Восстановление дерева по коду Прюфера

1. Обозначим P(T) = [y1, y2, ..., yn-3, yn-2] — последовательность Прюфера,

X= [1, 2, ..., n].

2. Выберем минимальное число v из X, не содержащееся в P(T).

3. Соединяем ребром вершину с номером v и вершину, соответствующую первому числу из P(T).

4. Удаляем v из X, удаляем первое число из P(T).

5. Если в X осталось два числа — соединяем ребром соответствующие вершины, иначе — п. 1.

12. Эйлеров путь, эйлеров цикл. Определение, критерии существования эйлерова пути, эйлерова цикла. Примеры. Прикладные задачи. Аналоги для ориентированных графов.

Эйлеровым путем в графе называется путь, который проходит по каждому ребру, причем ровно один раз.

Эйлеров цикл — замкнутый эйлеров путь.

Граф называется эйлеровым, если он содержит эйлеров цикл.

Теорема критерий существования эйлерова цикла. В связном графе существует эйлеров цикл тогда и только тогда, когда все его вершины имеют четную степень.

Доказательство. |=> Предположим, что существует эйлеров цикл С. Выберем произвольную вершину. Если это цикл, то зайдя в вершину, можем выйти из нее по еще не пройдённому ребру. Т.е. все ребра по отношению к любой вершине разбиваются на «вход» и «выход». Таким образом число степеней четно, т.к. «вход» и «выход» это пары.

<=| Выберем вершину, назовем ее х. Пойдем из этой вершины, будет красить ребра проходить по каждому ребру только один раз. Т.к. любая вершины имеет четную степень, то войдя в любую вершину, отличную от х, по еще неокрашенному ребру, то сможем выйти по еще некрашеному ребру. Закончим обход в вершине х. Если все ребра графа окрашены, то эйлеров цикл найден.

Предположим, что остались непройденные ребра. Обозначим полученный цикл за С1. Пусть осталось неокрашенное ребро е. Т.к. граф связный, то имеется путь, соединяющий ребро е и вершину х. Значит, что существует вершина у, которая принадлежит С1 и инцидентна некрашеному ребру е’. Начнем от у новый путь. Получим цикл С2. Возьмем объединение x+C1+y+C2+y+C1+x. Получим цикл, который хотя бы на три ребра больше или равен чем мах. Продолжая эти действия в силу конечности графа получим эйлеров цикл.

Теорема критерий существования эйлерова пути. В связном графе существует эйлеров путь тогда и только тогда, когда количество вершин с нечетной степенью равно двум.

Эйлеровым циклом в ографе называется замкнутый путь, который проходит по каждой дуге ровно один раз.

Орграф называется эйлеровым, если он содержит хотя бы один эйлеров цикл.

Теорема критерий существования эйлерова цикла. В орграфе (слабо связном) существует эйлеров цикл тогда и только тогда, когда для любой его вершины x outdeg(x)=indeg(x)

Теорема критерий существования эйлерова пути. В орграфе (слабо связном) существует эйлеров цикл тогда и только тогда, когда для всех вершин x кроме двух u,v outdeg(x)=indeg(x), для u,v: outdeg(u) - indeg(u) = 1, outdeg(v) - indeg(v) = -1.

13. Гамильтонов путь, гамильтонов цикл. Определения, примеры, теорема Оре, следствие (теорема Дирака). Примеры. Понятие замыкание. Теоремы Хватала и Бонди-Хватала. Результаты для некоторых классов графов (например: полный, двудольный). Прикладные задачи. Аналоги для ориентированных графов.

Головоломка Гамильтона «Вокруг света»: обойти «вокруг света» по ребрам многогранника, посещая каждую вершину ровно один раз.

Гамильтоновым путём называется простой путь, проходящий через каждую вершину графа ровно один раз. Гамильтоновым циклом называют замкнутый гамильтонов путь. Граф называется гамильтоновым, если он содержит гамильтонов цикл.