оси поверхностей вращения должны быть параллельны плоскости проекций, так как в этом случае параллели пересечения вспомогательной секущей сферы с данными поверхностями вращения будут проектировать­ся на эту плоскость проекций в виде отрезков прямых. Точки, общие для данных поверхностей, находятся как точки пересечения полученных па­раллелей (в виде отрезков прямых).

Рассмотрим основные этапы построения линии пересечения двух по­верхностей - конуса и цилиндра вращения способом концентрических сфер (рис. 231).

Опорные точки 1 и 2 - точки пересечения очерковых образующих поверхностей, лежащих в плоскости симметрии 0, можно найти без до­полнительных построений на фронтальной плоскости проекций - 1₂, 2₂.

Горизонтальные проекции опорных точек 1₂ и 2₂ получаем на следе плоскости симметрии 0₁, проведя линии проекционной связи.

Далее выполняем следующие построения. Из центра O пересечения осей данных поверхностей проведем вспомогательную секущую сферу произвольного радиуса R так, чтобы она пересекала обе поверхности вра­щения. Для этого опишем из точки O₂ окружность радиуса R, которая яв­ляется фронтальной проекцией вспомогательной секущей сферы.

Построим линию пересечения вспомогательной секущей сферы с данными поверхностями вращения. Сфера, как соосная с конусом и ци­линдром, пересечет их по окружностям диаметрами AB и CD соответст­венно. Эти окружности спроецируются на плоскость П₂ в виде отрезков прямых A₂B₂ и C₂D₂.

Рассмотрим взаимное расположение полученных линий пересечения (окружностей диаметрами AB и CD), лежащих на поверхности вспомога­тельной секущей сферы. Они пересекаются в точках 3 и 4, фронтальные проекции которых совпадают (3₂ ° 4₂).

о линии проекционной связи находи горизонтальн е проекции 31 и 4₁ точек 3 и 4, лежащих на параллели диаметра AB конуса. Точки 3 и 4 одновременно принадлежат поверхностям конуса и цилиндра и, следова­тельно, являются точками искомой линии пересечения двух поверхностей.

Проводя из точки O ряд вспомогательных секущих сфер радиусами в пределах от Я_шах до R_mjn и выполняя построения аналогичные построениям при нахождении точек 3 и 4, можно получить ряд точек, принадлежащих линии пересечения.

Радиус 1?_шах сферы равен расстоянию от точки O₂ до наиболее уда­ленной точки пересечения очерковых образующих. В нашем примере

^Rrnax^=O2¹2.

Радиус R_mln сферы равен радиусу большей из двух сфер, которые можно вписать в пересекающиеся поверхности. Сферу (R^) в отличие также от сферы (R_maX) можно также использовать для построения точек ли­нии пересечения (на рис. 231 это точки 5 и 6).

Точки видимости 7 и 8 линии пересечения относительно плоскости П₁ можно найти в рассматриваемом примере только приблизительно. Вна­чале надо отметить их фронтальные проекции 7₂ и 8₂, как точки пересече­ния фронтальной проекции линии пересечения с фронтальными проекция­ми горизонтальных очерковых образующих а и b цилиндра, а потом найти соответствующие горизонтальные проекции 7₁ и 8₁.

Построение линии пересечения двух поверхностей вращения с помощью эксцентрических сфер

Метод эксцентрических сфер применяется при построении линии пересечения поверхностей вращения с поверхностью, несущей на себе не­прерывное множество окружностей. При этом обе поверхности должны иметь одну плоскость симметрии.

Вспомогательные эксцентрические сферы пересекаются с данными поверхностями по окружностям, которые проецируются на плоскость проекций, параллельную плоскости симметрии, в виде отрезков прямых.

Пример построения линии пересечения двух поверхностей враще­ния способом эксцентрических сфер рассмотрен на рис. 232, где кольцо W (открытый тор) пересекается с конусом вращения 0. Поверхности имеют одну общую плоскость симметрии. Оси пересекающихся поверхностей вращения между собой не пересекаются. Поверхности заданы их фрон­тальными очерками.

Круговые сечения конуса вращения получаются при сечении его плоскостями уровня. Кольцо имеет три системы круговых сечений, двумя из них мы воспользуемся в решении задачи. Одна система круговых сече­ний тора находится в плоскостях, перпендикулярных оси тора. Другая сис­тема находится в проецирующих плоскостях, вращающихся вокруг этой оси.

