MM_dlya_LR
.pdf
Лабораторная работа № 2
Цель работы: углубление и закрепление теоретических положений дискретизации и восстановления сигналов по теореме Котельникова.
Краткие теоретические сведения
Переход от аналогового сигнала к дискретному для реализации цифровой обработки сигналов осуществляется операцией дискретизации. Временная дискретизация – представление непрерывного сигнала S(t) в виде последовательности выборок отдельных значений сигнала - отсчетов, взятых в дискретные моменты времени. Если интервалы между соседними отсчетами одинаковы, дискретизацию называют равномерной.
В соответствии с теоремой Котельникова (теоремой отсчетов), если наивысшая частота в спектре сигнала S(t) меньше, чем fm, то S(t) полностью определяется последовательностью своих отсчетов в моменты времени, отстоящие друг от друга не более чем на ½fm секунд.
В соответствии с теоремой сигнал S(t), ограниченный по спектру наивысшей частотой m=2 fm, можно представить рядом
|
|
|
|
n |
S(t) |
|
|
|
|
|
S |
2 f m |
||
|
n |
|
||
sin |
|
(t n / 2 f |
|
) |
|
|
S n t |
sin |
|
(t n t) |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|
|
m |
|
||
|
|
m |
(t n / 2 f |
m |
) |
|
|
n |
|
m |
(t n t) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
. (1)
Этот ряд называется рядом Котельникова. В этом выражении ½fm = t - интервал дискретизации между двумя отсчетными точками на оси времени, а S(n/2fm) = S(n t) – значения сигнала S(t) в моменты времени t=n t - отсчеты. Таким образом, произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше fm, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени, равные ½fm. Роль базисных функций n(t) выполняют функции отсчетов:
|
|
(t) |
sin |
m |
(t n t) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
(t n t) |
|
|
|
|
m |
|||
|
|
|
|
|
|
|
.
При использовании теоремы Котельникова важно правильно выбрать интервал дискретизации Tд. В частности, если Tд > t = ½fm, то происходит необратимое искажение спектра – наложение спектральных составляющих друг на друга, при этом увеличивается погрешность при восстановлении сигнала. В случае, когда Tд < t = ½fm, расходуется много энергии, поэтому на практике такое соотношение Tд и t также не желательно. В реальных условиях рекомендуемым соотношением является
T |
t |
1 |
|
|
|
||
д |
|
(2...5) f |
|
|
|
m |
|
|
|
|
Если частота дискретизации выбрана недостаточной для правильного восстановления сигнала, то восстановленный сигнал будет выглядеть так, как если бы частоты, лежащие выше половины частоты дискретизации, отразились от половины частоты дискретизации и перешли в нижнюю часть спектра, где наложились на частотные составляющие аналогового сигнала. Этот эффект называется наложением спектров или алиасингом (aliasing). Например, при оцифровывании аналогового сигнала,
спектр которого ограничен частотой 20 кГц, с частотой 44,1 кГц возникла помеха частотой 39 кГц, которая проникла в аналоговый звуковой сигнал. Так как помеха лежит выше половины частоты дискретизации 22,05 кГц, возникает алиасинг, и помеха «отразится» в нижнюю часто спектра сигнала, на частоту около 5 кГц. Если теперь восстановить аналоговый сигнал, то на фоне сигнала можно обнаружить помеху на частоте 5 кГц. Таким образом, высокочастотная помеха переместилась в область частот, воспринимаемую ухом.
Для восстановления аналогового сигнала по его дискретным значениям используется восстанавливающий фильтр. Восстановление исходного сигнала по его отсчетам с помощью фильтра нижних частот (ФНЧ) возможно в том, случае если его реакция на отсчеты, являющиеся для него дельта-импульсами, будет близка к функции sin(x)/x. То есть передаточная функция фильтра будет как можно ближе к идеальной прямоугольной передаточной функции. Благодаря тому, что фильтр является линейной стационарной системой, восстановленный сигнал будет представлять собой свертку импульсной характеристики фильтра и входной последовательности отсчетов.
При использовании фильтра, построенного методом прямоугольного весового окна, в результате резкого ограничения краев его импульсной характеристики (ИХ) возникает явление Гиббса. Для увеличения качества восстановления аналогового сигнала применяют весовое взвешивание ИХ фильтра. Среди наиболее широко известных весовых функций различают следующие:
- Прямоугольную wk 1, 0 k N 1
-Хэмминга
-Ханна wk
w |
|
0.54 0.46 cos |
2 k |
|||
|
|
|||||
k |
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
1 |
||
|
2 |
|
N 1 |
|
|
|
- Блэкмана
k |
|
2 k |
|
|
|
|
|
w |
0.42 0.5cos |
|
|
|
N 1 |
|
|
Порядок выполнения работы
Работа выполняется на компьютере с помощью пакета программ MATLAB. Структурная схема формирования аналоговых и дискретных сигналов, реализованная в программе SIMULINK, приведена на рис.1. Схема включает генераторы гармонического (Sin) и импульсного сигналов (Pulse), тактовый генератор (Pulse Generator1) буферы отсчетов (Buffer), частотный фильтр (FreqWindow), блоки выполнения быстрого прямого (FFT) и обратного (IFFT) преобразования Фурье и устройства отображения.
