Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

УПП / Курс 2 / Семестр 3 / Математика / Лекции / Лекция 3. Комплексные числа

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
06.10.2022
Размер:
189.67 Кб
Скачать

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с. С. 85 – 94

Лекция.

Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Действия над комплексными числами.

Комплексные числа. Арифметические операции с комплексными числами

К введению понятия комплексного числа привела невозможность извлечения квадратного корня из отрицательных чисел.

Определение: Полагаем 1 = i . Это новое число i называется мнимой единицей.

Замечание 1: Из определения очевидно, что i2 = −1

Замечание 2: Мнимая единица не является действительным числом, это новый объект, свойства которого будут изучены в данной лекции.

Замечание 3: Введение в рассмотрение мнимой единицы позволяет извлекать квадратный корень из любого отрицательного числа. Например,

4 = 4 (1)= 4 1 = 2i 5 = 5 (1)= 5 1 = i5

Определение: Число z = a +ib , где a,b - действительные числа, называется комплексным

числом. При этом действительное число a называется действительной частью числа z = a +ib и обозначается a = Re z ; действительное число b называется мнимой частью числа z = a +ib и обозначается b = Im z .

Замечание1: Любое действительное число a является и комплексным, т.к. a = a +i 0. Замечание 2: Запись комплексного числа виде z = a +ib называют алгебраической формой комплексного числа.

Определение: Комплексное число z = a ib называется числом, комплексно сопряженным с числом z = a +ib .

Пример: 1) Если z = 2 3i , то Re z = 2 , Im z = −3, z = 2 +3i

2) Если z = 5 , то Re z = 5 , Im z = 0 ,

z = 5

Сложение, вычитание, умножение и

деление комплексных чисел z1 = a +ib и

z2 = с+id определяются следующими правилами:

z1 + z2 = (a +c)+i(b + d ) z1 z2 = (a c)+i(b d )

z1 z2 = (a +ib) (c +id )= ac +ibc +iad +i2bd = (ac bd )+i(ad +bc)

т.е. при сложении, вычитании и умножении скобки раскрываются по обычным правилам, учитывается условие i2 = −1 и приводятся подобные.

z1

=

a +ib

=

(a +ib)(c id )

=

(ac +bd )+i(bc ad )

=

z2

c +id

(c +id )(c id )

 

c2 + d 2

ac +bd +i

bc ad

 

 

 

c2

+ d 2

c2

+ d 2

 

 

 

При делении необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число, комплексно сопряженное к знаменателю, раскрыть скобки и привести подобные.

1

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с. С. 85 – 94

Пример: Если z1 = 2 +5i ,

z2 = 4 +3i , то

 

 

 

 

z1 + z2

= (2 + 4)+i(5 +3)= 6 +8i ,

 

 

 

 

=(2 +5i) (4 +3i)

 

z z

2

= (2 4)+i(5 3)= −2 + 2i

, z

1

z

2

=8 + 20i + 6i +15i2 = −7 + 26i ,

1

 

 

 

(2 +5i)(4 3i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

=

2 +5i

 

=

8 + 20i

6i 15i2

=

23

+14i

=

z2

4 +3i

= (4 +3i)(4 3i)

 

 

 

25

 

 

25

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

23 +i 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидны следующие свойства комплексных чисел:

1.z1 + z2 = z2 + z1

2.(z1 + z2 )+ z3 = z1 +(z2 + z3 )

3.z1 z2 = z2 z1

4.(z1 z2 ) z3 = z1 (z2 z3 )

5.(z1 + z2 ) z3 = z1 z3 + z2 z3

Теорема (связь арифметических операций и комплексного сопряжения)

__

1. (z)= z

________

2. (z1 + z2 )= z1 + z2 (число, сопряженное к сумме равно сумме

сопряженных чисел)

________

3. (z1 z2 )= z1 z2 (число, сопряженное к разности равно разности сопряженных чисел)

________

4. (z1 z2 )= z1 z2 (число, сопряженное к произведению равно произведению сопряженных чисел)

 

________

 

 

 

 

 

z1

 

 

z1

 

5.

