Предметом начертательной геометрии является изложение и обосно­вание способов построения изображения пространственных форм на плос­кости и способов решения геометрических задач по заданным изображени­ям этих форм.

Основными требованиями, предъявляемыми к методам изображения на плоскость, являются наглядность, точность изображения и его обрати­мость, геометрическая равноценность оригиналу. Изображения, построен­ные по правилам начертательной геометрии, дают возможность решать с помощью плоских изображений общегеометрические и прикладные зада­чи.

Наряду с задачей изображения пространственных форм в плоскости чертежа начертательная геометрия дает возможность решать с помощью плоских изображений различные задачи в пространстве. Все задачи начер­тательной геометрии условно делятся на три основных класса: позицион­ные, метрические и комплексные.

Позиционными называются задачи на определение общих элементов геометрических фигур. Вопросы принадлежности точки или линии како­му-либо геометрическому образу, задачи на пересечение и параллельность геометрических фигур относятся к классу позиционных. В позиционных задачах выясняются вопросы, связанные с взаимным расположением гео­метрических образов, а вопросы измерений не затрагиваются.

Метрическими называются задачи, в которых требуется определить геометрические величины: расстояния, углы, площади, объемы и т.д. К этому классу относятся задачи на определение длины отрезка прямой и углов его наклона к плоскостям проекции, расстояния между различными геометрическими образами и др.

Комплексные задачи включают в себя как вопросы взаимного распо­ложения геометрических образов, так и вопросы их измерения.

Начертательная геометрия по своему содержанию и методам занима­ет особое положение среди других наук. Обогащая точные науки нагляд­ностью и простотой решения многих проблем, начертательная геометрия находит применение в механике, кристаллографии, оптике, то есть всюду, где возникает необходимость в пространственных построениях. Все зада­чи, изучаемые в аналитической геометрии, могут быть решены графиче­скими методами начертательной геометрии.

Как и другие точные науки, начертательная геометрия развивает ло­гическое и абстрактное мышление, пространственное воображение.

5

П', По - плоскость проекции и поле проекций (прописная буква гре­ческого алфавита [пи]);

П1 - горизонтальная плоскость проекций;

П₂ - фронтальная плоскость проекций;

П₃ - профильная плоскость проекций;

П₄, П₅, П₆ - новые плоскости проекций, отличные от указанных выше;

x, y, z - оси проекций (строчные буквы латинского алфавита);

A, B, C, ... , 1, 2, 3, ... - точки пространства (прописные буквы латин­ского алфавита и арабские цифры) ;

a, b m, n, ...- прямые и кривые линии пространства (строчные

буквы латинского алфавита, кроме x, y, z, h, f p);

h - горизонталь;

f- фронталь;

p - профильная прямая уровня;

0 [тэта], А [дельта], Л [ламбда], Р [ро], Т [тау],Е [сигма], Q [омега] - плоскости и поверхности (прописные буквы греческого алфавита, кроме П, Г, Ф, ^);

Г [гамма] - горизонтальная плоскость уровня;

Ф [фи] - фронтальная плоскость уровня;

¥ [пси] - профильная плоскость уровня;

а - угол наклона прямой (плоскости) к горизонтальной плоскости проекций П₁;

Р - угол наклона прямой (плоскости) к фронтальной плоскости про­екций П₂;

у - угол наклона прямой (плоскости) к профильной плоскости про­екций П₃.

6

7

ри ер использования си волов:

А е S — точка A принадлежит плоскости S;

l □ A — прямая l проходит через точку A;

A₁ ° B₁ — горизонтальные проекции точек A и B совпадают;

S (а □ b) — плоскость задана параллельными прямыми а и b;

Q @ 0 = A — плоскости Q и 0 пересекаются по прямой а;

а А b — прямая а перпендикулярна прямой b;

A₁ : A₂ — данной проекции A₁ соответствует проекция A₂ или по

данной проекции A₁ строится проекция A₂ при определенном условии;

IabI — расстояние между точками A и B;

I AS I — расстояние от точки A до плоскости S;

I а b I — расстояние между прямыми A и B.

Сокращения:

н.ч. — начертательная геометрия; г.о. — геометрические образы; пл. пр. — плоскость проекций; г.м.т. — геометрическое место точек; н.в. — натуральная величина; т. — точка.

8

1. Евклидово пространство и его реконструкция

В основе начертательной геометрии лежит метод проекций (проеци­рования). Слово «проекция» (projecere) - латинского происхождения. Оно означает «бросить вперед, вдаль». Таким образом, под проекцией предмета на плоскость подразумевают его изображение, «отброшенное» на эту плоскость с помощью воображаемых проецирующих лучей, подобно тому, как предмет, освещенный солнцем, отбрасывает тень на землю (рис. 1).

Рис. 1

При проецировании решается прямая задача начертательной геомет­рии, т.е. трехмерные объекты (предметы, оригиналы) изображаются на плоскости, строится чертеж.

Геометрическое пространство, в котором рассматриваются трехмер­ные объекты и их элементарные составляющие - геометрические образы (г.о.) (точка, прямая, плоскость, поверхность), до некоторого времени име­новалось Евклидовым пространством. Для него справедливы описанные геометром древности Евклидом пять аксиом: сочетания, порядка, движе­ния, непрерывности, параллельности.

Однако принятие аксиомы Евклида о параллельности приводит к трудностям, связанным с неоднородностью евклидова пространства и по­груженных в него г.о., когда речь заходит о проецировании.

Действительно, пусть даны две прямые а и b, принадлежащие плос­кости (рис. 2).

В плоскости S через произвольную точку S проводится прямая 1, ко­торая пересекает прямую а в точке А и прямую b в точке В. Точка А на прямой а однозначно соответствует точке В на прямой b. Аналогично рас­суждают о взаимном соответствии точек А' ... А^п прямой а, точкам В' ... В^п прямой b.

9

Рис. 2

Добиться однородности трехмерного евклидова пространства можно путем добавления к нему несобственных (бесконечно удаленных) прямых.

Евклидовы плоскость и пространство, дополненные бесконечно уда­ленными точками, прямыми и плоскостями, называются проективными.

Для проективной плоскости справедливы утверждения:

• через любые две различные точки проходит прямая, и только одна;

• любые две прямые имеют общую точку, и только одну.

В проективном пространстве:

• любые две прямые, лежащие в одной плоскости, всегда пересека­ются;

• любые две плоскости пересекаются по прямой;

• всякая прямая, не лежащая в плоскости, всегда пересекает плос­кость.

Создав пространство, в котором без всяких исключений может осу­ществляться операция проецирования, рассмотрим способы получения центральных и параллельных проекций.

10

Центральное проецирование представляет собой один из общих слу­чаев проецирования г.о. на плоскость. Аппарат центрального проецирова­ния определяют плоскость проекций П' и вне ее точка S - центр проекций. Проецирование называется центральным, если все проецирующие лучи проходят через одну и ту же точку - центр проецирования.

Чтобы спроецировать любую точку пространства на плоскость про­екций П', через центр проекций и точку проводится проецирующий луч SA до пересечения с плоскостью проекций в точке А' (рис. 3). Так как через две точки можно провести только одну прямую, которая с плоскостью проекций П' пересекается в единственной точке, то можно заключить, что любая точка пространства имеет одну вполне определенную проекцию.

Таким образом, центральной проекцией какой-либо точки простран­ства называется точка пересечения проецирующего луча, проходящего че­рез центр проекций и данную точку, с плоскостью проекций.

5

Рис. 3 Рис. 4

Центральное проецирование называют также коническим, так как проецирующие лучи, проходящие через точки кривой линии к (рис. 4), представляют собой коническую поверхность с вершиной в центре S.

3. Параллельное проецирование

Параллельное проецирование является частным случаем центрально­го проецирования, когда центр проекций находится в бесконечно удален­ной точке S⁴. Аппарат параллельного проецирования определяют плос­кость проекций П' и вектор 5, который называют направлением проециро­вания (рис. 5). Проецирование называется параллельным, если все проеци­рующие лучи параллельны между собой.

Чтобы спроецировать точку А пространства на плоскость П', через точку А проводится проецирующая прямая 1, параллельная направлению проецирования 5 , до пересечения с плоскостью проекций в точке А'

11

зависи ости от угла наклона проециру его луча к плоскости проекций параллельные проекции делятся на косоугольные, если угол от­личен от прямого (рис. 7), и прямоугольные, если проецирующий луч пер­пендикулярен плоскости проекции (рис. 8).

Прямоугольные проекции называют также ортогональными (от гре­ческого слова «ортос» - прямой).

В

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

12

Геометрические образы проецируются на плоскость проекций в об­щем случае с искажением. При этом характер искажения проекции по сравнению с оригиналом зависит от аппарата проецирования и положения проецируемого предмета относительно плоскости проекций. В частности, при параллельном проецировании нарушаются метрические характеристи­ки.

Наряду с этим, между оригиналом и его проекцией существует опре­деленная связь, заключающаяся в том, что некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции.

Такие свойства принято называть проективными или инвариантными (независимыми) для данного способа проецирования.

Общие свойства центрального и параллельного проецирования

Свойство 1. Проекция точки есть точка.

Это свойство следует из самого способа построения проекции точки.

Свойство 2. Проекция кривой линии есть кривая линия.

Действительно, проецирующие коническая (см. рис. 4) или цилинд­рическая (см. рис. 6) поверхности, проходящие через данную кривую, пе­ресекаются с плоскостью проекций по кривой линии.

Свойство 3. Проекция прямой есть прямая (рис. 9).

Проецирующие лучи образуют проецирующие плоскости S (SA @ SB) и 0 (::' // <<'). Две плоскости пересекаются по прямой линии: S @ П' = :'<'и 0 @ П' = :'<'. Следовательно, :'<'- прямая.

Для построения проекции прямой достаточно построить проекции двух ее точек и соединить их.

13

Свойство 5. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой (рис. 13).

Проецирующий луч 1, проходящий через точку K, лежит в проеци­рующей плоскости и пересекает плоскость П' в точке К, находящейся на линии пересечения двух плоскостей АВВ'А' и П'.

Из свойства 5 вытекают два следующих (6, 7):

14

Свойства параллельного (в том числе ортогонального) проецирования

Свойство 8. Проекции параллельных прямых параллельны (рис. 16). Плоскости S и 0 параллельны. Линии пересечения их третьей плос­костью П' также параллельны, т.е. а' || b'.

Свойство 9. Отношение отрезков, принадлежащих параллельным прямым или одной прямой, равно отношению проекций этих отрезков. Доказательство для двух параллельных прямых (см. рис. 16) Проводятся [AE] || [Л'В] и [CF] || [СП]. Из подобия □АВЕ и □CDF следует:

М = И, а так как |АЕ| = | Л'В\ и |CF| = | СП\, то,

[AE ] [CF ] [А В] [CD]

что и требовалось доказать.

15

Свойства ортогонального проецирования

Свойство 12. Отрезок прямой в общем случае равен гипотенузе пря­моугольного треугольника, у которого один катет равен его проекции на данную плоскость проекций, а другой - разности расстояний концов от­резка от этой плоскости (рис. 20).

Из чертежа модели (см. рис. 20) видно, что длину отрезка прямой АВ можно определить из прямоугольного треугольника АВА₀, в котором катет |А₀В| = |A'B'| (проекции отрезков АВ на плоскость П'), а катет АА₀ равен DZ - разности расстояний точек А и В от плоскости П'. Угол ф в том же тре­угольнике определяет угол наклона отрезка прямой АВ к плоскости проек­ций.

16

Рис. 20 Рис. 21

Свойство 14. Проекция любого г.о. не может быть больше самой фигуры. Это свойство вытекает из свойств 10, 12, 13.

Свойство 15 (известно как теорема о проецировании прямого угла).

Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения (рис. 22).

Дано: Z ABC = 90°, BC || П', AB □ I'. Доказать, что Z A'B'C' = 90°.

Доказательство: прямая AB заключается в проецирующую плос­кость S (ABB'A'). Так как BC 1AB, то BC 1 S. Но BC || П', значит BC || B'C'. А так как BC 1 S, то и B'C'1 S, поэтому B'C' перпендикулярна любой пря­мой плоскости S, в том числе и A'B'. Следовательно, угол A'B'C' равен 90°.

17

Выше приводились рисунки - модели однопроекционных чертежей,

По одной проекции окружности нельзя определить, какой г.о. спрое­цирован на П₁. Это может быть сфера, конус, цилиндр и некоторые другие поверхности (см. рис. 23). Одна проекция не определяет форму и положе­ние г.о. в пространстве. Необходима дополнительная информация, чтобы чертеж был обратимым, т.е. однозначно определял форму и размер пред­мета по чертежу.

В зависимости от способа дополнения однопроекционного чертежа существуют следующие методы:

• ортогональные проекции (метод Монжа);

• проекции с числовыми отметками;

• аксонометрические проекции;

• перспективные проекции.

В методе Монжа дополнением однопроекционного чертежа является проекция на вторую плоскость (рис. 24, 25). Более подробно этот метод из­ложен в разделе II.