Рис. 1
Анализ спектров простых сигналов
Рассмотреть спектры простых сигналов на примере одиночного прямоугольного импульсов и гармонического сигнала.
Рассчитать теоретически спектр одиночного прямоугольного импульса, используя формулу дискретного преобразования Фурье
где
|
1 |
N 1 |
j 2 nk / N |
|
|
Cn |
X k e |
, |
|||
|
|
||||
|
N |
|
|
||
|
|
k 0 |
|
|
|
n номер коэффициента, |
|
||||
N число выборок (отсчетов) сигнала, k номер отсчета,
X k значение отсчета.
Сравнить полученный теоретический и практический результат.
Оценка влияния параметров дискретного сигнала на его спектр
Используя программу моделирования провести моделирование дискретного сигнала и рассмотреть спектр. Оценить особенности дискретного сигнала, по сравнению со спектром непрерывного сигнала.
Оценить влияние параметров дискретного сигнала на его спектр. Основными параметрами, влияющими на его спектр считать:
-длительность взятия выборки,
-общую длительность сигнала,
-интервал между выборками.
Проанализировать изменение спектра дискретного сигнала при изменении каждого из указанных параметров.
Восстановление аналогового сигнала по его дискретным отсчетам
Оценить зависимость качества восстановления аналогового сигнала по его дискретным отсчетам.
Провести анализ влияния весовой обработки на качество восстановления аналогового сигнала. Для этого, используя соотношения
K |
|
20 lg |
C / 2 |
|
1 |
A |
|||
|
|
|||
|
|
|
и
K2
20 lg
B A
,
определить уровень пульсаций. Здесь А, В, С – величины, показанные на рис.3
С/2
A
B
Рис. 2
Содержание отчета
Отчёт составляется по мере выполнения работы.
Он должен состоять из разделов, соответствующих разделам работы, включать сведения о содержании исследований, полученные результаты, их оценки и объяснения.
Примерный план отчёта:
-Наименование работы;
-Расчёты, выполняемые самостоятельно: исходные данные: формула, описывающая сигнал, значения величин, входящих в неё, номер варианта;
-По каждому разделу:
-Наименование раздела;
-Таблицы результатов исследований и графики;
-Оценки и выводы.
Контрольные вопросы
1.Основные понятия и задачи теории моделирования.
2.Методы моделирования.
3.Классы сигналов.
4.Дискретизация непрерывных сообщений и ее прикладное значение.
5.Цифровая обработка сигналов. Назначение. Схема ЦОС. Основные преимущества перед аналоговой обработкой.
6.Теорема Котельникова. Условие точного восстановления сигнала по его отсчетам.
7.Дискретный сигнал и его спектр. Влияние временных параметров дискретного сигнала на его спектр.
8.Дискретное преобразование Фурье и обратное дискретное преобразование
Фурье.
9.Восстановление сигнала по коэффициентам ДПФ и факторы, влияющие на точность его восстановления.
10.Способы уменьшения погрешностей восстановления.
Лабораторная работа № 3
Цель работы: углубить и закрепить знания в области случайных процессов, представляющих собой сигналы и помехи, действующие в каналах систем железнодорожной автоматики, телемеханики и связи (ЖАТС); приобрести навыки исследования вероятностных характеристик случайных процессов.
Краткие теоретические сведения
Теория вероятностей исследует случайные величины, которые в результате опыта принимают определенные значения. В практической деятельности чаще всего рассматриваются случайные величины, которые могут изменяться в процессе опыта. Иными словами, при проведении опыта результатом может быть одна из возможных реализаций.
Совокупность всех реализаций представляет собой случайный процесс, обозначаемый X ( t ) . Случайные процессы называют также случайными функциями времени. Они
рассматривают случайные величины «в динамике» и имеют вероятностное описание. Случайный процесс, протекающий в любой физической системе, представляет собой случайные переходы системы из одного состояния в другое. Состояния системы можно охарактеризовать с помощью переменных.