При построении линии пересечения поверхностей прежде всего оп­ределяем точки 1 и 2 пересечения очерковых образующих поверхностей. Затем через ось вращения тора проводим фронтально проецирующую плоскость Е, которая пересекает тор по окружности диаметром АВ. Центр O сферы, пересекающей тор по этой окружности, находится на пересече­нии перпендикуляра, восстановленного из центра окружности к плоскости Е, с осью конуса вращения. Эта вспомогательная секущая сфера имеет ра­диус R. Она пересекает кольцо и конус вращения по окружностям, фрон­тальные проекции которых - отрезки прямых (А₂В₂ и C₂D₂ соответствен­но). Две точки 3 и 4 пересечения этих окружностей принадлежат искомой линии пересечения поверхностей.

Аналогично определяем другие промежуточные точки линии пересе­чения поверхностей. Вспомогательные сферы имеют различные центры, находящиеся на оси конуса вращения.

Г оризонтальную проекцию линии пересечения можно построить, ис­пользуя линии проекционной связи с ее фронтальной проекцией и признак принадлежности точек этой линии любой из поверхностей.

Частные случаи построения линии пересечения поверхностей.

Теорема Монжа

Теорема. Если две поверхности второго порядка описаны (или впи­саны) около третьей поверхности второго порядка, то они пересекаются между собой по двум плоским кривым второго порядка.

Пример построения линии пересечения поверхностей конуса (0) и цилиндра вращения (Q), описанных около сферы (Т), показан на рис. 233. В данном случае в две пересекающиеся поверхности вписана сфера, каса­тельная к этим поверхностям. Следовательно, поверхности пересекаются по двум плоским кривым - эллипсам, проекции которых на плоскости П2 будут представлять прямые (1232 и 2242), соединяющие точки пересечения очерковых образующих обеих поверхностей, так как оси обеих поверхно­стей параллельны плоскости П₂.

Имея фронтальную проекцию линии пересечения поверхностей, мож­но легко построить ее горизонтальную проекцию, как показано на рис. 233.

4. Примеры решения задач

хорду 3242. На пересечении перпендикуляра с 3242 определится фронталь­ная проекция большой оси эллипса 5₂ ° 6₂. Большая ось эллипса есть фронтально-проецирующая прямая. Для построения ее горизонтальной проекции строится параллель сферы 1, на которой лежат точки 5 и 6. Соот­ветственно горизонтальные проекции 5₁ и 6₁ точек, задающих большую ось, принадлежат горизонтальной проекции 1₁ параллели.

Для построения плавной кривой находятся промежуточные точки линии пересечения, как точки на соответствующих параллелях сферы.

Полученные точки линии пересечения соединяются с учетом види­мости. На горизонтальной проекции линии пересечения будут видны точ­ки, лежащие выше экватора в верхней половине сферы. Видимость поме­няется на противоположную в точках 1₁ и 2₁, которые принадлежат очерку поверхности.

Натуральное сечение представляет собой окружность радиусом К. Определена она проецированием на дополнительную плоскость проекций П4.

Задача 3. Построить сечение прямого кругового конуса плоскостью общего положения Е (A ABC), определить название кривой в сечении и на­туральную величину искомого сечения (рис. 236).

Анализ заданных геометрических образов показывает, что сечение поверхности вращения плоскостью является фигурой симметричной. Ось симметрии искомой линии пересечения лежит в плоскости 0 (0₁), перпен­дикулярной заданному треугольнику ABC и проходящей через ось враще­ния конуса. Общая плоскость симметрии является горизонтально- проецирующей, поэтому горизонтальная проекция искомой линии пересе­чения будет симметричной относительно следа 01 плоскости 0.

Кривая сечения строится по точкам способом вспомогательных се­кущих плоскостей. Построения начинаются с опорных точек.

Высшая и низшая точки всегда лежат в общей плоскости симметрии двух пересекающихся геометрических образов. Плоскость 0 (0₁)

пересекает конус по образующим SK и SK, а треугольник ABC - по прямой LP, горизонтальные проекции которых совпадают со следом плоскости 0₁. На пересечении фронтальных проекций S₂K₂ и L₂P₂ определится проекция 1₂, искомой точки 1, которая является наивысшей точкой линии пересечения. Горизонтальная проекция 1 1 точки 1 находится на следе плоскости 0₁.