где проецирование в полнялось на одну плоскость проекций. Был сде- лан важный вывод о том, что точка А пространства имеет одну вполне оп- ределенную проекцию А₁ (рис. 23) - прямая задача н.г.

Рис. 23

Обратная задача - определение положения точки по заданной проек- ции - однозначно не решается, так как не известно, на каком расстоянии находится искомая точка от плоско- сти проекций. Проекции В₁ может соответствовать любая точка В, В', ..., В^п пространства (см. рис. 23).

X

18

Рис. 24

Рис. 25

Рис. 28

19

1. Метод монжа. Октанты пространства

Из всех методов проецирования ортогональное нашло наиболее ши­рокое применение в инженерной практике в силу ряда своих преимуществ. Наиболее важным из них является возможность при определенных услови­ях сохранить на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. При этом при получении ортогонального чертежа, обладающего полной обра­тимостью, необходимо иметь, как было отмечено ранее, по крайней мере, две связанные между собой ортогональные проекции оригинала.

Наиболее удобной для фиксирования положения геометрического образа в пространстве и выявления его формы по ортогональным проекци­ям является система из трех взаимно перпендикулярных плоскостей про­екций. Такой плоскостной макет представлен на рис. 29. При этом разли­чают: П₁ - горизонтальная плоскость проекций; П₂ - фронтальная плос­кость проекций; П₃ - профильная плоскость проекций.

Плоскости проекций пересекаются по трем взаимно перпендикуляр­ным прямым, которые называются осями проекций (x, у, z). Оси проекций пересекаются в общей точке трех плоскостей проекций - точке 0.

В большинстве европейских стран принята система расположения плоскостей проекций, при которой положительными направлениями осей считают: для оси x - влево от точки 0, для оси у - в сторону зрителя (впе­ред) от плоскости П₂, для z - вверх от плоскости П₁; противоположные направления осей считают отрицательными.

20

z;~y

z

П₂[П,(П₃)] П₃[П₂(П,)]

о

X

О

Уз

х; -У

njnjnj]

Рис. 30

Рис. 31

21

Точка - одна из основных базовых понятий геометрии. Для отобра­жения этого простейшего геометрического образа на плоскости целесооб­разно понимать под точкой физический объект, имеющий линейные раз­меры. При этом условно за точку принимают шарик с бесконечно малым радиусом. При такой трактовке понятия точки можно говорить о ее проек­циях.

Для построения эпюра точки следует руководствоваться первым ин­вариантным свойством ортогонального проецирования: «Проекция точки есть точка». Пусть даны в пространстве точка А и три взаимно перпенди­кулярные плоскости проекций (рис. 32). В данном случае и в дальнейшем для получения эпюра будем пользоваться первым октантом системы плос­костей. Спроецируем ортогонально точку А на три плоскости проекций. Для этого в соответствии с правилом проецирования через точку А прово­дим последовательно прямые линии, перпендикулярные к П_ь П₂, П₃ - про­ецирующие лучи. В точках пересечения этих лучей с плоскостями проек­ций получаем ортогональные проекции точки А. Назовем их: А\ - гори­зонтальная проекция, А₂ - фронтальная проекция, А₃ - профильная проек­ция. Каждая пара из трех проецирующих лучей (АА\, АА₂, АА₃) определяет плоскость, перпендикулярную к двум плоскостям и к оси проекций. Эти плоскости (Е, Е', Е"), называемые проецирующими, пересекаются с плоскостями проекций по двум взаимно перпендикулярным прямым, имеющим общие точки на осях проекций (соответственно А_х, А_у, Ах).

Для получения эпюра точки А преобразуем пространственный макет, изображенный на рис. 32, по схеме, предложенной выше.

На эпюре (рис. 33) проекции точки будут располагаться на прямых, перпендикулярных к осям проекций и проходящих через точки А_х, А_у, А_х.

Z

Z

X

Рис. 32

Рис. 33

22

б)

Рис. 35

IА2

Безосный чертеж

Большинство задач начертательной геометрии решают, не устанав- ливая метрической связи с плоскостями проекций. Вследствие этого по-

строения на чертеже можно выполнять в безосной системе плоскостей проекций, т.е. без указания положения осей (рис. 36). Имея такой чертеж, можно, при необходимости, всегда ввести оси и тем самым задать расстояние от точки до условно выбранных плоскостей П1 и П₂. Иными словами, для безосного чертежа (эпюра) плоскости проекций прини- маются неопределенными, т.е. могут перемещаться парал-

лельно самим себе.

Механизм такого пе- ремещения иллюстри- рует рис. 37.

Перенесение оси

на чертеже вверх или вниз соответст- вует параллельному переносу в про- странстве двугранного угла ЩП₂ в но- вое положение (П'1П'₂) в направлении биссекторной плоскости 0. Биссек- торной называют плоскость, прохо- дящую через ось проекций и делящую двугранный угол пополам.

0/4;

Рис. 36

24

Рис. 38 Рис. 39

Конкурирующие точки

Геометрические образы могут быть взаимно расположены таким об­разом, что некоторые из них (или отдельные их части) будут закрыты от наблюдателя.

Построение границы видимости образов на чертеже выполняются на основании выявления и анализа конкурирующих точек.

Конкурирующими называют точки, лежащие на одном проецирую­щем луче.

Для определения видимости конкурирующих точек рассуждают сле­дующим образом (рис. 40). Точки : и В лежат на общем горизонтально - проецирующем луче, т.е. их горизонтальные проекции совпадают. Точка : выше точки В и расположена ближе наблюдателю (г.о. всегда находится между наблюдателем и соответствующей плоскостью проекций). Следова­тельно, она будет видна, а точка В закрыта ею. Из двух совпадающих про­екций :₁ и В₁ проекцию В₁ невидимой точки В заключают в скобки.

На П₂ точки : и В проецируются разными лучами, поэтому фрон­тальные проекции их не совпадают. Обе точки относительно П₂ видны.

25

Аналогично рассуждают, определяя видимость конкурирующих то­чек и относительно других плоскостей проекций (рис. 42).

На рис. 42 показаны фронтально-конкурирующие точки Си D, а также профильно-конкурирующие точки Е и F.

*

Аг(В,)

Рис. 40

Рис. 41

c₂₌(d₂)

О

Z

f₃JE₃)

♦ ^Ус>^Уо

Fl Е) у₁ ^XF>^XE

Рис. 42

26

Наряду с точкой, прямая линия является одним из исходных понятий в геометрии. Прямая является простейшей из линий (более подробно ли­нии будут рассмотрены в разделе V), которой в начертательной геометрии отводится важная роль при решении инженерных задач.

Аналитически прямую в пространстве можно задать разными спосо­бами. Например, как уравнение прямой, полученной при пересечении двух плоскостей: A_ix + B_iy + C_iz + D_i = 0

A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 Другим, более удобным, является уравнение прямой, проходящей

через две заданные точки Mi (xi y_i zi) и M₂ (x₂ y₂ z₂)

^{x - x}i = y^- yi = ^{z - z}i

^x2 ^{- x}i y 2 ^- yi ^z2 ^{- z}i

Если рассматривать прямую на плоскости, то общим уравнением ее будет: Ax + By + C = 0.

При построении эпюра прямой следует использовать третье свойство проецирования: «Проекция прямой есть прямая». Другими словами, для определения проекции прямой достаточно задать проекции двух не тожде­ственных точек, принадлежащих этой прямой.

Рис. 43

Пусть прямая l проходит через две точки A и В (рис. 43 а). На эпюре этой прямой (рис. 43 б) разность расстояний точек В и A прямой до гори­зонтальной плоскости проекций П₁ определяется величиной z_B - z_A, равной разности аппликат точек В и A. Разность расстояний точек В и A до фрон­тальной плоскости проекций П₂ определяется разностью ординат y_B - y_A. И, наконец, разность расстояний точек A и В до профильной плоскости проекций П₃ определяется величиной разности абсцисс x_A - x_B.

27

акая пря ая зани ает в систе е плоскостей проекций произвольное положение (углы наклона прямой к плоскостям П₁, П₂, П₃ - отличные от 0 и 90°). Для этой прямой: z_B - z_A Ф 0

/Б - /Л Ф 0 (I)

Хд - Хб Ф 0

На эпюре прямой общего положения (см. рис.43 б) нет натуральной величины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций.

Частные случаи расположения прямой

Прямая линия, кроме произвольного, может занимать следующие положения относительно плоскостей проекций:

• параллельное одной из плоскостей проекций (прямые уровня);

• перпендикулярное какой-нибудь плоскости проекций (проецирую­щие прямые).

Прямые уровня

Прямые линии, параллельные (но не перпендикулярные) плоскостям проекций, называют линиями уровня. Таких линий три:

• горизонталь - прямая параллельная П₁,

• фронталь - прямая параллельная П₂,

• профильная прямая, параллельная П₃.

Рис. 44

Если в условии (I) будем иметь: z_B - z_A = 0, то прямая l преобразуется в горизонталь h (рис. 44 а). Особенностью эпюра горизонтали (рис. 44 б) является то, что ее фронтальная проекция (h₂) параллельна оси х, а гори­зонтальная проекция (h₁) составляет с осью х угол р, равный углу наклона самой прямой к плоскости проекций П₂. Горизонтальная проекция А₁В₁ от­

28

Аналогично, если в условии (I) x_A - x_B = 0, то прямая l преобразуется в профильную прямую р (рис. 46 а, б). Особенность проекций профильной прямой (см. рис. 46 б): отрезок прямой проецируется без искажения на профильную плоскость проекций A₃B₃. Здесь же видна натуральная вели­чина углов его наклона а и р. Проекции р₁ и р₂ прямой располагаются на одной линии связи.

^а)

Рис. 46

б)

29

Прямые линии, перпендикулярные плоскостям проекций, называют проецирующими. Различают следующие проецирующие прямые:

• горизонтально-проецирующая, перпендикулярная П1;

• фронтально-проецирующая, перпендикулярная П₂;

• профильно-проецирующая, перпендикулярная П₃.

Проецирующие прямые в тоже время параллельны двум координат­ным плоскостям проекций.

Если в условии (I) для прямой общего положения 1 ввести x_A - x_B = 0 и y_B - y_A = 0, то она преобразуется в горизонтально-проецирующую пря­мую (рис. 47). Фронтальная и профильная проекция отрезка этой прямой А₂В₂ определяет его натуральную длину, а горизонтальная проекция А₁В₁ преобразуется в точку. Эта прямая одновременно является фронтальной и профильной прямой.

Если в условии (I) примем x_A - x_B = 0 и z_B - z_A = 0, то прямая l пре­образуется во фронтально-проецирующую прямую (рис. 48). Здесь гори-

Л А

о

1₂°А₂)=В₂

9В₂

х

X

0

/;

о

Рис. 47

Рис. 48

А 2 н.6. В₂

Z

зонтальная (профильная) проек­ция А1В1 определяет длину от­резка АВ прямой 1, а фронтальная

проекция преобразуется в точку. Эта прямая является одновре­менно горизонтальной и про­фильной прямой.

О

И, наконец, если в условии (I)

Рис. 49

то прямая 1 преобразуется в про- фильно-проецирующую прямую (рис. 49). Горизонтальная и

30

Рис. 50 Рис. 51

Чтобы найти горизонтальный след М, необходимо найти сначала его фронтальную проекцию М₂ как точку пересечения фронтальной проекции прямой 1₂ с осью х. Горизонтальная проекция М\ совпадает с горизонталь­ным следом М и лежит на продолжении 1\.

Чтобы найти фронтальный след N, необходимо найти сначала его го­ризонтальную проекцию N₁ как точку пересечения 1\ с осью х. Фронталь­ная проекция следа N (N₂) будет лежать на продолжении 1₂ и совпадает с фронтальным следом N.

Если прямая параллельна плоскости проекций, то следом ее на этой плоскости является несобственная точка.

31

На эпюре натуральная длина отрезка прямой и углы его наклона видны только в случае его частного расположения относительно плоско­стей проекций.

Если же прямая занимает общее положение относительно плоско­стей проекций, то для нахождения натуральной величины отрезка этой прямой и углов его наклона к плоскостям проекций можно использовать соответствующее свойство ортогонального проецирования.

Используя это свойство, на плоскости проекций П' (рис. 52), можно построить прямоугольный треугольник, один катет которого - проекция отрезка АВ на плоскости П' (А'В'), а другой - разность расстояний концов отрезка от плоскости проекций (В'В₀ = ВК). Гипотенуза такого треугольни­ка (А'В₀) будет равна натуральной величине отрезка. Из рис. 52 видно так­же, что угол В'А'В₀ равен углу ВАК и будет определять угол наклона пря­мой к плоскости Пь

Аналогичные построения можно выполнить на эпюре прямой

Принимаем плоскость П' за П1 (горизонтальную плоскость проек­ций). На горизонтальной проекции прямой, как на катете, строим прямо­угольный треугольник. Второй катет этого треугольника равен разности расстояний концов отрезка от П₁ (z_B - z_A). В результате получаем прямо­угольный треугольник А₁В₁В₀, гипотенуза которого равна натуральной ве­личине отрезка АВ, а угол а есть угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций П₁.

