример: Решить краевую задачу yy''

y' 2

y 0 e, y 1 e2

Решение: найдем общее решение уравнения; для этого сделаем замену:

z ,

y''

yzz'

z2 .

Значит, либо z 0 , и тогда

y C ; либо получаем уравнение с разделяющимися

переменными yz'

z ;

; ln z ln y lnC

;

z C y

y' C y

;

C y

; dy

C dx;

ln y C x C

;

y eC1x C2 .

Определим значения постоянных C ,C

из условий y 0 e, y 1 e2:

y 0 eC1 0 C2

e, значит, eC2

e и C2

y 1 eC1 C2 eC1 1

e2 ,

значит,

C 1

Решение краевой задачи: y ex 1 .

Линейные дифференциальные уравнения (элементы общей теории)

Определение: Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение вида
y n p	n 1	x y n 1 ... p x y' p	0	x y f x ,
		1
где f x , p0 x , p1 x ,..., pn 1 x - заданные функции.

Если при этом f x 0, то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением.

Теорема (свойства решений линейного однородного уравнения)
1) Если функция y0 x является решением линейного однородного уравнения, то при любом
значении постоянной C функция	Cy0 x будет решением того же уравнения.
2) Если функции y1 x и y2 x	являются решениями линейного однородного уравнения, то
функция y1 x y2 x будет решением того же уравнения.

3) Если комплексная функция действительного переменного u(x) iv(x) является решением

линейного однородного уравнения, то каждая из функций u(x),v(x)

также будет решением

того же уравнения.

y0 x

Доказательство:

пусть

функция

является

решением

уравнения

y n

n 1

x y n 1

... p

x y' p

x y 0.

Тогда

равенство

x y n 1

x y'

x y

y n

n 1

... p

является

тождеством.

Подставим

функцию

x y n 1 ... p x y' p

x y:

выражение

y n p

n 1

x Cy

n 1 ... p x Cy

' p

x Cy

(n) Cp

n 1

x y(n 1)

... Cp x y'

x y

C y(n) pn 1 x y(n 1)

... p1 x y' p0 x y 0,

значит, Cy0 x - решение дифференциального уравнения.

2) Пусть y x

и y

x -

решения уравнения y

n p

n 1

x y n 1

... p x y' p

x y 0

тогда

равенства

y n p

n 1

x y n 1

... p

x y'

x y

x y n 1 ... p

x y'

x y

y n p

n 1

являются тождествами.

x y n 1

x y

x y:

Подставим функцию y x y

x в выражение

y n

n 1

... p

' p

y y

n p

n 1

x y y

n 1

... p

x y

' p

x y y

y1n

pn 1 x y1n 1

... p1 x y1'

p0 x y1

y2n

pn 1 x y2n 1

... p1 x y2'

p0 x y2 0.

3) Без доказательства

Следствие1: Если

y1 x ,y2 x ,...yn x

решения линейного однородного

уравнения, то

при

любых значениях постоянных 1, 2,... n функция

y 1 y1 x 2 y2 x ... n yn x будет

решением того же уравнения.

Следствие 2: Тождественно равная нулю функция является решением любого линейного однородного уравнения.

При изучении n-мерного векторного пространства было введено понятие линейной зависимости векторов. Сейчас это понятие будет распространено на функции.

Определение:Функции y1 x ,y2 x ,...yn x называютсялинейнозависимыми,если существуют

числа 1, 2,... n	не все равные нулю и такие, что						1y1 x 2 y2 x ... n yn x 0		при
любыхзначенияхпеременной x .В противном случае функции								y1 x ,y2 x ,...yn x называются
линейно независимыми.
Примеры: 1) Функции y1 x x, y2 x 2x линейно зависимы, т.к. 2y1 x y2 x 0.
2) Функции	y	x 1, y	2	x sin2 x, y	3	x cos2 x	также	линейно зависимы,	т.к.
	1		2		3

y3 x y2 x y1 x 0.

3) Функции	y	0	x 1, y x x, y	2	x x2	,...y	n	x xn	линейно независимы, т. к. при любых
		0	1	2			n

значениях 0, 1, 2,... n многочлен 0 1x 2 x2 ,... n xn может быть равен нулю не более чем при n различных значениях переменной x .

