П.3 Работа. Мощность. Кинетическая энергия.

В основе явлений природы лежит движение материи. Существует много форм движения материи. Для описа­ния механической формы движения вводится понятие механического импульса. Для описания тепловой формы движения вводятся иные характеристики состояния, на­пример, температура. Все такие величины отражают качественные особенности различных форм движения материи. Однако опыт обнаруживает взаимную превра­щаемость различных форм движения материи. Следова­тельно, различные формы движения имеют нечто общее и могут, кроме специфических величин, характеризо­ваться также величиной, которая с равным правом отно­сится ко всем формам движения и отражает их взаим­ную превращаемость. Такой физической величиной яв­ляется энергия. Следовательно, энергия есть общая мера различных форм движения материи. Важность этой фи­зической величины обусловлена еще и тем обстоятельст­вом, что для энергии также можно сформулировать закон сохранения. Выяснилось, что закон сохранения энергии тесно связан с фундаментальным свойством пространства-времени, а именно с однородностью времени.

Введем понятие механической энергии и сформу­лируем закон ее сохранения в механике. Для этого нам придется ввести в рассмотрение ряд новых физических величин; начнем с введения понятия работы.

Рассмотрим частицу, находящуюся под действием некоторой силы . Запишем уравнение второго закона Ньютона для этой частицы:

(20)

Умножим скалярно уравнение (20) на вектор беско­нечно малого перемещения частицы и заменим в левой части получившегося уравнения вектор на равный ему вектор , где — вектор мгновенной скорости частицы, a dt — промежуток времени, за который произошло перемещение. Получается следую­щее выражение:

(21)

Учитывая, что , можем записать:

. Используя это выражение и учитывая, что преобразуем левую часть (21) следующим образом:

 (22).

Величина, стоящая справа, называется работой силы : (23), где  — угол, который составляют сила F и переме­щение dr. Формула (23) дает элементарную работу силы, которую она совершает при перемещении тела на бесконечно малую величину вдоль траектории. В школьном курсе физики вводилось понятие работы силы А = F • S - cos  (S — путь, пройденный телом под действием силы). Но такое определение спра­ведливо только тогда, когда сила постоянна по величине и по направлецию, а перемещение тела происходит по прямо. В случае переменной силы и криволинейного движения для конечных отрезков траектории это оп­ределение несправедливо. Но если мы рассматриваем бесконечно малое перемещение, то с точностью до бес­конечно малых более высокого порядка можно считать F = const в пределах dr, а само перемещение — пря­молинейным.

Для вычисления работы силы при перемещении на конечное расстояние надо разбить конечный отрезок траектории на совокупность бесконечно малых участ­ков, на каждом из них найти элементарную работу и затем просуммировать эти элементарные работы. Иными словами, мы должны вычислить криволинейный интеграл вдоль траектории движения: (24)

Где цифрами 1 и 2 обозначены начальная и конечная точки траектории, l - участок траектории между точками 1 и 2, F_l — проекция силы на направление перемещения.

Отметим, что малая работа здесь обозначена А, а не полным дифференциалом dA. Это связано с тем, что в общем случае работа не является функцией состояния, т. е. не может быть представлена в виде разности значений некоторой функции координат и скоростей, так как она зависит не только от начального и конечного состояний, но и от того, по какому пути происходит перемещение тела. Исключение составляет очень важ­ный класс консервативных сил, который будет рассмот­рен ниже.

Обратимся теперь к левой части (22). Там стоит полный дифференциал некоторой функции. Поэтому сама эта функция может быть представлена в виде: (25)

Записанная так функция называется кинетической энергией частицы. Кинетическая энергия — это часть полной энергии частицы, связанная с ее движением.

Тогда (22) можно записать: или (26)

Формулы (26) справедливы, разумеется, и в том случае, если на частицу действует не одна, а несколько сил. Тогда справа в них должна стоять сумма работ каждой из сил. Исходя из (26), можно сформулировать следующую закономерность: изменение кинетической энергии частицы равно работе сил, дей­ствующих на нее.

Заметим, что иногда важно знать не общую работу, а лишь ту ее часть, которая совершается в единицу времени. Физическая величина, равная работе, отнесенной к единице времени, называется мощностью: (27).

Выражение (25) становится несправедливым при переходе в область релятивистской физики.