(рис.53).

В

в₂

Рис. 52

Рис. 53

32

Взаимное расположение двух прямых

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельны друг другу или скрещиваться.

Пересекающиеся прямые. Прямые линии, имеющие общую точку, называются пересекающимися.

Рис. 55 Рис. 56

33

Скрещивающиеся прямые. Прямые, не пересекающиеся и не парал­лельные между собой, называются скрещивающимися. На рис. 59 показана пространственная модель таких прямых.

Если прямые скрещиваются в пространстве, то на эпюре их одно­именные проекции могут пересекаться, но точки их пересечения не лежат на одной линии связи (не являются проекциями одной точки) (рис. 60). Так, точка пересечения фронтальных проекций скрещивающихся прямых m и n является фронтальной проекцией двух точек M и K, принадлежащих соответственно прямым m и n. Эти точки не совпадают, так как имеют раз­ные ординаты.

Аналогично, точка пересечения горизонтальных проекций mi и ni является горизонтальной проекцией двух точек Е и F, имеющих разные аппликаты.

X

У1

Рис. 57

Рис. 58

34

Рис. 59 Рис. 60

4. Проекции плоскости

Наряду с точкой и прямой, плоскость также относится к основным базовым понятиям в начертательной геометрии.

Плоскость является простейшей поверхностью. Между декартовыми координатами принадлежащих ей точек существует зависимость, аналити- чески выраженная в форме многочлена первой степени:

Ax + By + Cz + D = 0, т.е. плоскость - поверхность первого порядка.

Кинематическое образование плоскости, как простейшей поверх- ности, может быть представлено (рис. 61) перемещением прямой m (образующей) параллельно направ- лению 5 по неподвижной прямой n (направляющей).

Положение плоскости в про- р_ис. 61

странстве однозначно определяется

тремя различными точками (А, В, С), не принадлежащими одной прямой. Поэтому для задания плоскости на чертеже достаточно указать проекции:

35

б

В

1

а) б) в) г) д)

Рис. 62

В некоторых случаях бывает целесообразным задавать плоскость прямыми, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Та­кой вариант задания плоскости называют заданием плоскости следами.

На рис. 63 показана плоскость Р и ее следы на плоскостях проекций. При этом различают:

Р\ - горизонтальный след плоскости Р;

Р₂ - фронтальный след плоскости Р;

Р₃ - профильный след плоскости Р.

Рис. 63

36

Плоскость общего положения

На приведенных выше примерах заданная плоскость занимает про­извольное положение по отношению к плоскостям проекций (углы накло­на этой плоскости к плоскостям проекций отличны от 0° к 90°). Такая плоскость называется плоскостью общего положения.

На эпюре такой плоскости не сохраняются метрические характери­стики плоской фигуры и не видны углы наклона ее к плоскостям проекций.

Частные случаи расположения плоскости

Кроме рассмотренного общего случая плоскость по отношению к плоскостям проекций может занимать следующие положения:

• перпендикулярное одной из плоскостей проекций (проецирующие плоскости);

• параллельное одной плоскости проекций (плоскости уровня).

37

Рис. 66

Характерной особенностью проецирующих плоскостей является то, что сами плоскости и любые геометрические фигуры, лежащие в них, про­ецируются на перпендикулярные таким плоскостям плоскости проекций в виде прямых линий. Такое свойство проекций проецирующих плоскостей называется собирательным.

38

^а)

Рис. 67

б)

^{а) б)}

Рис. 68

Плоскости уровня

Плоскости, параллельные какой-либо плоскости проекций, называют плоскостями уровня. Различают три типа таких плоскостей:

• горизонтальная плоскость уровня, параллельная П₁ (рис. 69);

• фронтальная плоскость уровня, параллельная П₂ (рис. 70);

• профильная плоскость уровня, параллельная П₃ (рис.71).

Характерной особенностью таких плоскостей является то, что пло­ские фигуры, расположенные в них, проецируются без искажения на ту плоскость проекций, которой плоскости уровня параллельны. Две другие проекции (следы) плоскости уровня - прямые, параллельные соответст­вующим осям проекций. На безосном чертеже обычно задают плоскости уровня одним (любым) следом.

39

Рис. 71

40

1. Принадлежность прямой и точки плоскости

Показать на чертеже точку (или прямую), принадлежащую плоско­сти, занимающей общее положение в системе плоскостей проекций, про­извольно, не связывая ее с другими элементами плоскости, невозможно. Поэтому точка в плоскости выбирается из условия, что она находится на прямой линии этой плоскости.

Прямая же линия принадлежит плоскости, если она проходит:

• через две точки этой плоскости;

• через одну точку плоскости и параллельно какой-нибудь прямой этой плоскости.

^{а) б)}

Рис. 72

Рис. 72 иллюстрирует вышеизложенные условия принадлежности прямой плоскости на чертеже.

Прямая 1 (см. рис. 72 а) принадлежит S (а @ b), так как проходит че­рез две точки Л и В, выбранные на прямых а и b этой плоскости. На рис. 72б используется другое условие: прямая l имеет общую точку Л с плоско­стью S (а @ b) и параллельна прямой b, лежащей в этой плоскости. Оба ри­сунка демонстрируют также принадлежность точки K плоскости S вслед­ствие принадлежности ее прямой 1.

Случай принадлежности прямой и точки плоскости, заданной следа­ми, представлен на рис. 73. Здесь общими точками прямой и плоскости яв­ляются следы прямой Ми N, принадлежащие соответствующим следам плоскости.

41

Принадлежность точек и прямых линий плоскостям, занимающим частное положение, определяется собирательным свойством их проекций. Так, ниже приведены фронтально-проецирующая плоскость Р (рис. 74 а) и горизонтальная плоскость уровня Г (рис. 74 б), а также показаны точка K и линия 1, лежащие в этих плоскостях.

/о Г2

к.

16

Рис. 74

Главные линии плоскости

Главными называют следующие линии плоскости:

• прямые, принадлежащие плоскости и параллельные какой-либо плоскости проекций, - линии уровня;

• прямые, принадлежащие плоскости и перпендикулярные какой- нибудь из линий уровня, - линии наибольшего наклона плоскости к плос­костям проекций.

42

В заданной плоскости, как и в пространстве, можно выделить три типа линий уровня:

• горизонталь плоскости, линия параллельная П1;

• фронталь плоскости, линия параллельная П₂;

• профильная прямая плоскости, линия параллельная П₃.

На рис.75 показаны горизонталь h, фронталь f и профильная прямая р, принадлежащие плоскости S. Из рис. 75 видно также, что каждая из линий уровня всегда параллельна соответствующему следу плоскости :

• горизонталь (h) - горизонтальному следу плоскости (S₁);

• фронталь (f) - фронтальному следу плоскости (S₂);

• профильная прямая (р) - профильному следу плоскости (S₃).

Исходя из этого, следа плоскостей называют оде линиями нулевого

/ 1 0 л0 0\

уровня (h , f , p ).

Рис. 76 иллюстрирует задание линий уровня плоскости на чертеже.

В плоскостях частного положения некоторые из линий уровня стано­вятся проецирующими прямыми. Так (рис. 77 а), в горизонтально- проецирующей плоскости 0 фронталь f и профильная прямая р займут го- ризонтально-проецирующее положение, а в горизонтальной плоскости уровня Г (рис. 77 б) фронталь f станет профильно-проецирующей прямой, а профильная прямая р - фронтально-проецирующей прямой.

43

f°

^T1

Пл

Рис. 76

44

Рис. 77

Линии наибольшего наклона плоскости

Другой разновидностью главных линий плоскости являются линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций. Для плоскостей общего положения это всегда прямые общего положения.

На рис. 78 показана линия (1) наибольшего наклона плоскости S к го­ризонтальной плоскости проекций (П1), которую иногда называют линией наибольшего ската плоскости. Отличительной особенностью этой линии является перпендикулярность ее к горизонтали (или горизонтальному сле­ду) плоскости.

Аналогично на эпюре (рис. 79) горизонтальная проекция линии наи­большего ската (1\) перпендикулярна горизонтальной проекции горизонта­ли (А).

45

Рис. 80 Рис. 81

Условие параллельности прямой и плоскости на эпюре иллюстриру­ет рис. 81. Здесь прямая l параллельна плоскости S (□ ЛВС), так как вы­держано условие параллельности ее одной из сторон треугольника - ЛВ. Параллельность линии l и ЛВ подтверждается параллельностью их одно­именных проекций на эпюре.

46

^{а) б)}

Рис. 82

Плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся пря­мым другой плоскости.

Такими пересекающимися прямыми могут быть:

• произвольные прямые плоскости (рис. 83 а);

• следы плоскостей (рис. 83 б).

^{а) б)}

Рис. 83

47

^а) ^б)

Рис. 84

3. Перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости (рис. 85 а).

Перпендикуляр к плоскости общего положения это всегда прямая общего положения, поэтому для подтверждения перпендикулярности этой прямой и плоскости на чертеже в качестве двух пересекающихся прямых плоскости выбираются линии уровня. В соответствии с вышеизложенным прямой угол проецируется в натуральную величину на П₁ между прямой и горизонталью, а на П₂ - между прямой и фронталью плоскости.

Следовательно, на чертеже: (рис. 85 б) горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная - перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости.

48

а) б)

Рис. 85

На рис. 86 показан случай перпен- дикулярности прямой к плоскости обще- го положения при задании плоскости следами. Здесь прямая 1 перпендикулярна плоскости S (Si, S₂), так как она перпен- дикулярна следам плоскости, которые являются горизонталью и фронталью ну- левого уровня.

Рис. 86

Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Как видно из рис. 87, через перпендикуляр к плоскости можно про­вести бесчисленное множество плоскостей, перпендикулярных данной. Поэтому для однозначного решения требуется задать дополнительные ус­ловия. Так, на рис. 88 для для построения на чертеже плоскости, перпенди­кулярной заданной S (h @ f), введена прямая а, пересекающая перпендику­ляр к плоскости S - 1. Новая плоскость 0 здесь будет задана проекциями пересекающихся прямых а и 1, и она перпендикулярна S, так как проходит через перпендикуляр (1) к ней.

49

Рис. 87 Рис. 88

На рис. 89 показан случай перпендикулярности двух плоскостей Р и 0 общего положения при задании их следами. Здесь перпендикулярность плоскостей определяется прямой 1, принадлежащей плоскости 0 и перпен­дикулярной плоскости Р (1₁ ± Р₁; 1₂ ± Р₂).

Следует запомнить: две плоскости общего положения не перпенди­кулярны между собой, если они заданы взаимно перпендикулярными, од­ноименными следами, так как в плоскости нет прямой, перпендикулярной другой плоскости.

Рис. 90 иллюстрирует перпендикулярность плоскости общего поло­жения S (S₁, S₂) и фронтально-проецирующей плоскости 0 (0₁, 0₂).

Рис. 89

50

Рис. 90

налитическое ре ение задачи о пря ой, пересека ей плоскость, сводится к решению системы уравнений с тремя неизвестными. Допустим, что плоскость S задана уравнением:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, а прямая l задана совокупностью двух уравнений

A2X + В2У + C2Z + D2 = 0 и A3X + Взу + C3Z + D3 = 0.

Координаты точки пересечения прямой l с плоскостью S определяются в результате совместного решения этих трех уравнений.

При аналитическом решении задачи о пересечении двух плоскостей, заданных общими уравнениями, получают общее уравнение прямой ли­нии:

JA₁x + В₁у + C₁z + D₁ = 0,

IA2X + В2У + C2Z + D2 = 0.

Вопрос может состоять только лишь в переводе этой совокупности общих уравнений в каноническое уравнение прямой.

Графическое решение позиционных задач на пересечение простей­ших геометрических образов в общем случае включает в себя построение либо точки встречи прямой с плоскостью, либо линии пересечения двух плоскостей. При этом линия пересечения плоскостей однозначно опреде­ляется двумя точками. Таким образом, в конечном итоге задачи на пересе­чение сводятся к нахождению точек (одной или двух), общих для обоих пересекающихся геометрических образов, и выявлению видимости этих образов относительно друг друга.

При построении таких общих точек важную роль играет расположе­ние геометрических образов относительно плоскостей проекций. Так, если

плоскость, с которой пересекается либо прямая, либо другая плоскость, за­нимает частное положение, то общая точка (линия) легко находится в чер­теже без дополнительных построений (рис. 91 а, б).

Здесь искомыми являются точка D, фронтальная проекция которой определяется при пересечении следа ©₂ плоскости 0 с фронтальной проек­цией прямой l (см. рис. 91 а), и линия 12, горизонтальная проекция которой определяется точками пересечения следа ©1 плоскости © с горизонталь­ными проекциями прямых ЛВ и СВ (см. рис. 91 б).

