П.4 Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии.

Для описания силового взаимодействия тел в клас­сической механике использовались две концепции. Пер­воначально, исходя из практического опыта, все воз­действия одних тел на другие считались контактными, т. е. происходящими при непосредственном соприкос­новении тел. Затем был открыт закон всемирного тя­готения, который описывает взаимодействие тел, не находящихся в непосредственном контакте. Возникла концепция действия на расстоянии, концепция даль­нодействия. Последней точки зрения придерживался, в частности, Ньютон. Обе концепции сосуществовали довольно долго. Хотя при описании классического ме­ханического движения в принципе неважно, какая из концепций принята, с философской точки зрения явно была предпочтительнее концепция близкодействия. Поэ­тому, чтобы и гравитационные силы можно было рас­сматривать как близкодействующие, было введено по­нятие силового поля. С помощью понятия силового поля, взаимодействие тел на расстоянии описывается следующим образом. Одно тело видоизменяет свойства окружающего его пространства, т. е. создает вокруг себя силовое поле, а второе тело, находящееся вблизи первого, «чувствует» это изменение свойств простран­ства или, иными словами, испытывает со стороны си­лового поля некоторую силу в том месте, где оно находится. Таким образом, силовое поле выполняет роль переносчика взаимодействия. Второе тело оказы­вает силовое воздействие на первое аналогичным обра­зом. Вначале такой подход был чисто умозрительным, однако ситуация в корне изменилась, когда ученые занялись исследованием явлений, связанных с электро­магнитными волнами. Был обнаружен материальный носитель дальнодействующих электромагнитных сил, названный электромагнитным полем. Выяснилось, что все фундаментальные взаимодействия имеют полевую природу. Отметим, что описание силовых полей в мак­ромире и микромире существенно отличаются, здесь мы остановимся на классических полях.

Силовые поля являются векторными. Векторное си­ловое поле считается заданным, если в каждой точке пространства, где есть поле, задан вектор поля (силовая характеристика поля), через который однозначно может быть определена сила, воздействующая на частицу, помещенную в эту точку. Примером векторного силового поля может служить, скажем, электростатическое поле, силовой характеристикой которого является напряжен­ность.

Силовые поля делятся на потенциальные и непо­тенциальные. Потенциальным называется такое сило­вое поле, которое может быть выражено через неко­торую скалярную функцию П (х, у, z, t), называемую потенциальной, по следующему правилу:

(28).

Отметим, что градиент скалярной функции есть век­тор, направленный в сторону максимально быстрого возрастания этой функции и численно равный скорости ее возрастания в указанном направлении. Следователь­но, знак (минус) в формуле (28) указывает на то, что сила направлена в сторону максимально быстрого убы­вания потенциальной функции, т. е. против вектора гра­диента.

Очень важным является частный случай потенци­альных силовых полей — консервативные поля. Кон­сервативными называются такие потенциальные сило­вые поля, которые явно не зависят от времени. Фор­мально это означает, что потенциальная функция зависит только от координат частицы. Другими словами, частица находится в стационарных внешних условиях, например, в постоянном гравитационном поле. Потен­циальная функция П в таком случае называется по­тенциальной энергией частицы во внешнем консерва­тивном поле. Обозначим потенциальную энергию через Е_пот.. Тогда для силы справедливо выражение: (29)

Рассмотрим теперь работу консервативной силы. Учи­тывая, что dr = e_xdx + e_vdy + e,dz, из (29) получим: (30).

Таким образом, работа консервативной силы равна изменению потенциальной энергии частицы, взятому с обратным знаком. Если перемещение происходит по замкнутому пути, т. е. на­чальная и конечная точки совпадают, то работа консервативной силы равна нулю. Кроме того, работа консервативной силы не зависит от того, по какой траектории перемещается частица из начальной точки в конечную. Действитель­но, потенциальная энергия является только функ­цией координат, поэтому в правой части (30) стоит разность потенциальной энергии частицы, взятой в начальной и конечной точках. Промежуточные же этапы движения точки по траектории никак не влияют на величину работы консервативной силы.

Будем считать, что силы, действующие на частицу, можно разделить на консер­вативные и неконсервативные. Соответственно, представим работу всех сил, действующих на частицу, в виде суммы работ консервативных и неконсервативных сил. Тогда из (26):

 (31) – изменение полной механической энергии частицы, находящейся в поле консервативных сил, равно работе неконсервативных сил, действующих на частицу.