Определение: Определителем Вронского1 множества функций y

x ,y

x ,...y

x называется

y2 ...

W x

...

.... ... ...

y n 1

y n 1 ...

y n 1

Теорема (определитель

Вронского

линейная

зависимость)

Если

функции

y1 x ,y2 x ,...yn x линейно

зависимы,

то

их определитель Вронского

равен

нулю. Если

решения линейного однородного дифференциального уравнения y1 x ,y2 x ,...yn x линейно

независимы, то составленный из них определитель Вронского не равен нулю тождественно.

Без доказательства.

Замечание: С помощью определителя Вронского можно проверять линейную независимость решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Пример: Проверить, будут ли линейно зависимыми функции

y x sin x, y

cosx

2) y x ex , y

x e2x , y

x e3x

sin x

cosx

Решение:

W x

sin2 x cos2

x 1 0.

Функции

y1 x sin x, y2 x cosx линейно

cosx

sin x

независимы.

2) W x

e2x

e3x

e2x

e3x

ex 8e5x 6e5x 2e6x

2e2x 3e3x

0 e2x

2e3x

4e2x 9e3x

0 3e2x 8e3x

Поскольку 2e6x 0, то функции

y x ex

, y

e2x , y

x e3x

линейно независимы.

Теорема (о подмножестве множества линейно независимых функций)

Если функции

y1 x ,y2 x ,...yn x

линейно независимы, то

любое подмножество этого

множества состоит из линейно независимых функций.

Без доказательства.

Пример: Если 1, 2,... n

- попарно различные числа, то функции

1 Вронский Юзеф (1776-1853) польский математик и философ-мистик.

e 1x ,xe 1x ,x2e 1x ,...,xne 1x , e 2x,xe 2x,x2e 2x,...,xne 2x

………………

e nx,xe nx,x2e nx,...,xne nx

линейно независимы.

Определение: Множество n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Теорема (о существовании фундаментальной системы решений)

Если функции	p0 x , p1 x ,..., pn 1 x непрерывны		на некотором интервале a;b , то на этом
интервале	существует	фундаментальная	система	решений	уравнения

y n pn 1 x y n 1 ... p1 x y' p0 x y 0

Без доказательства.

Теорема (об общем решении линейного однородного уравнения)

Если y1 x ,y2 x ,...yn x фундаментальная система решений линейного	однородного
уравнения, тогда функция y x C1y1 x C2 y2 x ... Cn yn x , где	C1,C2,...,Cn -

произвольные постоянные, является общим решением линейного однородного уравнения.

Без доказательства.

Теорема (об общем решении линейного неоднородного уравнения) Пусть

y0 x - общее

решение однородного уравнения

y n p

n 1

x y n 1

... p x y' p

x y 0, а

y x - какое-

либо решение неоднородного уравнения

y n p

n 1

x y n 1 ... p x y' p

x y f x , тогда

функция y0 x y1 x является общим решением неоднородного уравнения.

Доказательство:

подставим

функцию

y0 x y1 x

выражение

y n p

n 1

x y n 1 ... p

x y' p

x y:

n p

n 1

x y

n 1 ... p x y

y ' p

x y

y0n

pn 1 x y0n 1 ... p1 x y0'

p0 x y0

y1n

pn 1 x y1n 1

... p1 x y1'

p0 x y1 0 f (x) f (x). Теорема доказана.

Соседние файлы в папке Лекции

#
06.10.2022849.72 Кб21Лекция 1. Числовые ряды.pdf
#
06.10.2022686 Кб24Лекция 2. Функциональные ряды..pdf
#
06.10.2022189.67 Кб23Лекция 3. Комплексные числа.pdf
#
06.10.2022602.5 Кб25Лекция 4. Дифференциальные уравнения первого порядка.pdf
#
06.10.2022616.21 Кб23Лекция 5. Дифференциальные уравнения первого порядка _ продолжение.pdf
#
06.10.2022711.88 Кб24Лекция 6. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.pdf
#
06.10.2022584.05 Кб28Лекция 7. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.pdf
#
06.10.2022574.03 Кб23Лекция 8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.pdf
#
06.10.2022189.67 Кб22Лекция. Комплексные числа.pdf