Низшие точки в данном примере располагаются на основании конуса в плоскости П₁. Плоскость П₁ пересекается с плоскостью S треугольника (при его продолжении) по горизонтали нулевого уровня h⁰, проходящей через точку A. Для определения направления h°₁ в плоскости треугольника ABC построена горизонталь h, проходящая через точку C. На пересечении построенной проекции h⁰₁ и окружности основания конуса, лежащих в од­ной плоскости П₁, получаются проекции низших точек линии пересечения 2₁ и 2'₁. Фронтальные проекции 2₂, 2'₂ лежат на фронтальной проекции ос­нования конуса.

Точки изменения видимости строятся при помощи фронтальной плоскости уровня Ф (Ф₁), проходящей через ось конуса. Она пересекает конус по очерковым образующим, а треугольник ABC - по линии MN. На пересечении их фронтальных проекций получается точка 3₂ - фронтальная проекция точки изменения видимости. Горизонтальная проекция 3₁ лежит на следе плоскости Ф₁. Так как горизонтальная проекция кривой симмет­рична относительно 0₁, то на П₁ построена симметричная промежуточная точка 3'₁. Фронтальная проекция 3'₂ находится на одинаковом уровне с проекцией 32.

Промежуточные точки линии пересечения строятся при помощи вспомогательных плоскостей уровня Г и Г' - это точки 5, 5' и 4, 4' соот­ветственно. Точка 6 показана как точка встречи прямой АС с поверхностью конуса.

Задача 4. Построить линию пересечения сферы и прямого кругового конуса; проанализировать характерные точки линии; показать видимость линии пересечения и очерков поверхностей (рис. 237).

Анализ заданных г.о. показывает, что общая плоскость симметрии поверхностей 0 (0₁) является проецирующей. В общей плоскости симмет­рии пересекающихся г.о. лежат высшая и низшая точки искомой линии пе­ресечения. Эти точки находятся проецированием на дополнительную плос­кость проекций П4, которая проведена параллельно общей плоскости сим­метрии 0 (0₁). На П₄ при пересечении очерков поверхностей сферы и кону­са определятся общие точки: 1 - самая высокая, 2 - самая низкая точки ли­нии пересечения.

Для построения остальных точек искомой линии пересечения приме­няют способ секущих плоскостей.

Точки, лежащие на экваторе сферы определяют с помощью секущей плоскости уровня Г (Г₂). Она рассекает сферу по экватору, а конус по па­раллели. На горизонтальной плоскости проекций при пересечении экватора и параллели находят точки 3 и 4.

Точки искомой линии пересечения, лежащие на фронтальном очерке конуса определяют при помощи фронтальной плоскости уровня Ф (Ф₁), проходящей через ось конуса. При пересечении фронтальной проекции очерка конуса с соответствующей параллелью сферы получают точки 5 и 6.

Для определения точек линии пересечения, принадлежащих фрон­тальному очерку сферы вводят секущую плоскость Ф' (Ф'₁), которая пере­секает конус по гиперболе, а сферу по главному меридиану. Фронтальные проекции главного меридиана и гиперболы, точки которой обозначены звездочками (*), имеют две общие точки 7 и 8.

Промежуточные точки искомой линии пересечения строят при помо­щи секущей плоскости Г' (Г'₂), которая обе поверхности рассекает по па­раллелям. На чертеже показано построение двух промежуточных точек 9 и 10.

Построенные точки соединяют с учетом видимости поверхностей. На плоскости проекций П1 видимость линии пересечения будет меняться на экваторе сферы в точках 3 и 4. На плоскости проекций П₂ видимой будет часть линии пересечения 8-2-10-3-7, принадлежащая передней половине сферы. В точках 7 и 8 видимость изменится на противоположную.

Искомая линия пересечения представляет собой пространственную кривую линию, расположенную на заданных поверхностях. Ее проекции на комплексном чертеже - плавные кривые линии, при этом на П₁ линия сим­метрична относительно следа 0₁ плоскости симметрии двух поверхностей.