 

 

=

(число, сопряженное к частному равно частному сопряженных чисел)

 

 

 

 

 

z2

 

z2

 

 

 

Доказательство: 1. Очевидно.

Пусть z1 = a +ib , z2 = с+id , тогда z1 = a ib , z2 = сid

2., 3. z1 + z2 = (a +c)+i(b + d ), z1 z2 = (a c)+i(b d ) и

________

(z1 + z2 )= (a +c)i(b + d )= a ib +c id = z1 + z2

________

(z1 z2 )= (a c)i(b d )= a ib +id c = z1 z2

________

4. z1 z2 =(ac bd )+i(ad +bc), (z1 z2 )= (ac bd )i(ad +bc)

______

z1 z2 = (a ib)(c id )= ac bd i(ad +bc)= (z1 z2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

ac +bd

 

bc ad

 

 

z1

 

 

ac +bd

 

bc ad

5.

=

+i

,

 

 

=

i

z2

c

2

+ d

2

c

2

+ d

2

 

 

 

c

2

+ d

2

c

2

+ d

2

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

2

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с. С. 85 – 94

 

 

 

 

(a ib)(c +id )

 

ac +bd +i(ad bc)

____

 

z1

 

a ib

 

 

 

=

=

=

 

z1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

z2

c id

(c id )(c +id )

c

+ d

=

.

 

 

 

 

 

z2

 

Теорема доказана.

Замечание: Понятий «больше» и «меньше» для комплексных чисел не существует. Доказано, что невозможно ввести для комплексных чисел эти понятия таким образом, чтобы они были согласованы с арифметическими операциями.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

В прямоугольной системе координат на плоскости отложим от начала координат вектор (a;b) и сопоставим этот вектор

комплексному

числу

z = a +ib .

Очевидно,

что такое

сопоставление будет

взаимно однозначным, т.е. каждому

комплексному

числу

соответствует

ровно один

вектор и

каждому вектору соответствует ровно одно комплексное число. Из определений сложения векторов и сложения комплексных чисел следует, что сложение комплексных чисел можно производить геометрически как сложение соответствующих им векторов.

Аналогично можно производить вычитание комплексных чисел как

соответствующих им

векторов.

 

 

Пусть z = x +iy - комплексное число. Рассмотрим

полярную

систему координат,

совмещенную с прямоугольной обычным образом: полюс совпадает с началом прямоугольной системы координат, и полярная ось направлена по положительному направлению оси абсцисс. Тогда, поскольку

x = ρcosϕy = ρsinϕ ,

то z = ρ(cosϕ +i sinϕ).

Замечание: Запись комплексного числа в виде z = ρ(cosϕ +i sinϕ) называют геометрической формой комплексного числа.

Определение: Величина ρ =

 

x2 + y2

 

называется модулем комплексного числа z = x +iy и

обозначается

 

z

 

. Величина ϕ называется аргументом комплексного числа z = x +iy .

 

 

Пример: Найти геометрическую форму комплексного числа z = −1+i

 

 

 

 

 

Из рисунка 2

 

видно, что

 

ρ =

 

 

, ϕ =

3π

(это можно было

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

определить и аналитически), значит,

 

 

 

 

 

 

 

z =

 

 

 

3π

+i sin

3π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 cos

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть z1 = ρ1 (cosϕ1 +i sinϕ1 ),

z2 = ρ2 (cosϕ2 +i sinϕ2 ), тогда

 

 

 

 

z1 z2

= ρ1ρ2 (cosϕ1 +i sinϕ1 )(cosϕ2 +i sinϕ2 )=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с. С. 85 – 94

=ρ1ρ2 ((cosϕ1 cosϕ2 sinϕ1 sinϕ2 )+i(cosϕ1 sinϕ2 +sinϕ1 cosϕ2 ))=

=ρ1ρ2 (cos(ϕ1 +ϕ2 )+i sin(ϕ1 +ϕ2 ))

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

z1

 