При определении видимости условно считается, что заданная про­ецирующая плоскость непрозрачна, поэтому видимым будет то, что нахо­дится перед ней (см. рис. 91 б) и над ней (см. рис. 91 а). Стрелкой на чер­теже показано направление взгляда на ту плоскость проекций, видимость на которой определяется. На плоскости проекций, которой заданная плос­кость перпендикулярна, видимость уже определена, так как плоскость про­ецируется в прямую и ничего от наблюдателя не закрывает.

51

52

При решении этой задачи необходимо построить точку, одновремен- но принадлежащую прямой и плоскости, и определить видимость прямой относительно плоскости.

Алгоритм решения задачи следующий:

1. через заданную прямую проводят вспомогательную секущую плоскость;

2. строят линию пересечения двух плоскостей - секущей и заданной;

3. находят общую точку построенной линии пересечения с заданной прямой;

4. определяют видимость прямой относительно плоскости.

На рис. 92 проиллюстрирован алго- ритм решения задачи. Здесь l - заданная прямая, S - заданная плоскость, 0 - секущая плоскость, m - линия пересечения секущей плоскости с заданной, D - искомая точка пересечения прямой с плоскостью.

Приведенный алгоритм решения зада- чи справедлив и при выполнении построе- ний на эпюре. Однако следует обратить внимание на то, что вспомогательную секу- щую плоскость можно вводить как на П_ь так и на П₂.

На рис. 93а через прямую l проведена горизонтально-проецирующая вспомогательная секущая плоскость 0 (0i), а на рис. 93б через прямую l проведена фронтально-проецирующая вспомогательная секущая плоскость 0 (0₂). Результат решения не будет зависеть от того, какой секущей плос­кости отдано предпочтение. На рис. 93 видимость прямой не рассматрива­ется.

Рис. 93

53

На рис. 94 задана прямая 1 и плоскость общего положения S (□ ABC). В качестве секущей выбрана горизонтально-проецирующая плоскость ©(©i), проходящая через прямую 1. Вспомогательная секущая плоскость 0(©i) пересекает данную плоскость S (□ ABC) по линии т, горизонтальная проекция которой находится на следе секущей плоскости ©₁. Фронтальная проекция линии пересечения строится по точкам, принадлежащим соот­ветственно фронтальным проекциям сторон треугольника A₂C₂ и A₂B₂. На фронтальной плоскости проекций определится проекция D₂ искомой точки пересечения. Это есть точка пересечения линии т₂ с фронтальной проек­цией заданной прямой 1₂. Горизонтальная проекция D₁ лежит на горизон­тальной проекции прямой 1₁.

Для определения видимости используот пары конкурир^щих то­чек, принадлежащих прямой 1 и скрещивающейся с ней стороной тре­угольника. Видимость на горизонтальной плоскости проекций определяет­ся по паре горизонтально-конкурирующих точек 1, 2, на фронтальной плоскости проекций - по паре фронтально-конкурирующих точек 3, 4.

В точке D пересечения прямой с плоскостью видимость прямой бу­дет меняться на противоположную.

54

55

56

остроение линии пересечения для случая, когда плоскости задан следами, приведено на рис. 99. Заданы следами плоскости S (S₁, S₂) и © (©₁, ©₂). Здесь роль секущих плоскостей выполняют сами плоскости проекций. Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей. Поэтому сначала определя­ются проекция точки N₂ в пересечении фронтальных следов S₂ и ©₂ и про­екция точки N₁ в пересечении горизонтальных следов S₁ и ©₁. Потом стро­ятся недостающие проекции М₂ и N₁ и проекции искомой линии пересече­ния MN. Таким образом, если плоскости задают следами, то линия пересе­чения данных плоскостей проходит через точки пересечения одноименных следов плоскостей.

57

Способ вспомогательных секущих плоскостей удобно использовать для анализа взаимного положения прямой и плоскости, двух плоскостей.

Для прямой и плоскости возможны три варианта их взаимного рас­положения: прямая пересекает плоскость, параллельна или принадлежит ей.

Анализ сводится к решению задачи на пересечение прямой с плоско­стью общего положения. Взаимное расположение прямой и линии пересе­чения секущей плоскости с заданной может быть следующим:

• прямая l совпадает с прямой т т.е. данная прямая l будет принад­лежать плоскости S (AB @ CD) (рис. 100 а);

• прямая l параллельна прямой т, т.е. данная прямая l параллельна плоскости S (AB @ CD) (рис.100 б);

• прямая l пересекает прямую m, значит, данная прямая l пересекает плоскость S (см. рис. 94).

а)

б)

Рис. 100

58

Рис. 101

59

60

а) б)

Рис. 104

Если заданная прямая занимает частное положение, то алгоритм ре­шения задачи значительно упрощается (рис. 104 а). Здесь опустить пер­пендикуляр из т. А на прямую (1 a h) можно сразу, без введения дополни­тельной плоскости, так как в этом случае прямой угол (h ЛАК) спроециру- ется на плоскость П1 в натуральную величину.

На рис. 104 б показано решение задачи на эпюре. Сначала строится горизонтальная проекция прямой АК (А₁К₁ ± ^),затем с помощью линии связи фронтальная проекция А₂К₂. Способом прямоугольного треугольни­ка определяем натуральную величину перпендикуляра (искомого расстоя­ния) - А₁К₀.

61

Прямые AB и CD определяют первую искомую плоскость S (AB @ CD).

Аналогично через произвольную точку K прямой CD проведем ли­нию параллельную прямой AB (на эпюре A'B' || A₁B₁ и A'₂B'₂ || A₂B₂).

Пересекающиеся прямые A B и CD определяют вторую искомую плоскость S' (A'B' @ CD), параллельную плоскости S (AB @ CD).

C 2D 2 || C2D2.

Рис. 105

62

63

Рис. 106

64

66

Рис. 108 а

Рис. 108 б

67

Рис. 109 а

68

Q\

Q

Рис. 109 б

69

Изложенный в предыдущих разделах материал позволяет сделать вывод, что решение задач позиционного и, главным образом, метрического характера значительно облегчается, если г.о. (прямые или плоскости) за- нимают частные положения относительно плоскостей проекций. Перевода г.о. из общего в частное положение можно достичь использованием спосо- бов преобразования чертежа. При ортогональном проецировании такой пе- ревод может осуществляться двумя путями:

• изменением положения плоскостей проекций относительно г.о., ко- торый остается неподвижным;

• перемещением г.о. относительно плоскостей проекций, при этом последние остаются неподвижными.

Первый путь составляет теоретическую базу способа перемены плоскостей проекций, второй лежит в основе способов плоскопараллель- ного перемещения и вращения.

1. Способ перемены плоскостей проекций

Сущность способа перемены (замены) плоскостей проекций заклю- чается в том, что одну из плоскостей проекций ортогональной системы (П₁ П₂) заменяют на новую (П₄), которая в совокупности с оставшейся (не- заменяемой) плоскостью образует другую ортогональную систему плоско- стей проекций. При этом новую плоскость вводят так, чтобы относительно нее проецируемый г.о. занял частное положение.

Рассмотрим механизм введения дополнительной

плоскости проекций (рис.110). Плоскость П₂ заменяем на но- вую плоскость П₄, расположен- ную к П₂ под углом, не равным 90° (в данном случае этот угол выбран произвольно). При этом П₄ будет перпендикулярна го- ризонтальной плоскости проек- ций П₁ и пересекать ее по оси

х₁ Ни o₁. Точка ортогонально проеци-

руется на П4, образуя новую Рис. 110 . _

проекцию - :₄. Так™ образ™,

будем иметь две системы плоскостей проекций - старую П₁П₂ и новую П₁П₄ с общей плоскостью П₁. Из рис. 110 видно, что расположение т. : от­носительно общей плоскости проекций не изменяется, т.е. координата z точки : остается постоянной в обеих системах.

70

^{а) б)}

Рис. 111

Анализируя рис. 110, можно сделать вывод, что в нашем примере ра­венство аппликат у новой (А₄) и старой (А₂) фронтальной проекции точки А, а также использование в обеих системах прямоугольного проецирования делают построение новой проекции на эпюре чрезвычайно простым. Оно состоит в том (см. рис. 111), что через старую горизонтальную проекцию точки (:₁) проводят линию проекционной связи, перпендикулярную новой оси (х₁), и откладывают на ней, от точки пересечения с осью, отрезок А₄ А_{х 1}, равный исходной координате z_A (Л₂ А_х).

При замене горизонтальной плоскости проекций на новую (рис.112 а) для двух систем остается постоянной плоскость П2 и, следовательно, коор­дината у. Это постоянство координаты у лежит в основе построения эпюра (рис. 112 б).

При решении задач приходится менять либо одну из заданных плос­костей проекций, либо последовательно обе, если заменой одной плоско­сти не удается получить необходимого расположения проецируемого г.о. по отношению к новой плоскости проекций. Механизм такой двойной за­мены плоскостей проекций показан на примере (рис. 113 а) построения проекций точки.

71

Рис. 112

Здесь сначала плоскость проекций П₂ заменяют плоскостью проек­ций П₄, а затем плоскость проекций П1 - плоскостью П₅, т.е. последова­тельно переходят от системы плоскостей проекций П₁П₂ к системе П₁П₄, а затем от системы плоскостей П₁П₄ к системе П₄П₅.

На эпюре (рис. 113 б) для построения новых проекций А₄ и А₅ ис­пользуют неизменность отрезка А₂А_Х (координаты z) при переходе от сис­темы П₁П₂ к системе П₁П₄ и отрезка А₁А_Х1 при переходе от системы П₁П₄ к системе П₄П₅.

Следует отметить, что при введении новой плоскости проекций (а следовательно, и новой оси на эпюре) удаление последней от заданного г.о. (проекции г.о.) выбирается произвольно, так как не влияет на конеч­ный результат построений. Важную роль играет лить расположение новой плоскости (оси) относительно г.о. (проекции г.о.).

^{а) б)}

Рис. 113

72

Первое преобразование (замена). Переведем прямую АВ общего по­ложения сначала в положение уровня. Для этого заменим одну из плоско­стей проекций системы П₁П₂, например П₂, на новую плоскость П₄, кото­рая будет параллельна АВ и, в свою очередь, перпендикулярна старой плоскости П₁. На П₄ прямая проецируется, в этом случае, в натуральную величину (положение уровня).

Необходимые построения на эпюре, выполняемые при первой замене плоскости проекций (рис. 114):

1. проводится ось х1 параллельно горизонтальной проекции прямой

2. проводятся линии проекционной связи из А1 и В1 перпендикулярно оси х₁;

3. для построения проекции А4В4 на линиях связи от новой оси х1 от­кладываются расстояния, равные аппликатам точек А и В.

Проекция А₄В₄ - натуральная величина прямой АВ.

Угол (а) между А₄В₄ и осью х₁ - угол наклона прямой к плоскости проекций П₁ (вариант решения задачи на определение угла наклона пря­мой общего положения к П₁).

(А1В1);

5

Рис. 114

Рис. 115

73

Первое преобразование (замена). При выполнении этого этапа до- полнительную плоскость проекций следует ввести перпендикулярно одной из линий уровня плоскости - горизонтали или фронтали. Именно в этом случае заданная плоскость займет проецирующее положение относительно новой плоскости проекций.

На рис. 116 показаны построения первого этапа преобразования, выпол- ненные на эпюре в случае замены фронтальной плоскости проекций:

1. строятся проекции h₂, h₁ гори- зонтали h плоскости S (ПАВ K);

2. проводится ось проекций х₁ перпендикулярно h₁ - горизонтальной проекции горизонтали;

3. проводятся линии проекцион- ной связи из точек А₁, В₁, С₁ перпенди- кулярно х₁;

4. на линиях связи от оси х₁ от- кладываются соответствующие отрезки и строится проекция А₄В₄С₄ плоскости S (ПАВС), которая вырождается на П₄ в прямую линию S₄. Здесь можно уви- деть угол (а) наклона плоскости S к П₁

(вариант решения задачи на определение угла наклона плоскости общего положения к горизонтальной плоскости проекций).

Рис. 116

74

Рис. 117

Следует помнить: преобразовать прямую общего положения в про­ецирующую прямую (или плоскость общего положения в плоскость уров­ня) одной заменой плоскости проекций невозможно. Это следует из того, что новая дополнительная плоскость проекций, перпендикулярная прямой общего положения (или параллельной плоскости общего положения), должна быть плоскостью общего положения, что нарушает ортогональ­ность плоскостей проекций в новой системе.

75

В случае задания плоскости следами (рис. 118) для перевода ее из общего положения в проецирующее необходимо, чтобы один из заданных следов на эпюре стал перпендикулярен к оси х₁ новой ортогональной сис­темы П₁П₄. Тогда в этой системе плоскость займет проецирующее положе­ние относительно П₄.

На рис. 118 ось х₁ проведена перпендикулярно следу S₁. В этом слу­чае для определения направления нового следа S₄ достаточно взять произ­вольную точку А₂ на следе S₂ и указать ее проекцию на новой плоскости П₄ в соответствиями с правилами построения, изложенными ранее. В новой системе П₁П₄ плоскость S (S₁, S₄) займет проецирующее положение отно­сительно П₄.

