Материалы для студ 3 курса каф РЭС / Материалы 2013_2014уч. г / Лекции по ЭДиРРВ для 3 курса 2013 / Практикум по ЭДиРРВ

УДК 621.396.677

Звездина М.Ю. Электродинамика и распространение радиоволн. Прак- тикум. Ростов-на-Дону: РИС ЮРГУЭС. 2007. – 55 с.

Материалы предлагаемого практикума охватывают все основные разделы курса дисциплины «Электродинамика и распространение радиоволн», читаемо- го студентам, обучающимся по специальности «Бытовая радиоэлектронная ап- паратура».

Главы построены по единому принципу. В первом параграфе кратко изла- гаются теоретические сведения, необходимые для самостоятельной работы сту- дентов, во втором параграфе приводятся подробные решения ряда типовых за- дач, в третьем – предлагаются задачи для самостоятельного решения.

© Звездина М.Ю., 2007

4

1 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

1. 1 Основные теоре тические сведения

1.1.1 Для описания физических полей принято использовать их математи- ческие модели – скалярные и векторные поля. В произвольной системе коорди- нат (x1, x2 , x3 ) скалярное поле ϕ приобретает вид некоторой функции

ϕ(x1, x2 , x3 ) , принимающей численные значения – действительные или ком-

плексные. Векторное поле A задается тремя проекциями на единичные векто- ры или орты выбранной системы координат:

Для графического изображения векторных полей принято строить карти- ну их силовых линий. Там, где интенсивность поля больше, силовые линии проводят чаще, и наоборот.

Для характеристики величины и направления скорости изменении ска- лярного поля в пространстве вводят градиент этого поля:

где h1, h2 , h3 - коэффициенты Лямэ по координатам (x1, x2 , x3 ), имеющие следующие значения:

На рисунках 1,1,а-в показаны соответственно координаты произвольной точки P в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Ор-

ты (единичные векторы) обозначены как i с соответствующими каждой из сис- тем координат индексами. Скалярное поле с нулевым значением градиента со- ответствует постоянному распределению поля.

Помимо приведенного в формуле (1.2) обозначения градиента использу- ется оператор Гамильтона Ñ (символ набла), который в декартовой системе ко- ординат есть символический вектор:

5

в

Рисунок 1.1

Описание дифференциальных свойств векторного поля несколько слож- нее. Векторное поле A принято характеризовать скалярным полем – диверген-

цией div A и векторным полем – ротором rot A . Значение дивергенции, отлич- ное от нуля, показывает, что у поля есть либо источник (рисунок 1.2,а), либо сток (рисунок 1.2,б). Нулевое значение дивергенции соответствует случаю, ко- гда поле не имеет источников и стоков, т.е. является соленоидальным (рисунок

1.2,в).

Значение дивергенции равно плотности источников рассматриваемого поля в заданной точке пространства и вычисляется путем дифференцирования его проекций:

6

в) ∂ρ / ∂t = 0, div j = 0 (заряд не изменяется) Рисунок 1.2

Ротор векторного поля позволяет определить норму вращения векторного поля в точке. Можно считать, что оно в известном смысле характеризует сте- пень отличия исследуемого поля от однородного. Вычисляется ротор с исполь-

зованием соотношения

векторным полем. Если такое поле характеризует силу, действующую на ма- териальную точку, то работа внешних сил при обходе замкнутого контура бу- дет равна нулю.

7

Формулы (1.2), (1.5), (1.6) с помощью оператора Гамильтона Ñ имеют

Из дифференциальных векторных операций второго порядка широкое применение в электродинамике находит Лапласиан (дифференциальный опера-

тор второго порядка Ñ2 ), закон действия которого на векторное поле A в про- извольной системе координат описывается соотношением:

Дифференциальная операция второго порядка, действующая на скалярное поле, задается оператором Лапласа:

В декартовой системе координат оператор Лапласа имеет вид:

1.1.2 Приведем наиболее часто используемые векторные соотношения.

где C = AB sinϕ , а сам вектор C дополняет векторы A и B до правой тройки.

8

1.1.3 Кроме приведенных выше соотношений, при описании электромаг- нитных полей используется ряд функций, к которому, в частности, можно отне-

сти дельта-функцию Дирака (или дельта-импульс).

Дельта-функция Дирака обозначается как δ(x-x’). По определению дан- ная функция везде равна нулю за исключением одной точки, в которой она рав- на бесконечности. Однако для всякой регулярной функции f(x) будет справед- ливо равенство [2]:

Данное равенство является определением дельта-функции посредством функционала. В частности, при f(x)=1 имеем

где r, r' – радиус-векторы точки в области V.

1. 2 Примеры решения типовых задач

1.2.1 В декартовой системе координат векторное поле A имеет единст- венную составляющую Az = 3y 2 . Проверить, является ли поле: а) соленоидаль- ным; б) потенциальным.

Решение. По условию векторное поле A будет соленоидальным (полем без источников), если во всех точках рассматриваемой области оно удовлетво-

ряет условию div A = 0 . При выполнении условия rot A = 0 поле A будет счи- таться потенциальным, т.е. таким полем, для которого работа внешних сил, действующих на материальную точку, будет равна нулю. Следовательно, для

проверки поставленных в задаче условий необходимо вычислить дивергенцию

и ротор векторного поля A. Из условия задачи можно записать проекции дан- ного вектора в декартовой системе координат (используется данная система ко- ординат, поскольку при записи проекции применяется символ «y»):

A = {0, 0, 3y 2}.

Вычислим для данного вектора значение дивергенции по формуле (1.5) и значениях коэффициентов Лямэ для декартовой системы координат (1.3а):

div A = ∂∂x Ax + ∂∂y Ay + ∂∂z Az = ∂∂x 0 + ∂∂y 0 + ∂∂z 3y 2 = 0 .

10

1.3.3 В сферической системе координат векторное поле A имеет единст- венную r -составляющую Ar = f (r) . Какова должна быть функция f (r) , чтобы

векторное поле A было соленоидальным?

1.3.4 Скалярное поле ϕ задано в декартовой системе координат выраже-

нием

ϕ = 3x2 y cos z + 2z 2 .

Вычислить векторное поле gradϕ .

1.3.5Определить дивергенцию и ротор векторного поля, имеющего в де- картовой систем координат единственную составляющую Ax = 20sin(x /π ) .

1.3.6Определить дивергенцию и ротор векторного поля, имеющего в де- картовой систем координат единственную составляющую Ay = 10cos(y /π ) .

1.3.7Определить дивергенцию и ротор векторного поля A, характери- зуемого следующими составляющими в цилиндрической системе координат:

Aρ =10 / r 2 , Aϕ = 0, Az = 0 .

1.3.8 Определить дивергенцию и ротор векторного поля A, имеющего в

сферической системе координат единственную составляющую

Aϑ = 8r exp(−10r) .

1.3.9 Используя правила действия с оператором Гамильтона, доказать то-

ждество

rot[ A, B] = (B,Ñ)A - (A,Ñ)B + Adiv B - B div A.

1.3.10 Доказать следующие тождества векторного анализа (ϕ и A - про- извольные дифференцируемые скалярное и векторное поля):

div rot A = 0, rot gradϕ = 0,

rot(ϕ A) = [gradϕ A] + ϕ rot A,

div(ϕ A) = gradϕ A + ϕ div A ,

grad(ϕ1ϕ2 ) = ϕ1 grad(ϕ2 ) + ϕ2 grad(ϕ1) .