ρ1

(cosϕ1

+i sinϕ1 )

ρ1

(cosϕ1

+i sinϕ1 )(cosϕ2

i sinϕ2 )

 

=

 

 

 

=

 

 

 

 

=

z2

ρ2

(cosϕ2

+i sinϕ2 )

ρ2

(cosϕ2

+i sinϕ2 )(cosϕ2

i sinϕ2 )

=ρ1 ((cosϕ1 cosϕ2 +sinϕ1 sinϕ2 )+i(sinϕ1 cosϕ2 sinϕ2 cosϕ1 ))=

ρ2 (cos2 ϕ2 +sin 2 ϕ2 )

=ρ1 (cos(ϕ1 ϕ2 )+i sin(ϕ1 ϕ2 ))

ρ2

Значит, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются. Замечание: Из вышесказанного следует, что для любых комплексных чисел z1 , z2 имеют

место равенства

 

z z

 

=

 

z

 

 

 

z

 

и

 

 

z

 

=

 

z1

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

z2

 

 

Пусть z = ρ(cosϕ +i sinϕ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда, поскольку при умножении комплексных чисел их модули

перемножаются, а аргументы складываются:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 = ρ2 (cos 2ϕ +i sin 2ϕ)

 

 

 

 

 

 

z3 = z2 z = ρ3 (cos3ϕ +i sin 3ϕ)

 

 

 

 

 

 

 

z4

= z3 z = ρ4 (cos 4ϕ +i sin 4ϕ) и т. д.

Кроме того,

z1

=

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

= cosϕ i sinϕ = ρ1 (cos(ϕ)+i sin(ϕ)),

 

ρ

(cosϕ +i sinϕ)

 

 

= (z1 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ

 

z2

= ρ2 (cos(2ϕ)+i sin(2ϕ)) и т. д.

Таким образом, имеет место формула Муавра1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zn

= ρn (cos nϕ +i sin nϕ) при n Z .

Пример: Найти z4 , если z = −1+i

 

 

 

 

 

 

 

3π

 

Решение: Поскольку z

 

 

 

 

 

 

 

3π

 

+i sin

 

 

=

2

 

 

 

 

 

cos

4

 

4

 

 

, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

3π

 

 

 

 

 

 

 

3π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

= ( 2)

cos

4

 

 

 

 

 

+i sin 4

 

 

 

 

= 4(1+0 i)= −4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение: Корнем степени n из комплексного числа z называется комплексное число w

такое, что wn = z .

Очевидно, что если

z = ρ(cosϕ +i sinϕ), то число w

 

 

 

 

ϕ

+i sin

ϕ

, где под

 

 

 

0

= n ρ cos

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

выражением nρ подразумевается арифметический корень степени n из действительного числа, является корнем степени n из числа z .

1 Муавр Абрахам де (1667-1754) английский математик

4

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с. С. 85 – 94

Кроме

 

 

 

 

 

 

того,

 

 

при

 

 

 

 

любом

 

 

целом

 

 

 

 

 

значении

 

числа

 

 

k

комплексное

число

wk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ

 

+ 2πk

+i sin

ϕ + 2πk

 

также является корнем степени n из числа z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= n

 

ρ

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ + 2πk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ + 2πk

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

= ρ cos n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+i sin n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ρ(cos(ϕ + 2πk)+i sin(ϕ + 2πk))= ρ(cosϕ +i sinϕ)= z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Среди чисел wk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ + 2πk

+i sin

ϕ + 2πk

 

 

 

различными являются только n чисел. Эти

= n

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

числа получаются, если числу k последовательно придавать значения k = 0,1,2,..., n 1.

 

 

 

 

Пример1: Вычислить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение: Найдем геометрическую форму числа i :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модуль числа равен 1, аргумент равен

 

π

 

, поэтому i = cos

π

 

+i sin

π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку извлекается корень второй степени (n = 2 ), в формулу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ

+

2πk

+i sin

ϕ

+

2πk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= n

 

 

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

надо будет подставлять два значения: k = 0 и k =1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

+0

 

 

 

 

 

 

 

 

π

+0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

При k = 0 : w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+i sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+i sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= cos

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При k =1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

+ 2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

+ 2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

5π

 

 

 

 

 

 

 

 

5π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2: Вычислить

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+i sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+i sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение: Модуль комплексного числа z =1 равен 1, аргумент равен 0.