2. Способ плоскопараллельного перемещения

Сущность способа заключается в том, что все точки геометрического образа, меняющего свое положение в пространстве, перемещаются в плос­костях, параллельных какой-нибудь из плоскостей проекций (рис. 119 а, б), траектория перемещения - произвольные линии (l, /, Г....).

При параллельном переносе ортогональная проекция г.о. на плос­кость, параллельно которой происходит перемещение его точек, сохраняет свои размеры и форму, изменяя лить положение относительно оси проек­ций (рис. 120) (справедливость этого утверждения при необходимости мо­жет быть легко доказана). Проекции всех точек г.о. на другой плоскости

76

^{а) б)}

Рис. 119

Рис. 120

77

Пусть дана прямая АВ общего положения. Переведем ее сначала в положение фронтали, а затем в горизонтально-проецирующее положение (рис. 121).

Первое преобразование. Точки А и В перемещаются в горизонталь­ных плоскостях уровня Г' и Г соответственно.

На эпюре после переноса горизонтальная проекция отрезка АВ в со­ответствии с условиями преобразования сохраняют свою величину:

\A'\B'\j = jA\B\\, но становится параллельной оси проекций.

Фронтальная проекция А₂ точки А перемещается по следу плоскости перемещения Г'₂, а проекция В₂ - по следу Г₂.

Новое положение проекций А'₂ и В'₂ находят на пересечении линий проекционной связи, проходящих через А\ и В'1 со следами соответст­вующих плоскостей. Проекция А'₂В'₂ будет натуральной величиной отрезка АВ.

Второе преобразование. Фронтальную проекцию А'₂В'₂ перенесем в новое положение, перпендикулярное оси х (А"₂В"₂ Т х). При этом точки А' и В' будут перемещаться во фронтальной плоскости уровня Ф. На следе этой плоскости (Ф₁) будет располагаться новая горизонтальная проекция прямой - точка (А"₁ ° В"₁).

78

Рис. 122 дает полное представление о геометрических построениях, выполненных в результате этих преобразований. Последовательность этих построений указана индексами - штрихами, поставленными у проекций справа вверху и стрелками. Перемещение точек плоскости S (□ ABC) вна­чале производим в плоскостях Г, Г' ,Г", параллельных П1 (перевод во фронтльно-проецирующее положение), а затем в плоскостях Ф, Ф', Ф", па­раллельных П₂ (горизонтальное положение уровня).

При первом перемещении проекцию A'₁, B\, C'₁ располагаем так, чтобы проекция горизонтали плоскости h₁ стала перпендикулярна оси х. При втором перемещении след S"₂ сделаем параллельным оси х.

Рис. 122

3. Способ вращения

Способ вращения состоит в том, что г.о. вращается в пространстве вокруг выбранной оси до требуемого положения относительно плоскостей проекций. Точки вращаемого предмета описывают в пространстве дуги окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, а центры этих окружностей располагаются на оси вращения в точках пере­сечения оси с плоскостями. В качестве осей вращения можно применять либо проецирующие прямые, либо линии уровня.

79

При вращении вокруг оси, перпендикулярной горизонтальной плос­кости проекции П_ь точка : (см. рис. 123 а) будет перемещаться по дуге окружности l в плоскости Г, параллельной П_ь Эта окружность проециру­ется на плоскость П1 без искажения, а на плоскость П₂ в отрезок прямой, параллельной оси x (см. рис. 123 б).

Вращение точки вокруг оси, перпендикулярной фронтальной плос­кости проекций (i Т П₂), иллюстрирует рис. 124 а.

Здесь точка : перемещается в новое положение :₁ по окружности, лежащей в плоскости Ф, перпендикулярной оси вращения i и параллель­ной П₂. В этом случае вращения фронтальная проекция точки : (Л₂) будет перемещаться по окружности с центром на фронтальной проекции оси вращения, а горизонтальная - по прямой Ф₁, параллельной оси x (рис. 124

яснив характер пере е ения проекций точки при вра ении ее вокруг проецирующих прямых, можно осуществить перемещение проек­ций любой геометрической фигуры при переводе ее из заданного положе­ния в частное.

х

Рис. 123

б).

80

a)

б)

Рис. 124

Вращение отрезка прямой, до положения линии уровня и проецирующего положения

При выполнении вращения ось можно проводить либо в произволь­ном месте, либо через одну из точек прямой. В последнем случае решение задачи облегчается, так как будет достаточно переместить лишь одну точ­ку прямой, не лежащую на оси вращения.

Первое вращение. В зависимости от выбора оси вращения (± П₂ или ± П1) прямую общего положения можно перевести соответственно в по­ложение фронтали или горизонтали.

На рис. 125 показаны построения, выполненные при перемещении отрезка АВ общего положения, в положение, параллельное П₂. Ось враще­ния в этом случае будет перпендикулярна П_ь Проведем ее через точку В. На эпюре горизонтальная проекция точки Ai перемещается по дуге в по­ложение A'i так, чтобы А'₁В'₁ была параллельна оси проекций х. При этом фронтальная проекция А₂ переместится по следу горизонтальной плоско­сти уровня и займет положение в точке пересечения следа Г₂ и линии свя­зи, восстановленной из А'₁. Соединив А'₂ и В'₂, получим фронтальную про­екцию фронтали АВ.

Второе вращение. Вращение фронтали (ВА') при переводе ее в поло­жение горизонтально-проецирующей прямой осуществляется вокруг фронтально-проецирующей оси /, проходящей через точку А'.

81

Рис. 125

Вращение плоскости общего положения до проецирующего и положения плоскости уровня

На рис. 126 плоскость общего положения S задана ПАВ С. В том случае, когда требуется определить истинную величину плоской фигуры, заданной в общем положении, необходимо осуществить два последова­тельных вращения вокруг осей, перпендикулярных вначале одной плоско­сти проекций, а затем другой. Предварительно в плоскости S проводится горизонталь h, и плоскость вращается вокруг оси i Т П₁ до тех пор, пока горизонталь не будет перпендикулярна плоскости П₂. Тогда плоскость об­щего положения станет фронтально-проецирующей (см.раздел. II. 4). Вто­рое вращение плоскости S осуществляется вокруг оси i Т П₂ до положе­ния, параллельного плоскости П₁. В результате этого вращения фронталь- но-проецирующая плоскость Е'(П А'В'С') станет горизонтальной плоско­стью уровня и спроецируется на П₁ в натуральную величину (□ А"₁В"₁С"₁).

82

Рис. 126

Вращение вокруг линии уровня

Этот способ является эффективным приемом, упрощающим решение задач на определение натуральной величины плоской фигуры. Путем вра­щения вокруг линии уровня можно повернуть плоскость до положения, параллельного плоскости проекции.

При таком повороте каждая точка г.о. перемещается по окружности, расположенной в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Центр ок­ружности будет находиться на оси вращения, а величина радиуса враще­ния равна расстоянию от точки до оси вращения.

Если за ось вращения взята горизонталь (рис. 127 а), то окружность, по которой движется точка, будет проецироваться на П1 в отрезок прямой, перпендикулярной горизонтальной проекции оси (А). На плоскости П₂ ок­ружность проецируется в эллипс, построение которого можно не выпол­нять.

Анализируя рис. 127 а, можно прокомментировать построения, вы­полняемые на плоскости П₁, при перемещении т. : по окружности, плос­кость которой перпендикулярна оси вращения (h). Здесь сначала необхо­димо найти положение центра вращения и определить натуральную вели­чину радиуса вращения. Проекция 0₁ центра вращения находится в точке пересечения проекции оси вращения h₁ с горизонтальным следом плоско­

83

^а)

Рис. 127

Новое, после поворота, положение точки А (А'₁) будет находиться на следе плоскости S₁ в месте, удаленном от точки 0₁ на величину натурального ра­диуса г - 0₁A₀.

Полный эпюр точки А, переме­щающейся вокруг горизонтали h в поло­жение А', показан на рис. 127 б.

Аналогично (рис. 128), если за ось вращения выбрана фронталь, то траекто­рия перемещения точки будет проециро­ваться на П₂ в виде отрезка прямой, пер­пендикулярной фронтальной проекции фронтали. Эта прямая есть след плоско­сти вращения S₂. Центр вращения 0 (0₁,0₂) находится как точка пересечения S₂ с фронтальной проекцией фронтали f₂.

84

Рис. 129

85

Задача 1. Определить расстояние от точки до прямой (рис. 130). Заданы прямые общего положения CD и точка М. Задача в общем виде решена в разделе III.5 (задача 1). Здесь предлагается решение задачи способом перемены плоскостей проекций. При решении задачи следует руководствоваться следующими рассуждениями:

• расстояние от точки до прямой определяется перпендикуляром, опущенным из этой точки на данную прямую;

• заданная прямая CD занимает общее положение, поэтому прямой угол между этой прямой и перпендикуляром, проведенным к ней, проеци- руется на плоскости проекций с искажением.

Для того, чтобы прямой угол проецировался в натуральную величину, одна сторона его должна быть линией уровня согласно теореме о проеци- ровании прямого угла. Вследствие этого прямую общего положения CD необходимо преобразовать в линию уровня проецированием на дополни- тельную плоскость проекций П₄.Таким

образом, первая замена плоскости про- екций необходима для построения пря- мого угла. Вторая перемена плоскости проекций выполняется для нахождения н.в. искомого расстояния. На рис. 130 первая дополнительная плоскость П4 параллельна прямой CD, т.е. ось x₁ || C₁D₁, П₄ Т П₁. На новой плоскости проекций П₄ строятся н.в. CD ° C₄D₄ и точка М4, из которой опускается пер- пендикуляр к C₄D₄ (прямой угол на плоскости П4 изобразится в н.в.). Нахо- дятся недостающие проекции т. N - ос- нования перпендикуляра.

Для определения длины отрезка перпендикуляра MN необходимо пре- образовать его в линию уровня. Вво- дится еще одна дополнительная плос- кость проекций П₅, которая параллель- на MN и перпендикулярна П₄. На эпюре x₂ || M₄N₄ и П₅ Т П₄.

На плоскости проекций П₅ проек- ция N₅M₅ будет натуральной величи- ной искомого перпендикуляра:

|N₅M₅| = н.в. MN.

Рис. 130

86

Задача 3. Построить натуральную величину плоской фигуры спосо­

бом вращения вокруг линии уровня (рис. 132).

Задана S (ПАВС) - плос- кость общего положения.

Определить натуральную величину ПАВС можно при по- вороте его вокруг горизонтали данной плоскости. Причем, ко- гда плоскость треугольника бу- дет параллельна П₁, расстояние от каждой перемещающейся вершины до оси вращения, рав- ное радиусу вращения данной точки, на П₁ проецируется без искажения.

При повороте плоскости в новое положение вокруг гори- зонтали h будут перемещаться _: f-о только две вершины (А и В) тре- ¹ угольника, которым и задана плоскость S (□ АВС). Вершина С остается неподвижной, так как

^Рис- ¹³² принадлежит оси вращения.

Необходимые геометрические построения на эпюре выполняют в следующей последовательности:

1. строят проекции горизонтали CD в данной плоскости;

2. находят центры вращения точек А и В, для чего проводят прямые, перпендикулярные C₁D₁, по которым будут перемещаться горизонтальные проекции вращающихся точек. Пересечение прямых с осью даст 0₁, 0₁ (в данном примере центр 0₁ можно не использовать);

3. строят проекции радиуса вращения точки А - отрезки А₁0₁ и А₂ 0₂;

4. определяют натуральную величину радиуса вращения r_A, вращая отрезок О А вокруг оси, проходящей через точку 0 и перпендикулярной П₂;

5. отрезок r_A откладывают от точки 0₁ вдоль той прямой, по которой перемещается горизонтальная проекция вершины А;

6. через полученную точку А⁰₁ и неподвижную D₁ проводят прямую до пересечения с прямой, по которой перемещается горизонтальная проек­ция вершины В;

7. соединяя найденные точки А⁰₁, В⁰₁ друг с другом и с неподвижной вершиной С₁, получают новую горизонтальную проекцию треугольника, которая определяет натуральную величину ПАВС. Фронтальная проекция треугольника окажется преобразованной в прямую, совпадающую с C₂D₂.

88

Заданную плоскость S (□ ЛВС) преобразуют во фронтально- проецирующую плоскость, при этом перпендикуляр SD к плоскости будет фронталью (!).

При перемещении (см. рис. 133) горизонтальная проекция плоскости займет новое положение, при котором ее горизонталь станет перпендику­лярна оси (h\L x). Сама проекция при этом не изменяется | Л1В1С1 | @ \Л'₁В'₁С'₁\, сохранится также и положение точки S относительно точек Л', В', и С (точка S строится с помощью циркуля на пересечении дуг радиусом |В₁ S₁1 = |B'₁S^y₁| и |C₁S₁| = |C'₁S^y₁|.