Задача 5. Построить линию пересечения конической поверхности и четверти торовой поверхности; проанализировать линию пересечения и ее проекции (рис. 238).

Решение задачи выполняем в следующей последовательности.

Сначала строим точки, расположенные в общей плоскости симмет­рии 0, способом вращения (аналогичное решение приведено на рис. 228 г). В рассматриваемой задаче точка A будут высшей, а точка B не является низшей точкой, но занимает экстремальное положение.

Затем находим точки изменения видимости на П₁ и на П₂. На П₁ эти точки будут принадлежать экватору (m) тора и, следовательно, будут рас­положены в плоскости Г. Вспомогательная плоскость Г пересекает кони­ческую поверхность по параллели n. На пересечении линий m и n находят­ся точки C и D, горизонтальные проекции которых являются точками из­менения видимости на П₁. Для определения точек изменения видимости на П₂ проводим анализ.

Предполагаемые точки изменения видимости могут принадлежать фронтальному очерку либо конической поверхности, либо торовой. С по­мощью плоскости Ф находим точки M и N, принадлежащие образующей SE (аналогичное построение см. на рис. 229 б). С помощью плоскости Г' опре­делим точки 3 и 4, принадлежащие главной параллели тора. Рассматривая горизонтальные проекции точек M и 3, N и 4, видим, что точки M и 4 распо­ложены ближе к наблюдателю, следовательно, эти точки и будут являться точками изменения видимости на П₂.

Промежуточные точки (см. рис. 227) определяем при помощи гори­зонтальных плоскостей уровня, рассекающих данные поверхности по па­раллелям. На рис. 238 обозначены проекции промежуточных точек 1 и 2, найденных с помощью плоскости Г'', остальные не обозначены.

Все построенные точки соединяем с учетом видимости тех частей поверхностей, которым они принадлежат. Показываем видимость проек­ций очерков: толстой линией - видимые очерки, штриховой тонкой линией - невидимые очерки, очерки поверхностей, пропадающие друг в друге - тонкой сплошной линией. Построенная линия представляет собой симмет­ричную замкнутую кривую линию четвертого порядка.

Проекции искомой линии являются плоскими кривыми (второго по­рядка), при этом горизонтальная проекция линии перехода симметрична относительно следа 0₁ общей плоскости симметрии.

Задача 6. Построить линию пересечения трехгранной призмы и пря­мого кругового конуса (рис. 239).

Анализ заданных геометрических образов показывает, что грани призмы пересекают коническую поверхность по кривым 2-го порядка.

Вид этих кривых определяют переменой плоскостей проекций, выби­рая вспомогательную плоскость проекций так, чтобы грани призмы заняли проецирующее положение. Плоскость проекций П₄ введена перпендику­лярно существующей плоскости проекций П₁ и перпендикулярно граням призмы. На чертеже ось x₁ проведена перпендикулярно к горизонтальным проекциям ребер a₁, b₁, c₁.

На плоскость проекций П₄ каждая грань проецируется в виде следа. Грань bc пересекает конус по окружности, грань ba - по эллипсу, грань ac - по параболе.

Таким образом, искомая линия пересечения данных поверхностей есть пространственная кривая, состоящая из трех плоских кривых.

Для построения искомой линии пересечения целесообразно приме­нять способ вспомогательных секущих плоскостей частного положения.

Линия пересечения грани bc с конусом построена при помощи секу­щей плоскости Г (Г₁). Окружность является неполной, в результате чего получаются точки 1, 2 на ребре b и 4, 3 на ребре c.

Точки 5 и 6 на ребре a определяют при помощи секущей плоскости Г' (Г₂).

Для построения точек, лежащих на фронтальном очерке конуса, вво­дят секущую плоскость Ф (Ф₁), которая занимает фронтальное положение уровня и проходит через ось конуса. Секущая плоскость пересекает конус по очерковым образующим, а призму - по треугольнику. На полученных линиях пересечения имеются две общие точки 8 и 7.

Промежуточные точки искомой линии пересечения строят при по­мощи вспомогательных горизонтальных плоскостей уровня, рассекающих конус по параллелям, а призму - по образующим. На рис. 239 обозначены проекции промежуточных точек 9, 10, 11, 12, найденных с помощью плос­кости Г''; остальные не обозначены.

