37. Абсолютные и относительные погрешности.

За абсолютную погрешность отдельного измерения принимают разность между значением среднего арифметического N измеряемой величины и значением , полученным при отдельном

23

измерении в общем случае. За абсолютную погрешность отдельного измерения принимают разность между значением среднего арифметического N измеряемой величины и значением , полученным при отдельном измерении:

1 1 , 2 2 и т. д.

В общем случае .

Абсолютные погрешности могут быть положительными и отрицательными, но их сумма всегда равна нулю:

Среднее значение N принято характеризовать двумя величинами: среднеарифметической погрешностью , или , и среднеквадратичной погрешностью m.

Средней абсолютной погрешностью результата N !среднеарифметической) называется среднеарифметическое абсолютных значений ошибок всех измерений независимо от их знака:

Часто используют среднюю относительную ошибку ε результата измерения. Это отношение средней абсолютной ошибки результата ∆N к его среднему значению N :

Относительные ошибки принято выражать в процентах:

Отношение абсолютных ошибок отдельных измерений к соответствующим значениям, полученным в результате измерения, называют относительными ошибками отдельных измерений: 1

38. Дисперсия. Стандартное отклонение.

39. Классификация радиоактивных образцов по толщине. Введение поправки на самопоглощение в зависимости от толщины образца.

Введение поправки на самопоглощение в зависимости от толщины образца. По толщине радиоактивные образцы делят на тонкослойные, средние (промежуточные) и толстослойные (бесконечно толстые).

Толстослойным образцом называется образец такой толщины, дальнейшее увеличение которой не приводит к увеличению вы­хода бета-частиц, поступающих из нижних слоев этого образца. Экспериментально установлено, что практически рост выхода бета-частиц прекращается при толщине слоя, равной утроен­ному значению слоя половинного ослабления вещества образца, т. е. d = 3 · d_1/2.

Слоем половинного ослабления d_1/2 называют слой вещества, ослабляющий бета-излучение вдвое.

Тонкослойные образцы должны иметь возможно меньшую толщину, которая ориентировочно лежит в пределах 0 < d < d_1/2. Образцами промежуточной толщины принято называть такие об­разцы, толщина которых лежит в пределах между тонко- и тол­стослойными образцами.

Если обратиться к рис. 44, то кривую самопоглощения можно разбить на три участка: ОА, АБ и БВ. Соответствующие этим участкам образцы называют тонкими, промежуточными и толстыми.

Участок ОА характерен для тонких образцов, т. е. 0 < d < d_1/2. Поправку на самопоглощение для тонких образцов вводят описанными выше экспериментальными методами. При работе с очень тонкими образцами, для которых толщина со­ставляет 0 < d < 0,2 · d_1/2, как правило, поправку вводить не нужно (S = 1), так как эффекты рассеяния и самопоглощения на таких толщинах сказываются очень слабо. Однако если требуется высокая точность (< 1 %), то пренебрегать самопоглощением можно лишь при толщине d = 0,01 · d_1/2.

Участок АБ кривой самопоглощения обычно более протяженный, чем показано на рис. 44. Эта часть кривой отвечает само­поглощению в промежуточных образцах, толщина которых на­ходится в широком интервале d_1/2< d < 3 · d_1/2 (можно встретить d_1/2 < d < R_max, так как 3 · d_1/2 ≈ R_max). Поправку на самопоглощение для промежуточных образцов можно также найти по графику вышеуказанными методами. Достоверность графического опре­деления коэффициента S и в этом случае ограничивается трудно­стями при проведении касательной к кривой самопоглощения.

Значение поправки на самопоглощение в интервале АБ мож­но получить и теоретически, если исходить из экспоненциаль­ного закона поглощения бета-частиц в веществе. Эта формула (вывод ее не приводится) имеет вид

, (3)

где µ – массовый коэффициент ослабления бета-излучения в веществе, см²/г;

d – толщина образца, г/см².

Если учесть, что µ = 0,693/d_1/2, то формулу (3) можно записать в виде

, (4)

где d_1/2 – слой половинного ослабления для бета-излучения данной энергии, г/см²;

d – толщина образца, г/см².