Положение точки S'₂ (как и других точек Л'₂, В'₂, С'₂) определяют по линии проекционной связи на следе Г'''₂ (Г, Г', Г''), соответствующей плос­кости уровня, в которой она перемещается.

Далее строят f₂ L Л'₂В'₂С'₂; ! || о и находят проекции (D'₂, D₁) осно­вания перпендикуляра.

Выполняя «обратное» плоскопараллельное перемещение, строят S₁D₁ (применяя засечки для нахождения D₁) и S₂D₂.

89

1. строится проекция заданной плоскости S (□ ЛВС) на плоскость проекций П₄. Это прямая Л₄С₄В₄ (S₄);

2. от точки Л₄ (или любой другой точки) на перпендикуляре к S₄ от­кладывается отрезок \A₄D₄\ = 1. Через полученную точку D₄ проводится проекция 0 ₄ искомой плоскости (0 ₄ \\ S₄);

3. строится горизонтальная проекция отрезка AD (AiDi\\ x₄, D₄ ® D₁);

4. находится фронтальная проекция D₂ точки D, преобразованием обратным первому преобразованию;

5. через D₁ и D₂ проводятся одноименные проекции параллельных соответствующим сторонам треугольника пересекающихся прямых

Задача имеет два решения, т.к. искомую плоскость можно разместить по разные стороны от заданной плоскости. На эпюре показано одно решение.

Рис. 134

(DE\\ AB, DF\\ AC).

90

Кривуо линию можно рассматривать как непрерывное множество последовательных положений точки, движущейся в пространстве, то есть как траекторию движущейся точки. На протяжении кривой линии не должно быть прямолинейных участков. Кривая линия определяется поло­жениями составляющих ее точек, точки кривой определяются их коорди­натами. Если координаты любой точки кривой удовлетворяют некоторому уравнению, то такие кривые называются закономерными. Закономерные кривые линии образуются по определенному закону и могут быть заданы графически и аналитически.

Аналитически кривую линию на плоскости можно задать уравнением

F (x, у) = О

(может оказаться, что данному уравнению F (x, у) = 0 не удовлетворяют координаты ни одной действительной точки на плоскости. Тогда условно говорят, что данные уравнения изображаются мнимой кривой), в простран­стве - двумя уравнениями (как линию пересечения двух поверхностей)

F (x, у, z) = 0, f (ы у, z) = 0.

Существуют также незакономерные кривые, образование которых носит эмпирический характер. Незакономерные кривые линии задаются только графически на чертеже.

Одна и та же кривая линия может быть образована разными способами:

1. движением точки в пространстве;

2. пересечением кривой поверхности с плоскостью;

3. взаимным пересечением двух поверхностей, из которых хотя бы одна кривая.

Кривые линии подразделяют на плоские и пространственные. У пло­ских кривых все точки принадлежат плоскости, у пространственных кри­вых точки не принадлежат одной плоскости. Пространственные прямые называются также линиями двоякой кривизны. Наиболее известными из плоских и пространственных кривых линий являются соответственно ок­ружность и цилиндрическая винтовая линия.

Закономерные кривые, определяемые в декартовой системе коорди­нат алгебраическим уравнением вида P_n = 0, где P_n - многочлен n-й степе­ни от одного или нескольких переменных (n > 1), называются алгебраиче­скими.

Порядком алгебраической кривой линии называется степень ее урав­нения. Геометрически порядок плоской алгебраической кривой линии ха­рактеризуется наибольшим числом точек ее пересечения с прямой линией. Порядок пространственной алгебраической кривой линии определяется наибольшим числом точек ее пересечения с плоскостью общего положе­ния.

91

92

Из всех инвариантных свойств проецирования для кривой линии можно выделить следующие:

• проекции кривой в общем случае есть кривые. В частном случае плоская кривая проецируется в прямую, если она принадлежит проеци­рующей плоскости;

• если точка лежит на кривой, то ее проекции лежат на одноименных проекциях этой кривой;

• если прямая касается кривой в пространстве, то проекции этой прямой касаются одноименных проекций кривой. Секущая кривой про­ецируется как секущая проекции кривой;

• кривая, представляющая собой проекцию кривой некоторого по­рядка, сохраняет тот же порядок или оказывается кривой более низкого порядка.

Рис. 135

Рис. 136

2. свойства проекции кривой линии

93

При построении проекций плоской кривой линии необходимо указы- вать на их так называемые характерные точки, к которым относятся осо- бые точки кривой, а также точки, наиболее удаленные от плоскости проек- ций и наиболее близкие к ним. Плоская кривая, к каждой точке которой

можно провести касательную, называется плавной. Однако на кривой мо-

гут существовать точки, в которых имеются две касательные, общая каса- тельная для двух ветвей или нескольких витков кривой. Кривая в таких точках не является плавной.

Пусть касательная t перекатывается по кривой 1, при этом переменная точка касания N совершает поступательное движение по ка- сательной (рис. 137). В каждом своем положе- нии переменная точка касания N совпадает с произвольной точкой М, перемещающейся по кривой 1: N = M; N⁰ = M⁰; N ¹ = Mи т.д.

Если в некоторой точке N изменяется

направление поступательного движения ее по касательной, то она называется особой точкой.

Если в некотором положении изменяется направление поворота ка­сательной t, то она называется особой касательной.

Если таких изменений не происходит, то точка N и касательная t на­зываются обыкновенными. Соответствующая точка М кривой также назы­вается обыкновенной (рис. 138 а).

(N)° \N°M

Рис. 137

М

б)

^в)

ti=t?

^г)

д⁾

^е)

Рис. 138

ж⁾

94

Построение нормали к кривой линии, проходящей через заданную точку К вне кривой, показано на рис. 140. Принимая точку К за центр, про­водят ряд окружностей, пересекающих кривую по хордам 11, 22, 33 и т.д. Из концов хорд проводят разносторонне направленные перпендикуляры к ним, на которых откладывают отрезки, равные длинам соответствующих хорд. Концы отрезков этих перпендикуляров намечают кривую ошибок - линию ab, пересекающую данную кривую в точке С. Прямая КС задает на­правление искомой нормали n к данной кривой.

95

Рис. 141

Соприкасание называется внутренним, если в точке соприкасания нормали кривых совпадают (рис. 141 а). Если нормали направлены в раз­ные стороны, то кривые линии имеют внешние соприкасания (рис. 141 б).

Соприкасающаяся окружность в данной точке кривой определяет кривизну плоской кривой в этой точке. Соприкасающейся окружностью или кругом кривизны кривой называют предельное положение окружно­сти, когда она проходит через данную точку и две бесконечно близкие к ней точки кривой. Радиус этой окружности г есть радиус кривизны, а центр 0 - центр кривизны кривой линии в данной точке (рис. 142).

t

Геометрическое место центров кривизны a₀b₀ для всех точек данной кривой АВ есть кривая, называемая эволютой (рис. 143).Она является оги­бающей нормалей данной кривой.

Рассматриваемую кривую линию АВ по отношению к своей эволюте называют эвольвентой. Касательные эволюты являются нормалями эволь­венты. Через каждую точку касательной к эволюте проходит одна и только одна эвольвента. Всякая плоская кривая линия есть геометрическое место центров кривизны бесчисленного множества эвольвент.

96

И ИХ ПРОЕКЦИИ

лгебраическу криву лини , которая опис вается в систе е де­картовых координат уравнением второй степени относительно текущих координат, называют линией второго порядка.

Общее уравнение второй степени с двумя переменными имеет вид:

Ах² + Вху + Cy + Dx + Ey + F = 0.

После приведения уравнения кривой к каноническому виду кривые могут быть квалифицированы следующим образом:

1. кривые эллиптического типа. Это эллипс (в частном случае ок­ружность, одна точка или мнимое место точек);

2. кривые гиперболического типа. Это гипербола или пара пересе­кающихся прямых;

3. кривые линии параболического типа - парабола, пара параллель­ных прямых (в частном случае совпадающих) или мнимое место точек.

Кривые линии второго порядка называют кониками или линиями ко­нических сечений, так как они могут быть получены в сечении плоскостью прямого кругового конуса. Конические сечения будут рассмотрены далее (Раздел VII.1.). Кривую второго порядка однозначно определяют заданием пяти точек общего положения: через заданные пять точек проходит одна и только одна кривая второго порядка. Если хотя бы три точки лежат на од­ной прямой, то получается распадающееся коническое сечение.

Эллипс представляет собой геометрическое место точек, сумма рас­стояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть вели­чина постоянная. Каноническое уравнение эллипса имеет вид

22

^{x y} 2 2 2 —г + ^л- = 1, где b = a - c .

a² b²

Оси координат являются осями симметрии эллипса (рис. 144). Точка 0 пересечения осей симметрии называется центром эллипса, точки пересече­ния эллипса осями симметрии - вершинами эллипса. Отрезки, соединяю­щие противоположные вершины эллипса, равные 2а и 2 b, называют соот­ветственно большой и малой осями эллипса. Два фокуса эллипса - точки F₁ и F₂ расположены на расстоянии 2с друг от друга. Величину 2с называ­ют фокусным расстоянием. Любая точка Е плоскости принадлежит эллипсу,

если соблюдается условие EF₁ + EF₂ = 2 a, где 2а - большая ось эллипса.

Диаметры эллипса - это отрезки прямых, проходят через центр эл­липса. Геометрическим местом середин хорд, параллельных одному из диаметров эллипса, является диаметр, сопряженный заданному. На рис.145 диаметры 2а₁ и 2b₁ является сопряженными. Большая и малая оси эллипса являются сопряженными взаимно перпендикулярными диаметрами.

97

совпада т то из условия

EFi

+

EFi

= a получа-

ется гео етрическое есто точек, равноудаленн х от одной данной точки, т.е. окружность. Эллипс есть кривая, родственная окружности. На родстве двух фигур основан ряд способов построения эллипса.

Рис. 144 Рис. 145

На рис. 146 представлен один из способов построения эллипса по его сопряженным диаметрам. Этот способ используют в случае, когда эллипс проецируется на плоскости проекций в виде эллипсов.

Пусть заданы проекции двух произвольно выбранных и делящихся пополам отрезков - А\В\ и C\D\. Эти отрезки можно рассматривать как со­пряженные диаметры эллипса. Один из отрезков, например А1В1, примем за диаметр окружности, родственной эллипсу. Здесь диаметр окружности АВ совпадает с диаметром А₁В₁ эллипса. Диаметры АВ и CD родственной эллипсу окружности являются взаимно сопряженными, т.е. взаимно пер­пендикулярными. Построив окружность и наметив на ней ряд точек Е, можно определить соответствующий им ряд точек Е₁ эллипса.

98

Рис. 148 Рис. 149

В начертательной геометрии эллипсы чаще всего рассматривают как проекции окружности. При ортогональном параллельном проецировании окружность может проецироваться на плоскости проекций в виде отрезка прямой, окружности (частные случаи) или в виде эллипса (общий случай).

Окружность проецируется на плоскость проекций без искажения, ес­ли ее плоскость параллельна плоскости проекций. Пусть окружность ле­жит во фронтальной плоскости уровня, тогда ее фронтальная проекция есть окружность, а горизонтальная - отрезок, равный диаметру и парал­лельный оси проекций х (рис. 149).

Если окружность принадлежит проецирующей плоскости, то одна из ее проекций совпадает со следом плоскости и равна диаметру окружности, а другая есть эллипс.

99

Построение других точек эллипса выполняют способом хорд. Хорды параллельны вертикальному диаметру и на П₂ проецируются в натураль­ную величину. Для более точного построения на чертеже ось проекций х проводят через фронтальную проекцию центра эллипса - точку 0₂. Вводят дополнительную плоскость проекций П₄, которая совпадает с плоскостью S (на чертеже новая ось х₁ совпадает со следом S₁). На плоскости проекций П₄ изобразится только половина окружности с положительными координа­тами z, равными половине хорд. Величину координаты z откладывают от оси х по линиям связи вверх и вниз. Получаются две точки эллипса ?₂ и ?₂, симметричные относительно малой оси. Аналогично строят другие точки эллипса.

100

На П₄ окружность проецируется в отрезок, равный диаметру. В системе плоскостей П₁П₄ решаем ранее рассмотренную задачу построения эллипса как проекции окружности, лежащей в проецирующей плоскости. Анало­гично можно построить большую и малую оси эллипса - фронтальной проекции окружности. Однако здесь приведен другой способ построения эллипса. На фронтальной плоскости проекций большая ось эллипса совпа­дает с направлением фронтали плоскости и равна диаметру 34 окружности. Для построения малой оси эллипса проводят окружность с диаметром, равным большой оси эллипса. Через точку 1₂ перпендикулярно большой оси строят соответственно полухорды 1₂Е₂ и Е₂К₂ эллипса и окружности. Полухорду Е₂К₂ вращением вокруг точки Е₂ совмещают с большой осью.