Построенные точки соединяют с учетом видимости тех частей по­верхностей, которым они принадлежат. На плоскости проекций П₁ буду видны горизонтальные проекции эллипса и параболы, на плоскости проек­ций П₂ видны ветви параболы 4-12-5 и 3-11-7.

Точка 5, лежащая на ребре призмы, и точка 7, принадлежащая фрон­тальному очерку конуса, изменяют видимость линии пересечения на фрон­тальной плоскости проекций.

Задача 7. Построить линию пересечения многогранников: шести­гранной горизонтально-проецирующей призмы I и трехгранной наклонной призмы II (рис. 240).

Из шести боковых ребер призмы I только ребра a и b пересекают гра­ни призмы II (так как a₁ и b₁ находятся в пределах горизонтальной проек­ции призмы II).

Находим точки пересечения ребер a и b призмы I с гранями призмы II. С этой целью проводим через данные ребра вспомогательную плоскость Ф (Ф₁). Эта плоскость пересечет грань ABCD призмы II по прямой MN, а грань CDEF той же призмы - по прямой KL. Прямые MN и KL должны быть параллельны боковым ребрам призмы II, так как плоскость Ф параллельна этим ребрам.

Точки пересечения ребер a и b с гранями ABCD и CDEF определяем на пересечении a n MN = 2, a n KL = 4, b n MN = 7, b n KL = 9. Фрон­тальные проекции точек находятся как точки пересечения одноименных проекций ребер a и b и вспомогательных прямых MN и KL. Горизонтальные проекции искомых точек совпадают с a₁ и b₁, так как призма I является про­ецирующей.

Остальные точки (1, 3, 5, 6, 8, 10), принадлежащие линии пересечения призм, получаем непосредственно без вспомогательных построений, как точки, в которых боковые ребра AB, CD и EF призмы II пересекаются с бо­ковыми гранями призмы I.

По горизонтальным проекциям точек 1, 3, 5, 6, 8, 10 строим их фрон­тальные проекции при помощи линий связи.

Точки 1₂, 2₂, 3₂, 4₂, 5₂, а также точки 6₂, 7₂, 8₂, 9₂ и 10₂ на эпюре со­единяем последовательно прямыми с учетом их видимости при проециро­вании на плоскость П₂. Соединив дважды последнюю точку с первой (5₂ с 1₂ и 10₂ с 6₂) получим два пространственных пятиугольника, по которым пересекаются призмы I и II.

Точки 2₂, 4₂, 7₂, 9₂ будут определять изменение видимости линий пе­ресечения на фронтальной плоскости проекций.

Горизонтальные проекции линий пересечения сливаются с горизон­тальными следами тех боковых граней призмы I, которым отрезки ломаной линии соответственно принадлежат.

8. Развертки поверхностей

Параллельные прямые на поверхности будут параллельными пря­мыми на развертке.

На развертке сохраняются:

• длина линии, лежащей на поверхности;

• величина угла между линиями поверхности;

• величина площади фигуры на поверхности.

1. Развертки прямых круговых цилиндра и конуса

Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра пред­ставляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а длина - длине окружности основания pd.

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса (рис. 241) представляет собой круговой сектор. Длина дуги AB равна длине окружно-

сти основания конуса nd. Центральный угол ф сектора определит из про­порции

2nR 360°

182

сследование точности построения разверток показало, что опти­мально деление окружности на 12 частей. При делении на 8 и менее частей длина кривой на развертке получается значительно короче длины окруж­ности основания. При делении на более чем на 12 частей, увеличивается величина графических неточностей. Полученные после деления дуги заме­няются стягивающими хордами. Затем проводятся образующие S1, S2

которые являются ребрами пирамиды.

2. Определяются натуральные величины сторон каждого треуголь­ника

I S₂1₂l = I S1 I и I S₂7₂ I = I S71 . Все остальные образующие - прямые обще­го положения. Их натуральные величины удобно определять вращением вокруг оси i ( i₁; i₂), проходящей через вершину конуса S (S₁; S₂) перпенди­кулярно горизонтальной плоскости проекции. Натуральные величины об­разующих равны соответственно отрезкам I S2 I = I S₂2'₂ t I S3 I = I S₂3'₂ I и т.д.

