УПП / Курс 2 / Семестр 3 / Математика / Лекции / Лекция 5. Дифференциальные уравнения первого порядка _ продолжение

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с.

Лекция

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Уравнения в полных дифференциалах. Метод Эйлера.

Линейные уравнения Определение: дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным

Метод решения линейного уравнения состоит в следующем: неизвестную функцию y

u'v u v' p(x)v q(x)

Теперь подберем функцию v так, чтобы v' p(x)v 0. Это равенство является

дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Достаточно найти его общее решение и в качестве произвольной постоянной С взять любое число. Допустим, что

y u v (tgx C) cosx sin x Ccosx.

Уравнение в полных дифференциалах

В курсе лекций второго семестра было дано определение полного дифференциала функции z f (x, y) : dz xz dx yz dy.

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с.

Определение: Дифференциальное уравнение f (x, y)dx g(x, y)dy 0 называется уравнениемвполныхдифференциалах,если найдетсяфункция двухпеременных z F(x, y)

не является уравнением в полных дифференциалах.

Пример 2: Найти функцию, для которой выражение 2xy y2 dx 2xy x2 dy является полным дифференциалом

Решение: обозначим искомую функцию F(x, y), тогда Fx 2xy y2 и, следовательно,

F(x, y) 2xy y2 dx . При вычислении частной производной по одной из переменных

другая переменная рассматривается как постоянная, поэтому и при интегрировании по одной из переменных вторая переменная должна рассматриваться как постоянная. Значит,

и «постоянная», которая появится при взятии неопределенного интеграла 2xy y2 dx , вообще говоря, может зависеть от переменной y.

2xy y2 dx x2 y y2x (y)

(y) - пока неизвестная функция одной переменной.

Замечание1: в последнем примере приведен общий метод нахождения функции по ее полному дифференциалу. Сначала интегрируется одна из известных частных производных функции, в результате получается выражение, содержащее неизвестную функцию одной переменной. Затем это выражение дифференцируется по второй переменной и приравнивается ко второй известной частной производной. Из полученного равенства находится неизвестная функция одной переменной.

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с.

В результате получим таблично заданную функцию, значения которой в точках x1,x2,...,xn 1,xn приближенно равны значениям искомой функции в тех же точках:

Замечание: с геометрической точки зрения вместо графикаискомойфункцииполучаетсянекотораяломаная,

называемая ломаной Эйлера.

Таким образом, алгоритм метода Эйлера состоит в следующем: с помощью формул

последовательно заполняется таблица приближенных значений искомой функции в выбранных точках x0 ,x1,x2 ,...,xn 1,xn .

Теорема (о ломаных Эйлера) Если существует ровно одно решение задачи Коши

единственному решению.

Без доказательства.

Для того чтобы найти приближенное значении искомой функции в какой-либо точке, отличной от точек x0 ,x1,x2 ,...,xn 1,xn , можно применить т. н. линейную интерполяцию,

т. е. на каждом из интервалов xi 1;xi заменить искомую функцию линейной функцией, график которой проходит через точки xi 1, yi 1 и xi ,yi . Чтобы найти значение функции, являющейся решением поставленной задачи Коши, в некоторой точке x , надо определить какому из интервалов xi 1;xi эта точка принадлежит, провести на этом интервале линейную интерполяцию и подставить число x в полученную линейную функцию.

Пример: Решить задачу Коши y' 2xy , y 1 1 на интервале 1;2 , разбивая интервал на 5

частей и найти приближенные значения функции y 1,1 и y 1,7 .

Решение: составим таблицу из трех строк, занося в верхнюю строку значения независимой переменной, во вторую строку приближенные значения искомой функции, в третью – приближенные значения производной искомой функции.

Длина заданного интервала равна 1, по условию задачи он разбивается на 5 интервалов,

y'

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с.

Точка 1,1 1;1,2 . Составим уравнение прямой, проходящей через точки 1 и 1,2:

y 1,1 1,2.

Точка 1,7 1,6;1,8 . Составим уравнение прямой, проходящей через точки 1,6 и 1,8:

y 1,7 2,7.

Существование и единственность решения задачи Коши

Теорема о ломаных Эйлера гарантирует стремление этих ломаных к решению при условии, что существует ровно одно, проходящее через точку x0 ,y0 решение, поэтому желательно

уметь определять по виду уравнения существует ли решение задачи Коши и является ли оно единственным.