При (d/d_1/2) > 4 можно пренебречь вторым членом, стоящим в скобках, так как он в этом случае стремится к нулю. Тогда вы­ражение (4) для коэффициента поглощения S упрощается и имеет вид

. (5)

Величина d_1/2, входящая в формулу (4) или (5), должна опре­деляться экспериментально в процессе измерения скорости сче­та (активности) исследуемого образца. Необходимость измере­ния d_1/2 для каждого образца обусловлена тем, что слой половин­ного ослабления зависит от энергии бета-частиц, а следователь­но, и от «возраста» радиоактивного образца. Полагая, что эффек­тивный атомный номер алюминиевого фильтра (тонкой пласти­ны) примерно равен эффективному атомному номеру вещества, образца, величину d_1/2 можно определить по данным двух изме­рений, одно из которых произведено с фильтром, другое – без фильтра.

Скорость счета от образца с фильтром N_ф и скорость счета от образца без фильтра N связаны между собой соотношением

,

где µ_ф – массовый коэффициент ослабления фильтра, см²/г;

d_ф – толщина фильтра, г/см².

Учитывая связь µ_ф = 0,693/d_1/2.

,

откуда

или .

Произведя логарифмирование этого выражения, получим:

, откуда . (6)

Если использовать это соотношение, то формула (5) примет вид

. (7)

Однако формулы (3), (4) и (7) не учитывают рассеяние бета-излучения в образце и могут внести погрешность в определение активности до 10–20 % за счет неучета саморассеяния. Экспери­ментальные исследования показывают, что изменение потока бета-частиц за счет эффектов самопоглощения и саморассеяния в веществе образца в телесном угле, меньшем 2p, не подчиняется экспоненциальной зависимости. Это особенно проявляется для образцов толщиной d > 3 · d_1/2 и объясняется возрастающим влия­нием многократного рассеяния бета-частиц. Если для тонкослой­ных образцов бета-излучение можно считать изотропным (равномерно распределенным по всем углам вылета), то по мере увеличения толщины активного слоя изотропное распределение частиц нарушается в сторону роста числа бета-частиц, выле­тающих по направлениям, близким к нормали (перпендикуляру) на поверхность образца. Поэтому фактическая поправка на са­мопоглощение в образце зависит от телесного угла (геометрического фактора ω), в пределах которого бета-частицы попа­дают в чувствительный объем счетчика.

Для образцов толщиной d ≥ (2÷3) · d_1/2 анизотропия бета-излу­чения приводит к тому, что коэффициент S отличается от вели­чины, рассчитанной по формуле (4), и определяется выражением

, (8)

где ξ = 1 + 0,8·cos(α/2). (9)

Здесь ξ ≥ 1 – коэффициент саморассеяния (поправка на само­рассеяние), т. е. дополнительный множитель, учитывающий влияние неизотропного распределения бета-частиц на скорость счета; α/2 – половинная апертура торцового счетчика (рис. 47). Формула (9) справедлива (с ошибкой 10 %) при условии d ≥ 3 · d_1/2 и для образцов, радиус которых не превышает половины радиуса окна торцового счетчика. Учитывая, что геометрический фактор К для торцового счетчика связан с углом α/2 формулой ω = 0,5 · (l – cos(α/2)), получим ω = 0,5 – 0,5 · cos(α/2), откуда cos(α/2) = 1 – 2 · ω. Тогда, подставляя в формулу (9), получим:

ξ = 1 + 0,8 · (1 – 2 · ω) = 1,8 – 1,6 · ω, (10)

причем 0 ≤ ω ≤ 0,05. Из формулы (10) следует, что чем меньше геометрический фактор ω, тем больше коэффициент саморассея­ния ξ, т. е. относительно больше частиц попадает в счетчик по сравнению с тонким образцом, для которого ξ = 1.

Для предельного случая, когда образец помещают вплотную к окну счетчика (телесный угол Ω = 2 · p и ω = 0,5), получим ξ = 1 и, следовательно, учитывается только коэффициент самопоглоще­ния S. Это и понятно: в условиях «2p-геометрии» независимо от углового распределения бета-частиц, выходящих из поверхности образца в верхнюю полусферу, все они попадут в эффективный телесный угол счетчика. Если же образец толщиной d ≥ (2÷3) · d_1/2 находится на большом расстоянии h от окна счетчика, то гео­метрический фактор очень мал (ω → 0) и, следовательно, ξ = 1,8, т. е. коэффициент самопоглощения (S ·  ξ = 1,8 · S) будет почти вдвое превышать величину, рассчитанную по формуле (4).

40. Подготовка тонко- и толстослойных образцов.