УПП / Курс 2 / Семестр 3 / Математика / Лекции / Лекция 7. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А.Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с.

Лекция

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Случаи вещественных корней и комплексных корней характеристического уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид

f x 0, то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Изтеоремыосуществованиифундаментальнойсистемырешений следует,чтолюбоелинейное уравнение с постоянными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений.

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

1 Идея принадлежит Л. Эйлеру.

1

Рассмотрим отдельно четыре случая.

Случай 1: Пусть характеристическое уравнение имеет ровно n различных действительных

лекции, эти функции линейно независимы и их ровно n , то e 1x ,e 2x ,...,e nx - фундаментальная система решений дифференциального уравнения.

Пример: Найти общее решение уравнения y''' 5y'' 6y' 0

Решение: Составим характеристическое уравнение: 3 5 2 6 0. Корни этого уравнения

Случай 2: Все корни характеристического уравнения различны, но среди них не все корни действительны.

Пусть a ib - комплексный корень характеристического уравнения и b 0. Тогда,

поскольку коэффициенты характеристического уравнения – действительные числа, то числоa ib также является корнем характеристического уравнения.

e x e a ib x eax eibx eax cosbx isinbx eax cosbx ieax sinbxПо теореме о свойствах решений линейного однородного уравнения каждая из функций eax cosbx,eax sinbx является решением этого уравнения. Определитель Вронского этих функций равен

e2ax acosbxsinbx bcos2 bx e2ax acosbxsinbx bsin2 bx

be2ax 0, значит, эти функции линейно независимы.

e x e a ib x eax e ibx eax cosbx isinbx eax cosbx ieax sinbx и, значит, корню a ib в

фундаментальной системе решений соответствуют функции eax cosbx, eax sinbx. Добавление любой из этих функций в множество функций eax cosbx,eax sinbx делает это множество линейно зависимым. Значит, каждой паре комплексно сопряженных корней характеристического уравнения соответствует в фундаментальной системе пара линейно

независимых функций.

2

Пусть 1, 2,..., k , k 1,..., n - все корни характеристического уравнения, эти корни попарно различны и 1, 2,..., k - действительные числа, k 1,..., n - комплексные, но не действительные числа. Тогда каждому действительному числу i в фундаментальной системе решений соответствует функция e ix , а каждой паре комплексно сопряженных чисел , –

пара линейно независимых функций eax cosbx,eax sinbx. Общее количество функций в

фундаментальной системе решений равно количеству корней характеристического уравнения и, в соответствии с примером предыдущей лекции, все эти функции линейно независимы.

Пример 1: Найти общее решение дифференциального уравнения yIV y 0.

Решение: Решим характеристическое уравнение 4 1 0: 2 1 2 1 0;

1 1 2 1 0 ; 1 1, 2 1, 3 i, 4 i. По формуле Эйлера eix cosx isin x,

значит, фундаментальная система решений состоит из функций ex ,e x ,cosx,sin x и общее решение имеет вид

y C1ex C2e x C3 cosx C4 sin x

Пример 2: Решить задачу Коши y''' 4y'' 13y' 0, y 0 1, y' 0 2, y'' 0 3

Решение: составим и решим характеристическое уравнение: 3 4 2 13 0;

Случай 3: характеристическое уравнение имеет кратные действительные корни. Пусть действительный корень 0 имеет кратность k, тогда многочлен n an 1 n 1 ... a1 a0

можно представить в виде 0 k P x , при этом число 0 не будет являться корнем многочлена P x . Можно показать, что функции e 0x ,xe 0x ,...,xk 1e 0x являются решениями уравнения y n an 1 y n 1 ... a1 y' a0 y 0. Таким образом, каждому корню кратности k в

фундаментальной системе решений соответствуют ровно k линейно независимых функций и общее количество таких функций совпадает с порядком дифференциального уравнения.

теоремой о свойствах решений линейного однородного уравнения, получим, что функции eax cosbx, xeax cosbx, ...,xk 1eax cosbx

eax sinbx, xeax sinbx,..., xk 1eax sinbx

входят в фундаментальную систему решений дифференциального уравнения.

корней i. Значит, фундаментальная система состоит из функций cosx,xcosx,sin x,xsin x и

общее решение имеет вид

y C1 cosx C2xcosx C3 sin x C4xsin x.

4