Рис. 151

101

Рис. 152 Рис. 153

На рис. 152 точки F₁ и F₂ являются фокусами гиперболы. Расстояние между ними 2с. Точка пересечения координатных осей 0 является центром симметрии. Точки А₂ и А\ - вершины гиперболы, расстояние между ними 2а = А\А₂ называют действительной осью гиперболы. Ось симметрии CD = 2b, которая не пересекает гиперболу, называют мнимой осью.

Асимптоты гиперболы - прямые, к которым ветви гиперболы неогра­ниченно приближаются при удалении в бесконечность. Асимптоты гипер­болы направлены по диагоналям прямоугольника со сторонами 2а и 2b.

Каноническое уравнение гиперболы (оси координат совпадают с

осями гиперболы) имеет вид

22

X У 1 ,222

—г - = 1, где b = c - a .

a² b²

Любая точка М плоскости принадлежит правой ветви гиперболы, ес­ли соблюдается условие |-MF₂| - \MF^ = 2 a. Точки, для которых

|MF1| - |MF₂| = 2a, принадлежат левой ветви. Касательная t и нормаль n к

гиперболе являются биссектрисами соответственно внутреннего и внешне­го углов, образованных радиусами- векторами, проведенными из фокусов в точку касания.

102

На рис. 154 точка F есть фокус параболы, а прямая АВ, перпендику­лярная оси х, - ее директриса. Ось х совпадает с осью симметрии парабо­лы, точка О является вершиной параболы. Расстояние от фокуса до верши­ны параболы равно —. Величина р называется фокальным параметром и

2

равна расстоянию от фокуса до директрисы или половине хорды, прохо­дящей через фокус перпендикулярно оси х.

Каноническое уравнение параболы; y² = 2px, гдер = FD. Любая точ­ка М плоскости принадлежит параболе, если |MF = |MG|.

Касательная t и нормаль n к параболе являются биссектрисами углов между фокальным радиусом-вектором точки параболы и диаметром, про­ходящим через эту же точку. Под диаметром d параболы понимают пря­мую, параллельную оси параболы. На рис. 155 показан способ построения параболы, если известна ее вершина - точка О и одна из точек - точка М. Соединив вершину О с точкой М, определяют разности координат Ах и Ay между этими точками. Расстояния Ах и Ay делят на одинаковое количество равных частей, точки деления обозначают. Через точки деления с одинако­выми номерами проводят линии построения, на пересечении которых оп­ределяют искомые точки параболы.

103

Рис. 156

Пространственн^э кривуо линию на чертеже задают последовательным рядом ее точек. Чтобы установить особые точки пространственной кривой, необходимо на- личие двух ее проекций, в отличие от пло- ской кривой, для определения особых точек которой достаточно одной проекции. Со- поставление горизонтальной и фронталь- ной проекций на рис. 156 показывает, что хотя на горизонтальной проекции имеется двойная точка, но на самой кривой двойной точки нет.

Так же, как и для плоской кривой, ка- сательная к кривой в пространстве проеци- руется в касательную к проекции этой кри- вой. Проецирующая плоскость, проведенная

через касательную к проекции кривой, касается кривой в пространстве.

Но если для плоской кривой можно было провести только один пер­пендикуляр к касательной в точке М, то для пространственной кривой та­ких перпендикуляров в точке касания бесчисленное множество, что при­водит к понятию нормальной плоскости.

Тремя плоскостями - спрямляющей, соприкасающейся и нормальной (см. рис.136), образующими трехгранник, пользуются как координатными при рассмотрении кривой в данной ее точке. Положение трехгранника за­висит от положения точки на кривой.

Если касательные к пространственной кривой линии во всех ее точ­ках одинаково наклонны к какой-либо плоскости, то такие линии называ­ются линиями одинакового уклона.

Цилиндрические винтовые линии одинакового уклона широко при­меняются в технике. Моделью такой линии может служить цилиндриче­ская пружина.

Цилиндрическая винтовая линия - гелиса - есть траектория сложно­го движения точки, равномерно перемещающейся по образующей и рав­номерно вращающейся вместе с этой образующей вокруг оси цилиндра.

Винтовая линия имеет три параметра: диаметр цилиндра, шаг и на­правление. Шаг - это смещение точки вдоль образующей за один оборот. Различают два направления винтовой линии: правое - при движение точки вверх против часовой стрелки и левое - при движении точки вверх по ча­совой стрелке.

104

Рис. 157

105

В с^,еств^щем мире нас окружает неограниченное количество разнообразных поверхностей. Некоторые могут быть математически опи- саны, некоторые настолько сложны, что не поддаются математическому описанию.

В математике под поверхностью подразумевается непрерывное мно- жество точек, если между координатами точек этого множества может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x,y,z)=0, где F(x,y,z) - многочлен n-й степени, или в форме какой-либо трансцен- дентной функции. В первом случае поверхности называются алгебраиче- скими, во втором - трансцендентными.

Если алгебраическая поверхность описывается уравнением n-й сте- пени, то поверхность считается n-ого порядка.

Любая произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мни- мой), какой имеет сама поверхность.

Порядок поверхности может быть определен также числом точек ее пересечения с произвольной прямой, считая все точки (действительные и мнимые).

1. Образование и задание поверхности на чертеже

В начертательной геометрии геометрические фигуры задаются гра- фически, поэтому целесообразно поверхность рассматривать как совокуп- ность последовательных положений линии а, перемещающейся в про-

странстве по определенному закону.

Закон перемещения линии а целесообразно задать в виде семейства линий m, n, 1. Любую из ли- ний m, n, 1 можно заменить описательными усло- виями, задающими закон перемещения линии а.

Подвижная линия а называется образующей, неподвижные линии m, n, 1 - направляющими (рис. 158).

Рассмотренный способ образования поверх- ностей называется кинематическим.

Поверхность считается заданной на чертеже, если из множества точек пространства можно выде- лить те, которые принадлежат поверхности. При этом различают понятия каркаса, определителя и очерка поверхности.

106

Ф(а, т) [А]

Рис. 159 Рис. 160

Определителем поверхности называется совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность. В определитель включается геометрическая часть и алгоритмическая.

Ф (Г)[А] - форма записи определителя, где Ф - обозначение поверх­ности; (Г) - геометрическая часть определителя - геометрические элемен­ты, заданные на чертеже; [A] - алгоритмическая часть определителя - по­казывает характер изменения формы образующей а и закон ее перемеще­ния.

На рис. 160 показана поверхность прямого кругового цилиндра Ф (а, т) [a || т, каждая точка прямой вращается вокруг оси т]. Длинную запись алгоритмической части иногда заменяют названием поверхности. Пишут: поверхность вращения Ф (а, т).

Очерком поверхности называется проекция проецирующей цилинд­рической поверхности, которая огибает заданную поверхность.

Рис. 161 дает наглядное представление о том, как получается очерк произвольной замкнутой поверхности на горизонтальной плоскости про­екций. Здесь множество проецирующих лучей, касательных к поверхности, образуют горизонтально-проецирующую поверхность. Проекцию этой по­верхности на П1 называют горизонтальным очерком заданной поверхно­сти.

107

Рис. 161

2. Классификация поверхностей

Большое многообразие поверхностей, различные способы их образо­вания, сложности геометрических характеристик создают трудности в по­пытках классифицировать поверхности, объединить их в систему.

Основой классификации поверхностей могут служить их определи­тели или геометрические особенности, связанные с кинематическим спо­собом их образования.

Важными признаками формообразования поверхностей являются:

• вид образующей и закон ее перемещения;

• закон изменения образующей;

• развертываемость куска поверхности.

На рис. 162 приведена ориентировочная классификация поверхностей.

3. Обзор некоторых поверхностей Торсовые поверхности

Эти поверхности относятся к группе линейчатых развертываемых поверхностей с одной направляющей.

Характерным признаком торсовых поверхностей является то, что их

прямолинейные образующие пересекаются. При этом пересечение может

¥

происходить как в собственной (S), так и в несобственной ( S) точках.

К рассматриваемой группе относятся:

• поверхность с ребром возврата;

• поверхность коническая;

• поверхность цилиндрическая.

108

Рис. 162

109

Поверхность с ребром возврата в общем случае образуется непре­рывным перемещением прямолинейной образующей (а), касающейся про­странственной кривой (m) - направляющей (рис. 163 а). Кривая m называ­ется ребром возврата торса.

Торсовая поверхность состоит из двух полостей, линией раздела ко­торых является ребро возврата. Ребро возврата полностью задает торс и является геометрической частью определителя поверхности. Алгоритмиче­ской частью служит условие касания образующих к ребру возврата.

Определитель имеет вид W (а, m)[a * m].

На эпюре Монжа любая неограниченная торсовая поверхность зада­ется только проекциями ребра возврата (m₁ и m₂). При этом каркас поверх­ности можно составить из семейства прямолинейных образующих, каса­тельных к этому ребру. Так, на рис. 163 б проекциями образующей (а) яв­ляются касательные а₁ и а₂ к проекциям m₁ и m₂ ребра возврата m, прове­денные через проекции А₁ и А₂ случайной точки А этого ребра.

Наиболее широкое применение в инженерной практике нашел част­ный вид торсовой поверхности - винтовой торс, у которой ребром возврата служит цилиндрическая винтовая линия. Если ось винтовой линии распо­ложить перпендикулярно к П₁, то образованная поверхность представит собой поверхность одинакового ската (по отношению к П₁), т.к. все каса­тельные к винтовой линии пересекают плоскость П₁ под одним и тем же углом. Чертеж отсека такой поверхности показан на рис. 164.

^а)

б)

Рис. 163

110

Рис. 164

Рис. 165

111

Коническуо поверхность можно считать частным случаем поверх­ности с ребром возврата - при вырождении ребра возврата m в точку - вершину (S). В этом случае все образующие поверхности будут пересе­каться в собственной точке S и поверхность определяется как коническая.

Для задания конической поверхности недостаточно иметь ребро воз­врата (точку) - поверхность останется еще неопределенной. В этом случае вводится дополнительная линия, заведомо принадлежащая задаваемой по­верхности, и эта линия называется направляющей (л).

Таким образом, коническая поверхность образуется движением пря­мой (а), проходящей через неподвижную точку (S) и пересекающей кри­вую (л) - направляющую (рис. 166).

Если направляющая л - замкнутая линия, то поверхность называется замкнутой (рис. 167).

Коническая поверхность может иметь две полости (см. рис. 166), ес­ли образующие продолжены за вершину.

В случае замены кривой направляющей л ломаной линией поверх­ность называются пирамидальной (рис. 168). Поверхности с замкнутой ломаной направляющей называются еще многогранниками.

Аналитически уравнение конической поверхности имеет вид:

^{x - x}A = У = ^{z - f (x}A^{) x}S ^{- x}A ys ^ZS ^{- f(x}A )’

где х, y, z - текущие координаты точки :, выбранной на направляющей кривой л, имеющей уравнение z = f (x); x_s, ys, z_S - координаты вершины S.

Определитель конической поверхности можно записать следующим образом: W (S, a, л) [a CHS, a @ л].

112

Рис. 169

Для придания наглядности и выразительности изображению вычер­чивают очерк поверхности и показывают наиболее важные линии и точки на поверхности.

Рис. 170

Чтобы построить очерк конической поверхности, следует на каждой плоскости проекций отметить граничные образующие, заключающие ме­жду собой область, внутри которой находится проекция поверхности. Пример построения очерка замкнутой конической поверхности (W), задан­ной определителем (рис. 170 а), показан на рис. 170 б, в. Для построения

113

Рис. 171

114

К₂°(К'₂)

Рис. 172

Рис. 173

115

Цилиндрические поверхность можно считать производимой из по­верхности с ребром возврата при условии, что ребро возврата представляет собой бесконечно удаленную точку. Тогда все образующие цилиндриче­ской поверхности будут параллельны (пересекаться в несобственной точке).

Для того чтобы цилиндрическая поверхность была определена в про­странстве, необходимо задать дополнительную линию, принадлежащую этой поверхности; эта линия будет называться направляющей поверхности.

Таким образом, цилиндрическую поверхность можно представить как поверхность, образованную движением прямой (а), параллельной са­мой себе (или направлению 1) и пересекающей кривую (п) - направляю­щую (рис. 174).

Если направляющая (п) - замкнутая линия, то поверхность называет­ся замкнутой. В случае замены кривой направляющей (п) ломаной линией поверхность называется призматической (рис. 175).

Аналитическое уравнение цилиндрической поверхности с направ­ляющей кривой п, имеющей уравнение z = f (x) в координатной плоскости x0z, и прямолинейной образующей а в виде вектора {m', п', р'} имеет вид:

^{x - х}л = У = ^{z - f (х}л⁾

/ / / ’ m п р

где х, y, z - текущие координаты точек поверхности; величина хд - пара­метр.

Исходя из принципа образования поверхности, определитель цилин­дрической поверхности можно записать следующим образом:

Ф (п, 1, a) [a Пи, a // 1].

116

На эпюре Монжа цилиндриче- ская поверхность однозначно задает- ся проекциями определителя: на-

правляющей п (п₁, п₂), образующей а («1, а₂), направлением переноса об- разующей 1 (l₁,1₂) (рис. 176).