Формула (31) непосредственно может быть обобщены на систему из N невзаимодействующих чаcтиц, находящихся в консервативном силовом поле, где W — полная энергия системы N частиц, a W_i — полная энергия i-й частицы системы. Приведенное обоб­щение не изменяет вида формулы (31). Однако величины W₂, W₁ иА₁₂ в обобщенной формуле приобретают смысл полных энергий и произведенной работы, относящихся уже не к отдельной частице, а к системе N-частиц.

Рассмотрим теперь систему таких частиц, которые взаимодействуют между собой. Пусть внутренние силы взаимодействия между частицами являются консервативными. Такая ситуация характерна для задач клас­сической механики, например, если частицы испыты­вают гравитационное взаимодействие. Тогда можно ввес­ти в рассмотрение потенциальную энергию взаимодей­ствия частиц между собой. Поскольку справедлив закон парности взаимодействий (3), то общую потенциаль­ную энергию взаимодействия частиц системы между собой W_p можно выразить как сумму потенциальных энергий парных взаимодействий:

Здесь Wp_lk потенциальная энергия взаимодействия 1-Й частицы с каждой другой (k * i) частицей системы. Конкретный вид потенциальной энергии взаимодей­ствия частиц определяется природой взаимодействия. Ниже мы рассмотрим подробнее важные частные случаи гравитационного и электростатического взаи­модействий.

Обобщение понятия полной механической энергии системы невзаимодействующих частиц на случай системы взаимодействующих частиц, нахо­дящихся во внешнем консервативном поле, сводится к формуле:

Теперь можно обобщить и закон изменения полной механической энергии (31): Изменение полной меха­нической энергии системы взаимодействующих частиц, равно работе неконсервативных сил, действующих на частицы системы.

Если же система находится в условиях, когда не­консервативные силы отсутствуют, то ее полная меха­ническая энергия сохраняется.

Это последнее утверждение есть не что иное, как закон сохранения полной механической энергии. Оче­видно, что этот закон выполняется для замкнутой системы тел, но допускает и расширение на случай незамкнутых систем, находящихся в стационарных внешних условиях, т. е. под действием консервативных внешних полей сил. Формально закон сохранения полной механической энергии выражается в требо­вании, которое вытекает из закона изменения энергии, если положить в формуле (31), отражающей этот закон, работу неконсервативных сил равной нулю.

Как уже отмечалось в начале данного параграфа, энергия есть общая мера различных форм движения ма­терии. В этом смысле изменение полной механической энергии означает не исчезновение или появление неко­торой энергии, а превращение механической формы энергии в другие виды энергии. Например, если система подвержена действию неконсервативной силы трения, то механическая энергия такой системы в количестве, рав­ном работе этих сил, будет выделяться в виде тепла и идти на изменение внутренней энергии тел системы. Под внутренней энергией макроскопического тела понимает­ся сумма кинетической и потенциальной энергии взаи­модействия молекул, составляющих тело, без учета ме­ханической энергии движения тела как целого.

В связи с изложенным, сформулируем общефизичес­кий закон сохранения энергии: в изолированной или замкнутой системе энергия может только переходить из одного вида в другие, но ее количество остается постоянным.

Этот закон является следствием неуничтожимости движения материи.

В заключение данного параграфа отметим, что полная механическая энергия системы взаимодействующих тел не является аддитивной величиной из-за наличия потен­циальной энергии взаимодействия частиц . Однако очень часто в задачах возникают такие ситуации, когда систему можно представить как совокупность невзаимодействующих подсистем, либо в течение длительного времени, либо, наоборот, таких подсистем, которые взаимодействуют только в течение короткого времени (например, столкновения частиц). В таких ситуациях полную энергию всей системы можно представлять как сумму энергий подсистем. В первом случае это справедливо в течение всего времени, пока подсистемы остаются замкнутыми, а во втором — в течение всего времени за исключением короткого времени непосредственного столкновения. Второй случай наи­более важен в смысле приложений, так как позволяет на основе закона сохранения энергии делать правильные заключения, не зная конкретного вида закона взаимодействия тел при столк­новениях, что широко используется, например, при исследовании элементарных частиц.