Строятся развертки описанных цилиндров способом нормального сечения. Нормальное сечение каждой части (сечение, перпендикулярное образующим цилиндров) есть окружность 1 заданного диаметра d, которая разворачивается в прямую линию. На рис. 248 “развертка” нормального се­чения изображается отрезком 1, 2, 3, ..., 8, 1 горизонтальной прямой. Пер­пендикулярно к этой линии через точки 1, 2, 3 и т.д. проводятся образую­щие цилиндров, размеры которых берут с фронтальной проекции. Для тор­цевых звеньев образующие I A5 I = I A₂5₂1 ... I B3 I = I B₂3₂1 ... Полученные точки A, B и C соединяют плавной кривой линией. Развертка звена симмет­рична относительно образующей A5. На практике обычно строится шаблон половины развертки торцевого звена (на рис. 248 заштрихованная часть). Повернув его вокруг образующей A5, очерчивается вторая половина раз­вертки. На развертке среднего звена укладывается 4 таких шаблона.

Весь тор можно раскроить из листа железа без обрезков. Для этого развертки звеньев надо разместить на листе так, как показано на рис. 248. Из чертежа видно, что звенья разрезаются попеременно, то по образующей C1, то по образующей A5. Таким образом, при сборке тора швы на звеньях получаются прерывистыми.

В практике при раскрое даются припуски на швы в соответствии с типом соединения.

2 3 4 5 6 7 8 1

8. Аксонометрические проекции

Аксонометрической проекцией точки называется точка пересечения проецирующего луча, проведенного через заданную точку в пространстве, параллельно направлению проецирования, с аксонометрической плоско­стью проекций.

Таким образом, чтобы получить аксонометрическую проекцию точки А через нее проводят проецирующий луч параллельно направлению про­ецирования 5 до пересечения с плоскостью проекций П' в точке А'.

Это построение показывает, что при заданном направлении проеци­рования каждой точке А пространства на плоскости проекций соответству­ет определенная точка А'. Но обратное утверждать нельзя. Проекции А' на плоскости П' соответствует любая точка проецирующего луча А'А.

Для устранения этой неопределенности и обеспечения взаимной од­нозначности между точками пространства и точками аксонометрической (картинной) плоскости проекций, на плоскость П' проецируют не только точку А, но и одну из ее ортогональных проекций (обычно горизонтальную проекцию А1). А'1 есть вторичная проекция точки А.

Вторичной проекцией точки называется аксонометрическая проек­ция одной из ее ортогональных проекций.

Этот термин отражает тот факт, что точка А'₁ получается в результа­те двух последовательных проецирований точки А (первое - точка А про­ецируется на П₁, второе - А₁ проецируется на П'). Аксонометрическая про­екция точки и ее вторичная проекция однозначно определяют положение точки в пространстве. Они находятся на одной прямой, параллельной со­ответствующей оси.

Коэффициенты искажения

В общем случае длина отрезков осей координат в пространстве не равна длине их проекций. Искажение отрезков осей координат при их про­ецировании на плоскость П' характеризуется коэффициентами искажения.

Для определения коэффициентов искажения по аксонометрическим осям на осях x, y, z откладываются отрезки длиной е, принимаемые за еди­ницу измерения по этим осям (см. рис. 249). Величины е'_х, е'_у, e'_z являются аксонометрическими проекциями этих отрезков.

Коэффициентом искажения называется отношение длины аксоно­метрической проекции отрезка, лежащего на координатной оси или парал­лельного ей, к истинной длине самого отрезка.

'а '

e A e

K_x⁼ —^х, K_y⁼ — , K_z⁼ —^z - коэффициенты искажения по осям x, у и

e e e

z, соответственно.

В инженерной практике при построении аксонометрических проек­ций пользуются не действительными коэффициентами искажения, а при­веденными, удобными для построения. Обычно приведенные коэффициен­ты искажения берут равными единице, что значительно упрощает по­строение. Изображение при этом несколько увеличивается, однако это не влияет на его наглядность.

При помощи коэффициентов искажения можно перейти от прямо­угольных координат к аксонометрическим и наоборот.

2. КЛАССИФИКАЦИЯ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

Аксонометрические проекции классифицируют в основном по двум признакам:

1. По направлению проецирования.

В зависимости от направления проецирования все аксонометриче­ские проекции делятся на две группы:

• прямоугольные, если направление проецирования перпендикулярно аксонометрической плоскости проекций (5 А П');

• косоугольные, если направление проецирования не перпендикуляр­но аксонометрической плоскости проекций (5 А П').