Третьей стороной у каждого треугольника являются хорды, которые на горизонтальную плоскость проекций проецируются без искажения. На­туральные величины хорд I 12 I = I 1₁2₁ t I 23 I = I 2₁3₁ I ... .

3. Развертка выполняется последовательным построением всех тре­угольников. Каждый треугольник строят по трем сторонам, натуральные величины которых известны. Если отсек поверхности симметричен, то развертку следует делать также симметричной и построение начать с оси симметрии. Допускается строить половину развертки, которая с одной стороны должна быть ограничена осевой линией. Рекомендуется поверх­ность разрезать по самой короткой образующей, чтобы длина соедини­тельных “швов” была наименьшей.

Осевая линия располагается на чертеже вертикально или горизон­тально. На ней откладывается отрезок I S1 I = I S₂1₂1 . Из точки 1 проводит­ся дуга радиусом I 1₁2₁1, а из точки S - вторая дуга радиусом I S₂2'₂1 до пе­ресечения с первой в точке 2: соединив тонкими линиями точки 1 и 2, S и 2, получаем D1S2. Аналогично пристраивается 2S3 и т.д. Точки 1, 2, 3 со­единяются плавной кривой. Контур развертки обводится основной линией до оси симметрии (см. рис. 242).

На развертках часто приходится строить линии, расположенные на поверхностях. К ним относятся линии пересечения двух поверхностей и сечения поверхности плоскостью.

Для построения на развертке точки выполняют следующее:

1. через данную точку проводят линию, лежащую на поверхности и удобной для построения (чаще всего это прямые или окружности). На рис. 242 точка : принадлежит образующей SB;

2. определяется натуральная величина этой линии и на нее перено­сится рассматриваемая точка. I S2B2I - натуральная величина образующей и точка :'₂е S₂B₂;

3. на развертке строится соответствующая линия. Образующая SB располагается между образующими S3 и S4. Отрезок 3B равен хорде I 3₁B₁1, а расстояние SA берется с натуральной величины и равно I S₂A₂1 .

Способ нормального сечения

Способ применяется для построения разверток призматических и цилиндрических поверхностей.

При построении развертки призматиче- ской поверхности необходимо все ее грани по- следовательно совместить с плоскостью. В об- щем случае (наклонная призма с непараллель- ными основаниями) боковые грани призмы - трапеции. Чтобы построить натуральные вели- чины этих граней необходимо определить нату- ральные величины ребер призмы, которые яв- ляются основаниями трапеций - отрезки l и l₁

(рис. 243).

Кроме того, нужно знать или расстояние между ребрами h - высоты трапеций, или натуральные величины сторон основания призмы a и b - бо­ковые стороны трапеций.

В зависимости от того, высота или боковые стороны применяются при построении разверток, различают два способа: нормального сечения и раскатки.

В первом способе расстояние между образующими определяется при помощи нормального сечения. В способе раскатки используются нату­ральные величины сторон основания призмы. Развертка призматической поверхности строится точно, не считая графических погрешностей. При построении развертки цилиндрической поверхности необходимо сначала вписать в нее призматическую поверхность, которую затем развернуть. Следовательно, развертка цилиндрической поверхности является прибли­женной.

Для построения разверток цилиндрических и призматических по­верхностей применяют способ нормального сечения. При помощи нор­мального сечения, перпендикулярного к образующим, определяют рас­стояния между ними. Способ целесообразно применять в тех случаях, ко­гда основания призмы или цилиндра заданы в общем положении.

Последовательность построений:

1. определяются натуральные величины образующих, если они зада­ны в общем положении. Так, на рис. 244 натуральные величины ребер оп­ределяются проецированием на дополнительную плоскость проекций П₄, параллельную ребрам: П₄ ||АД П₄ L П₁. Тогда I А₄Д I, IB₄E₄1, IC₄F₄1 - на­туральные величины ребер;

Рис. 244

2. строится нормальное сечение перпендикулярно ребрам призмы. Так как ребра параллельны плоскости П₄, то сечение Х₄ вырождается в прямую линию (1₄2₄3₄ - прямая) и является проецирующим относительно П₄. На плоскости П₁ и П₂ это сечение проецируется в общем положении;

3. определяется натуральная величина нормального сечения любым способом. В данном примере она определена проецированием на плос­кость П