Для наглядности изображения цилиндрической поверхности на чертеже обычно строят очерки за- данной поверхности. Рассмотрим пример построения очерка цилинд- рической поверхности, заданной оп- ределителем (рис. 177 а).

Для построения фронтального очерка поверхности (рис. 177 б) про­водят крайние образующие АА' и ВВ', которые на П₂ являются очерковыми образующими и служат границей видимости поверхности. Видимость проверяют по горизонтальной проекции окружности А₁С₁В₁ (видимость определяют после построения горизонтального очерка). Образующие АА', СС', ВВ' поверхности на П₂ видны.

(D'₂)

Рис. 176

^а)

Рис. 177

б)

ля построения горизонтального очерка проводят две крайние на 1 образующие СС' и DD. Точки касания С₁ и D₁ определяют, проводя радиу­сы окружности, перпендикулярные касательным. Образующие СС' и DD являются очерковыми на П₁ и служат границей видимости поверхности, а

117

Рис. 179

а цилиндрической поверхности точки строят при по о и прохо­дящих через них прямолинейных образующих. Так, на рис. 179 показано построение горизонтальной проекции М₁ точки М, лежащей на цилиндри­ческой поверхности, по заданной фронтальной М₂. Построения показаны стрелками.

118

На комплексном чертеже задачи решаются проще, если цилиндриче- ские и призматические поверхности занимают проецирующее положение, т.е. перпендикулярное одной из плоскостей проекций (см. рис.178). При таком положении поверхности одна из проекций образующей вырождается в точку, а проекция поверхности - в линию. Вырожденная проекция по- верхности, подобно проецирующей плоскости, обладает «собирательным свойством»: проекция любой линии, расположенной на поверхности, на- ходится на вырожденной проекции поверхности. На рис. 180 а, б показаны случаи, когда горизонтальная проекция поверхности «собирает» на себя все горизонтальные проекции точек, расположенных на поверхности; на рис. 180 в, г - случаи, когда фронтальные проекции поверхностей «соби- рают» на себя все фронтальные проекции точек, расположенных на по- верхности. Принадлежность точек поверхности определяется в этом случае принадлежностью проекций точек вырожденной проекции поверхности.

А

(К₂)

о

/г,

б)

^в)

^г)

Рис. 180

Поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)

Эти поверхности относятся к группе линейчатых неразвертываемых поверхностей с двумя направляющими. Характерным признаком поверх­ностей с плоскостью параллелизма является то, что их прямолинейные об­разующие являются скрещивающимися прямыми, так как при формирова­нии этих поверхностей образующие, скользящие по двум направляющим, должны быть параллельны некоторой заданной плоскости. В этом случае все образующие будут пересекаться с плоскостью параллелизма в несобст­венных точках, множество которых определяют несобственную прямую; эту прямую следует рассматривать как третью направляющую линейчатой поверхности.

119

Рис. 181

120

Отличие поверхности коноида от цилиндроида состоит только в том, что одна из направляющих линий коноида - прямая. На рис. 182 даны на­глядное изображение и эпюр Монжа коноида. Здесь m и n - направляю­щие, причем m - прямая, n - кривая линии; Е - горизонтально- проецирующая плоскость, которой параллельны все образующие коноида. Точка К, принадлежащая поверхности коноида, построена при помощи проходящей через нее прямолинейной образующей а.

Рис. 182

Косая плоскость (гиперболический параболоид)

Косая плоскость образуется непрерывным перемещением прямоли­нейной образующей а по двум направляющим - скрещивающимся прямым m и n - параллельно некоторой плоскости параллелизма Е. Эту же поверх­ность называют гиперболическим параболоидом, так как плоские сечения поверхности в одном из направлений дают гиперболы, а в другом - пара­болы (это положение доказано в аналитической геометрии).

На рис. 183 а дан пример косой плоскости с плоскостью параллелиз­ма Е, перпендикулярной П_ь и направляющими прямыми m и n. На рис. 183 б приведен эпюр Монжа этой поверхности. Для наглядности проекционно­го чертежа построены проекции ряда образующих (аналогично рис.181 б и 182 б).

Для построения точки К этой поверхности по заданной горизонталь­ной проекции К₁ использована образующая прямая а (см. рис. 183 б). Для построения же точки М по заданной фронтальной ее проекции М₂ может быть использована произвольная линия на поверхности косой плоскости,

121

Рис. 183

Винтовые линейчатые поверхности (геликоиды)

Винтовые поверхности образуются винтовым движением прямой линии z - образующей (винтовое перемещение характеризуется вращени­ем вокруг оси и одновременным поступательным движением, параллель­ным этой оси). Каждая точка образующей перемещается по своей винто­вой линии, причем все винтовые линии имеют общую ось, называемую осью винтовой поверхности (i) (рис. 184).

При перемещении образующей угол ее наклона к оси и перемещение вдоль оси (называемое шагом винтовой линии) могут меняться или оста­ваться постоянными.

/77

122

В свою очередь прямые и косые геликоида подразделяются на за­крытые и открытые. Признаком для такого деления служит взаимное рас­положение оси геликоида и его образующей. Если образующая и ось пере­секаются, геликоид называют закрытым, если скрещивается - открытым.

^а)

б)

Рис. 185

Рис. 186

Рис. 187

123

гдер - винтовой параметр.

Определитель винтовой поверхности Ф(а, m) [A], где а - образую­щая; m - направляющая винтовая линия; [A] - дополнительные данные о характере движения образующей.

Как неоднократно отмечалось ранее, для получения наглядного изо­бражения винтовой поверхности ее задание на эпюре Монжа проекциями геометрической части определителя следует расширить до задания карка­сом, составленным из последовательных положений прямолинейных обра­зующих.

Например, на рис. 186 показан косой геликоид. Он задан правой вин­товой линией m с диаметром D, осью винтовой поверхности i и образую­щей а, наклонной к оси под углом ф. Построен один виток винтовой ли­нии, начиная от точки 1. Для этого окружность разделена на 12 частей. Точка 1, перемещаясь по винтовой линии, переходит последовательно в положения 2, 3, ... 12. Соответствующие образующие будут перемещаться параллельно образующим направляющего конуса вращения с углом ф при вершине. Построив ряд образующих, получим дискретный каркас отсека винтовой поверхности.

У прямого геликоида образующие всегда параллельны плоскости, перпендикулярной оси поверхности (рис. 187). По своему образованию прямой геликоид является коноидом. Действительно, образующая - пря­мая линия; она во всех положениях параллельна некоторой плоскости (в данном случае перпендикулярной к оси цилиндра); образующая пересе­кает две направляющие линии, кривую и прямую (ось цилиндра). Так как кривая направляющая представляет собой винтовую линию, то такая по­верхность называется винтовым коноидом.

Для построения точки К этой поверхности по заданной фронтальной проекции К₂ использована образующая прямая а, у которой сначала стро­ится фронтальная проекция а₂ перпендикулярно к оси винтовой линии. По точке пересечения (а₂ @ m₂) строится горизонтальная проекция а₁ обра­зующей и на ней точка К₁.

Широкое применение поверхностей вращения в технике, машино­строении объясняется распространенностью вращательного движения и простотой обработки (образования) деталей на станках. Особенно распро­странены поверхности, имеющие в меридиональном сечении (см. ниже) кривые второго порядка или прямые.

x

Поверхности вращения

124

Поверхность, образованная вращением линии (плоской или про­странственной кривой) вокруг неподвижной прямой - оси, называется по­верхностью общего вида (рис. 188 а). Определитель поверхности может быть записан следующим образом: W(a, i)[a вращается вокруг i], где а - образующая, i - прямая (ось вращения). При вращении каждая точка обра­зующей описывает окружность с центром на оси i; плоскость окружности перпендикулярна оси вращения.

Окружности, описываемые точками образующей, называются парал­лелями. Наибольшая из параллелей - экватором, наименьшая - горлом или горловиной.

Плоскости, проходящие через ось вращения, называются меридио­нальными, а линии, по которым плоскости пересекают поверхность, - ме­ридианами. Меридиональная плоскость, параллельная плоскости проек­ций, называется главной, а линия пересечения ее с поверхностью - глав­ным меридианом. Поверхность вращения считают закрытой, если мери­диональное сечение поверхности является замкнутой кривой линией, пере­секающей ось поверхности в двух точках.

Рис. 188

На эпюре Монжа поверхности вращения удобнее задавать очерками. Если ось поверхности занимает горизонтально-проецирующее положение, то горизонтальным очерком поверхности является горизонтальная проек­ция экватора 1₁ (рис. 188 б), а фронтальным очерком - фронтальная проек­ция главного меридиана а₂. Для построения точек, расположенных на по­верхности, рационально использовать параллели. Видимость точек на по­верхности определяется очерковыми линиями, ограничивающими види­мость самой поверхности относительно плоскостей проекций.

125

Такие поверхности имеют в меридиональном сечении кривую второ - го порядка или две прямые, на которые распадаются кривые второго по­рядка. По виду главного меридиана и расположению оси вращения по­верхности вращения имеют разные названия. На рис. 189 представлена группа поверхностей, имеющих в качестве образующей кривую второго порядка, а в качестве оси вращения - проецирующую прямую т.

Рассмотрим подробнее эти поверхности.

Сфера. Это поверхность, образованная вращением окружности во­круг одного из своих диаметров. Ось вращения проходит через центр ок-

2 2 2 2

ружности. Уравнение поверхности: x + y + z = r.

На рис. 190 дан комплексный чертеж сферы, заданной очерками. Пусть ось вращения - горизонтально-проецирующая прямая, тогда фрон­тальным очерком сферы будет фронтальная проекция главного меридиана а₂, а горизонтальным очерком - горизонтальная проекция экватора b₁. Для построения недостающих проекций К₁ и К'₁ точек К и К', расположенных на поверхности, используют параллель. Видимость точек на поверхности определяют на фронтальной плоскости проекций П2 меридианом, а на П1 - экватором сферы. Невидимыми будут точки за меридианом и под экватором.

Тор открытый (или круговое кольцо). Ось вращения не пересекает образующую окружность, но лежит в ее плоскости. Уравнение поверхности:

{ 2 2 2 2 ,2\2 л 2 / 2 2\ >

(x + y + z + a - b) = 4 a (x + y), где а > b.

На рис. 191 а дана геометрическая часть определителя кругового кольца. Зная, что каждая точка линии а описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси i, а центр расположен на оси, можно по­строить очерки поверхности. На рис. 191 б заданы очерки этой поверхно­сти. По фронтальной проекции точки К, расположенной на поверхности, строят горизонтальные проекции ее. Если известно, на видимой части по­верхности расположена точка К или на невидимой, то можно проводить ее возможные параллели. В данном случае возможны две параллели, пересе­кающие образующую в двух точках 1 и 2, следовательно, при положении К₂ на поверхности возможны четыре положения точек К₁.

Тор закрытый. Ось вращения пересекает образующую окружность, но не проходит через ее центр (см. рис. 189). Уравнение поверхности:

I 2 , 2 , 2 2 «2\2 л 2/ 2 2ч „ _и

(x + y + z + а - b) = 4a (x + y), где а < b.

Эллипсоид вращения. Поверхность, образованная вращением эллипса вокруг своей оси. Поверхность, образованная вращением вокруг малой оси, называется сжатым эллипсоидом вращения (рис. 192 а), а вращением

вокруг большой оси - вытянутым эллипсоидом вращения (рис. 192 б).

2 2 2 2 2 2 2

Уравнение сжатого эллипсоида: а(х + y) + b z = a b .

Уравнение вытянутого эллипсоида: b²(x² + y²) + a²z² = a²b².

126

t < R

t = 0

тор открытый

тор закрытый

сфера

D

эллипсоид сжатый

эллипсоид вытянутый

однополостныи

гиперболоид

двухполостныи

гиперболоид

Рис. 189

127

Рис. 190 Рис.191

^а)

б)

Рис. 192

Рис.193

128

Рис. 194

Линейчатыге поверхности вращения

Поверхности, образованные вращением прямой линии вокруг оси, также являются поверхностями второго порядка. Возможны три случая взаимного расположения образующей а и оси i: a || i; а @ i и а □ i, поэтому возможны три вида поверхностей (рис. 195).

Рис. 195

129

130

Рис. 196

Поверхность однополостного гиперболоида может быть получена при движении прямолинейной образующей по трем скрещивающимся прямым, не параллельным одной плоскости.

На рис. 196 в поверхность однополостного гиперболоида задана прямыми направляющими m, n, l и показана образующая а, пересекающая направляющие в точках M, N, L.

Нелинейчатые поверхности с образующей переменного вида

Эта группа поверхностей имеет определитель Ф (а, m) [A; А₁],

где а - образующая переменного вида,

m - направляющая,

А - закон перемещения образующей по направляющей,

Ai - закон изменения формы образующей.

Из этой группы поверхностей можно выделить поверхность общего вида, образованную перемещением произвольной (плоской или простран­ственной) кривой а, по криволинейной направляющей b (см. рис. 159), и каналовую поверхность.

131