2. По коэффициентам искажения.

В зависимости от коэффициентов искажения все аксонометрические проекции делятся на три группы:

• изометрия - коэффициенты искажения по всем трем осям равны между собой

(К_ы= Ky = K);

• диметрия - коэффициенты искажения по двум осям равны между собой, а третий им не равен

(Kx= Kz* Ky);

• триметрия - коэффициенты искажения по всем трем осям не равны между собой

(Kx* Ky * Kz).

Между коэффициентами искажения и углом ф, образованным на­правлением проецирования с плоскостью П', существует следующая зави­симость:

K_x² + Ky² + Kz² = 2 + ctgg'j.

Сумма квадратов коэффициентов искажения по аксонометрическим осям равна двум плюс квадрату котангенса угла проецирования. Котангенс прямого угла равен нулю, следовательно, для прямоугольных аксономет­рических проекций справедливо следующее уравнение:

Kx² + Ky² +Kz² = 2.

З.ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АКСОНОМЕТРИИ

огласно основной теоре е аксоно етрии аксоно ерические оси и коэффициенты искажения по ним могут выбираться произвольно. Задавая разные направления для любой натуральной системы координат, можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга, как направлением аксонометрических осей, так и величиной коэф­фициентов искажения вдоль этих осей.

В практике построения наглядных аксонометрических изображений обычно применяют некоторые определенные комбинации направлений ак­сонометрических осей и коэффициентов искажения, которые дают реаль­ное восприятие предмета и удобны для построения.

4. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

Согласно =ОСТ 2.317-69 рекомендуется применять пять стандарт­ных аксонометрических проекций. Из прямоугольных аксонометрических проекций применяют изометрию и диметрию, из косоугольных - фрон­тальную изометрию, горизонтальную изометрию и фронтальную димет­рию.

Прямоугольные проекции

Название отражает способ получения аксонометрических проекций. Прямоугольная проекция получена прямоугольным проецированием, а слова «изометрия» или «диметрия» говорят о расположении пространст­венных координатных осей относительно картинной плоскости.

Изометрическая проекция. В изометрии соблюдается равенство ко­эффициентов искажения K_x = K_y = K_z. Для того чтобы получить искажения, равные между собой, необходимо оси координат в пространстве располо­жить относительно картинной плоскости так, чтобы углы наклона их к плоскости были одинаковые, тогда проекции их изобразятся на П под уг­лом 120° друг к другу ( рис. 251).

2 2 2

В прямоугольной аксонометрии K_x + K_y + K_z = 2, K_x = K_y =K_z, от­куда 3Kx² = 2 и Kx = K= Л » 0,82.

Это действительные коэффициенты искажения по всем осям. =ОСТ рекомендует изометрическую проекцию строить без сокращения по осям координат (приведенные коэффициенты искажения по всем осям равны

единице), что соответствует увеличению изображения в —— = 1,22 раза.

0,82

Диметрическая проекция. Эта проекция получается прямоугольным проецированием осей на одну плоскость проекций П'. При этом оси x и z располагаются относительно картинной плоскости так, чтобы углы накло-

на их были одинаковые, а ось у так, чтобы коэффициент искажения по ней был вдвое меньше.

Kx = Kz ; Ky = 1 Kx.

2

2 2 2

Подставляя эти значения в формулу K_x +K_y + K_z = 2, будем иметь:

Фронтальная изометрическая проекция. Координатные оси x и z располагаются параллельно картинной плоскости. Таким образом, фрон­тальная плоскость проекций П₂ будет параллельна картинной плоскости П', поэтому такая аксонометрическая проекция называется фронтальной. Все, что расположено в плоскости П₂ или в плоскостях ей параллельной, на плоскости П' изобразится без искажения. Коэффициенты искажения по всем осям будут равны единице. Аксонометрические оси (рис. 253) X и z располагаются перпендикулярно друг другу, а ось у - под углом 45° к го­ризонтальной прямой. Допускается применять фронтальные изометриче­ские проекции с углом наклона оси у, равным 30 и 60°. Ось у может быть обращена влево вниз, влево вверх и т.д., что соответствует различному на­правлению проецирования и расположению плоскости проекций относи­тельно осей координат.

Косоугольная фронтальная изометрическая проекция применяется в сан­технических чертежах при изображении аксонометрических схем трубопроводов.

