применив последовательно несколько раз посредники и выявив ряд общих точек, соединяют их линией (последняя на рис. 225 не показана).

Далее определяют точки изменения видимости, которые отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой. Эти точки всегда нахо­дятся на очерке той поверхности, которая расположена ближе к наблюда­телю. Строят точки на очерке другой поверхности. В точках, расположен­ных на очерках, проекция линии пересечения касается очерковых линий пересекающихся поверхностей.

Для более точного построения линии пересечения данных поверхно­стей определяют промежуточные точки.

Следует иметь в виду, что проекции линии пересечения всегда рас­полагаются в пределах заштрихованного контура наложения проекций двух пересекающихся поверхностей (рис. 226).

В случае, если одна из поверхностей является проецирующей, то строят проекцию линии пересечения только на одной плоскости проекций, к которой поверхность не перпендикулярна. На другой же плоскости про­екция искомой линии совпадает с вырожденной проекцией поверхности.

Способ плоскостей

Способ вспомогательных секущих плоскостей частного положения (способ плоскостей общего положения в данном разделе не рассматривает­ся) следует применять тогда, когда обе поверхности возможно пересечь по графически простым линиям некоторой совокупностью плоскостей уров­ня. Такие плоскости используют для нахождения промежуточных точек (рис. 227), после того как найдены экстремальные точки.

Экстремальные точки располагаются в общей для двух поверхностей плоскости симметрии, которая проходит через оси этих поверхностей. Общая плоскость симметрии задана горизонтальным следом Ф1 на рис. 228 а и Е₁ на рис. 228 б, в, г.

Если общая плоскость симметрии является плоскостью уровня (см. рис. 228 а), то фронтальные проекции высшей - 1 и низшей - 2 точек будут находиться на пересечении фронтальных очерков поверхности. Если общая плоскость симметрии не является плоскостью уровня, то возможны два варианта построения этих точек - без применения (см. рис. 228 б) и с применением (см. рис. 228 в, г) преобразования чертежа.

Так, на рис. 228 в сначала строят очерки поверхностей на дополни­тельную плоскость проекций П₄, параллельную общей плоскости симмет­рии Е. Определяют точки 1₄ и 2₄, затем возвращаются к исходной системе плоскостей проекции, не забывая при этом о соблюдении признака при­надлежности точки поверхности.

Для нахождения экстремальных точек можно воспользоваться также способом вращения вокруг проецирующей прямой. За ось вращения при­нимают ось одной из поверхностей. Вокруг нее поворачивают другую по­верхность так, чтобы общая плоскость симметрии Е преобразовалась в плоскость уровня Е' (см. рис. 228 г). На этом рисунке отображено переме­щение конической поверхности Т в новое положение Т'. Достаточно по­строить только фронтальный очерк конуса с вершиной в точке S'. При вращении тора вокруг его оси положение фронтального очерка тора не из­менится. На пересечении нового и старого фронтальных очерков данных поверхностей находят проекции 1' и 2', при этом точка 1 будет высшей точкой. Выполняя обратное вращение, получают действительные проек­ции 1₁,1₂ и 2₁,2₂ рассматриваемых точек.

Как уже отмечалось, для определения точек изменения видимости плоскость проводят через очерк той поверхности, которая определяет ви­димость на соответствующей плоскости проекций. Так, на рис. 229 а, для нахождения точек изменения видимости на П₁ применяют плоскость Г, проходящую через экватор сферы, определяющей видимость на П₁. Для определения точек изменения видимости на П₂ (рис. 229 б) рассматривают плоскости Ф и Ф', проходящие соответственно через главные меридианы сферы и конуса. Плоскость Ф расположена ближе к наблюдателю, следо­вательно, точки изменения видимости принадлежат главному меридиану сферы, являющемуся очерком поверхности на П₂. При этом другая по­верхность не всегда пересекается вспомогательной плоскостью по про­стейшей линии, например на рис. 229 линия к - гипербола, проекции кото­рой строят по точкам. С помощью плоскости Ф' можно определить точки на фронтальном очерке конуса, но они не будут изменять видимость линии на фронтальной плоскости проекций.

Способ сфер

если оси не пересекаются, применяют эксцентрические сферы, цен­тры которых перемещаются по оси одной из поверхностей.

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

Построение линии пересечения двух поверхностей вращения с помощью концентрических сфер

Метод вспомогательных концентрических сфер можно применить при наличии следующих условий:

1. пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вра­щения, так как сфера рассекает соосную с ней поверхность вращения по параллелям (окружностям);

оси поверхностей вращения должны пересекаться, так как через точку пересечения осей можно провести сферу, соосную обеим данным поверхностям вращения;