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

+i sin

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 6 1 cos

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

+i sin

 

 

 

 

 

 

 

+i sin

 

 

 

 

 

 

+i

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 6 1 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= cos

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w2

 

 

 

 

 

 

 

 

4π

 

+i sin

 

4π

 

 

 

 

 

 

2π

+i sin

2π

 

 

 

1

 

+i

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 6 1 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

6

 

 

 

3

 

3

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

6π

 

+i sin

 

6π

= cosπ +i sinπ = −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 6 1 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w4

 

 

 

 

 

 

 

 

8π

 

+i sin

 

8π

 

 

 

 

 

 

4π

+i sin

4π

 

 

 

 

1

 

i

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 6 1 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

6

 

 

3

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10π

 

 

 

 

 

 

 

10π

 

 

 

 

 

 

 

 

5π

 

 

 

 

 

 

 

5π

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+i sin

 

 

 

 

 

 

 

 

+i sin

 

 

i

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 6 1 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= cos

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с. С. 85 – 94

Замечание1: Если комплексные числа, являющиеся корнями степени n из 1, отметить на комплексной плоскости, то они будут являться вершинами правильного n -угольника с центром в начале координат.

Замечание 2: Для любого комплексного числа суравнение xn = c имеет ровно n различных комплексных корней.

Комплексные корни алгебраических уравнений

Понятие комплексного числа позволяет решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом и даже с комплексными коэффициентами.

Пример 1: Решить уравнение x2 4x +13 = 0

x1,2 = 4 ± (42)2 4 13 = 4 ± 236 = 4 ±26i = 2 ±3i

Пример 2: Решить уравнение x2 (1+ 2i)x +i 1 = 0

 

 

1+ 2i ±

 

 

 

 

 

 

 

 

x

=

(1+ 2i)2

4 (i 1)

=

1

+ 2i ±1

. x = i; x

2

=1+i

 

 

 

 

 

 

1,2

 

2

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание: Если комплексное число z = a +ib является корнем уравнения с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное к нему число z = a ib также является корнем того же уравнения.

Значит, любой многочлен второй степени можно представить в виде произведения двух многочленов первой степени. Так, в примере 1:

x2 4x +13 = (x (2 3i)) (x (2 +3i)), а в примере 2: x2 (1+ 2i)x +i 1 = (x i) (x (i 1))

Всвязи с этим основную теорему алгебры, сформулированную в лекции 8 второго семестра можно переформулировать так: любой многочлен с комплексными коэффициентами может быть представлен в виде произведения многочленов первой степени с комплексными коэффициентами.

Вдальнейшем удобно будет считать, что многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней (среди которых могут быть и одинаковые).

Определение:

если уравнение имеет k одинаковых

корней x0 ,

то говорят, что корень

x0 имеет кратность k.

 

 

Пример: Найти все корни многочлена x5 6x4 +9x3

 

 

Решение: x5

6x4 +9x3 = x3 (x2 5x +6)= x x x (x 3) (x 3)

 

Выражение

x x x (x 3) (x 3) равно нулю тогда,

когда равен

нулю хотя бы один из

сомножителей,

т.е.

x = 0 или x = 0 или x = 0 или x 3 = 0 или x 3 = 0 . Значит, уравнение

имеет 5 корней:

x1

= x2 = x3 = 0 , x4 = x5 = 3.

 

 

Приведем без доказательства одну важную формулу (формулу Эйлера2), которая понадобится нам в дальнейшем.

eix = cos x +i sin x для любого действительного числа х.

2 Эйлер Леонард (1707-1783) математик, механик, физик и астроном. Автор более 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. С 1727 г. работал в России, академик Петербургской академии наук.

6