Фронтальная диметрическая проекция. Координатные оси x и z, а следовательно, и плоскость П₂ располагаются параллельно картинной плоскости П'. Коэффициенты искажения по осям X и z равны единице, а по оси у коэффициент принимается равным 0,5.

Аксонометрические оси X и z располагаются под прямым углом, а

ось у - под углом 45° к горизонтальной прямой (рис. 255). Допускается применять фронталь- ные диметрические проекции с углом наклона оси у равным 30 и 60°.

Этот вид аксонометрии применяется в машиностроительных чертежах при изображе- нии деталей, имеющих большое количество ок- ружностей, расположенных фронтально (дета- ли типа валика).

Четыре точки касания сторон квадрата с окружностью 1, 2, 3, 4 в ак­сонометрии будут находиться на середине каждой стороны параллело­грамма. Еще четыре точки 5, 6, 7, 8 находятся на пересечении диагоналей параллелограмма со вспомогательными прямыми. Они проведенны парал­лельно соответствующим аксонометрическим осям на расстояниях, равных отрезку z. Соединив полученные восемь точек плавной кривой, получают эллипс.

В прямоугольных изометрии и диметрии большие оси эллипсов пер­пендикулярны отсутствующим в плоскости эллипса осям, а малые оси по направлению совпадают с ними.

Например, эллипс, построенный в плоскости X о' у, имеет большую ось, перпендикулярную оси z, а малую - совпадающую с направлением оси z .

Косоугольные аксонометрические проекции окружности строятся аналогично.

При построении диметрической проекции окружности надо учиты­вать коэффициент искажения по оси у, который равен 0,5.

6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОСТРОЕНИЯ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

строят аксонометрические оси с таким расчетом, чтобы была обеспечена наилучшая наглядность изображения и видимость отдельных элементов предмета;

по одной из ортогональных проекций предмета чертят вторич­ную проекцию. Вычерчивать рекомендуется ту вторичную проекцию предмета, которая проще других. Таким образом, используют два измере­ния предмета;

создают аксонометрическое изображение, откладывая третье измерение предмета, от соответствующих вторичных проекций.

На рис. 258 показано построение точки Л в прямоугольной изомет­рии по заданным ортогональным проекциям. Построение выполнено в сле­дующей последовательности:

1. относят точку Л к координатным осям x, у, z,

2. проводят аксонометрические оси x, y, z' под углом 120° друг к другу;

3. строят вторичную проекцию точки Л по ее горизонтальной проек­ции. Для этого измеряют координаты x и у на координатных осях и откла­дывают их на аксонометрических осях x и y . Через полученные точки проводят прямые, параллельные соответствующим аксонометрическим осям x и у. На пересечении этих линий находится точка Л' i - вторичная проекция точки Л,

4. строят аксонометрическую проекцию точки А. Для этого через вторичную проекцию А\ проводят прямую, параллельную аксонометриче­ской оси z и на этой прямой откладывают отрезок, равный координате z. Получается точка А' - аксонометрическая проекция точки А.

Аксонометрическая и вторичная проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве.

Построение конуса в прямоугольной изометрии показано на рис. 259. Построение начато со вторичной проекции окружности, которая в аксоно­метрии проецируется в эллипс. Построение эллипса выполняют по 8 точ­кам. От центра эллипса откладывают высоту конуса и получают точку S' - вершину конуса. Из точки S' касательно к эллипсу проводят образующие и получают аксонометрическую проекцию прямого кругового конуса.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Начертательная геометрия: Учеб. для втузов / Н.Н. Крылов, Г.С. Иконникова, В.Л. Николаев, В.Е. Васильев. - М.: Высшая школа, 2000. - 224 с.

Чекмарев А. А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб. для втузов. - М.: Владос, 1999. - 244 с.

Иванов Г.С. Начертательная геометрия: Учеб. для втузов. - М.: Машиностроение, 1999. - 223 с.

Локтев О.В. Краткий курс начертательной геометрии: Учеб. посо­бие для втузов. - М.: Высшая школа, 1999. - 136 с.

Начертательная геометрия: Конспект лекций / Е.П. Александрова, Т.В. Грошева, Е.С. Дударь, С.В. Томилова; Под ред. Лалетина В. А.; Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 1995 - 252 с.

Лалетин В.А., Александрова Е.П., Грошева Т.В., Дударь Е.С., Корнилкова Е.В.