Таким образом, мы рассматриваем опыт, в котором каждому элементарному исходу из пространства соответствует не определенное числовое значение (как это было при определении случайной величины), а определенная числовая функция
x( ,t ) неслучайного аргумента t (время). Совокупность всех функций |
x( ,t ) |
при |
различных значениях образует случайный процесс X ( t ) . |
|
|
В качестве примеров случайных процессов можно рассматривать напряжение в электрической сети, уровень воды в реке, передачу сигнала по каналам связи. На железнодорожном транспорте используется большое число разнообразных систем передачи информации для обеспечения необходимой эффективности перевозочного процесса. Эти системы, используя различные каналы и передавая сигналы различной природы, действуют в условиях сильных и разнообразных помех. Поэтому передача сигнала по линиям связи представляет собой случайный процесс.
Понятие случайного процесса представляет собой обобщение понятия случайной величины.
Случайным процессом X ( t ) называется процесс (случайная функция), значение
которого при любом |
фиксированном t |
t |
0 |
является случайной величиной |
X t |
0 |
. |
|
X t0 , в которую |
|
|
|
|
||
Случайная величина |
обращается случайный процесс при |
t t0 , |
|||||
называется сечением случайного процесса, соответствующим данному значению
аргумента |
t . Чтобы подчеркнуть вероятностный характер случайного процесса, |
иногда |
|
определяют случайный процесс как функцию двух аргументов |
X ( ,t ) – элементарного |
||
события |
и времени t . Первыми задачами, которые |
положили начало |
теории |
случайных процессов (случайных функций), были задачи изучения и описания диффузии, броуновского движения, дробового эффекта, потока вызовов и процессы их обслуживания. В решении этих задач принимали участие видные физики и математики, такие как Макс Планк, Альберт Эйнштейн, Норберт Винер. Общая теория случайных функций начала создаваться в тридцатых годах двадцатого столетия. Большой вклад в ее становление внесли российские математики А.Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин и др.
x( t
Реализацией случайного процесса |
X ( ,t ) называется неслучайная функция |
) времени t , являющаяся значением процесса при фиксированном аргументе . |
|
Эта функция описывает течение процесса в данном опыте. Таким образом, случайный процесс можно рассмотреть с двух точек зрения:
-как множество случайных величин – сечений, упорядоченное временем;
-как множество (ансамбль) всех возможных реализаций.
Реализацию называют также траекторией случайного процесса, соответствующей
элементарному исходу |
, или выборочной функцией случайного процесса. В |
различных задачах используются оба эти описания. |
|
Множество всевозможных реализаций случайного процесса – основной экспериментальный материал, на базе которого можно получать различные характеристики случайного процесса.
Группа возможных реализаций составляет множество, семейство или ансамбль
(рис. 1).
Сечением случайного процесса в момент времени t1 называются возможные значения случайного процесса X(t1) в момент времени t1.
Статистические методы изучают не каждую из реализаций xi(t1), образующих множество X(t), а свойство всего множества с помощью усреднения свойств его реализаций. Усреднение может выполняться по множеству и по времени.
X(t |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1(t) |
|
|
|
|
|
x2(t) |
0 |
|
|
t1 |
t2 |
|
t |
|
|
|
|
|
x (t) |
|
|
|
|
Рис.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ 2 |
|
|
|
Усреднение по множеству |
x |
|
(t) |
выполняется над множеством реализаций в |
|
фиксированный момент времени. |
|
|
|
|
|
Усреднение по времени |
x 2 |
(t) |
выполняется над одной реализаций на протяжении |
||
|
|
||||
достаточно длинного промежутка времени –Т.
Для случайных процессов функция распределения и плотность вероятности полностью определяет статистические свойства процессов и зависит как от уровня -х, так и времени -t.
F1 (x1; t1 ) p{X (t1 ) x1 (t1 )}; f1 (x1; t1 ) F1 (x1; t1 ) / x1.
Эти функции характеризуют случайный процесс в фиксированный момент времени
-t1.
Для полной характеристики случайного процесса в произвольные моменты времени необходимо знать многомерные законы.
F |
(x |
, x |
2 |
,...,x |
n |
; t |
, t |
2 |
,...,t |
n |
) p{X (t |
) x |
, |
X (t |
2 |
) x |
2 |
,...,X (t |
n |
) x |
n |
}; |
||||||||||||||
|
n |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
(x |
, x |
2 |
,...,x |
n |
; t |
|
, t |
2 |
,...,t |
n |
) |
|
|
|
|
|
||||||
f |
|
(x |
, x |
|
,...,x |
|
; t |
, t |
|
,...,t |
|
) |
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
n |
2 |
n |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x x |
|
... x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Эти законы громоздки, и оперировать ими сложно, поэтому на практике часто достаточно знание одномерных или двумерных законов. Это справедливо для широкого класса так называемых гаусcовских процессов, или процессов с нормальным законом распределения. Например, помехи в системах ЖАТС, действие которых обусловлено многими случайными факторами подчиненным различным законам распределения, будет приближаться к нормальному закону (в соответствии с центральной предельной теоремой).
Классификация случайных процессов
Случайные процессы можно классифицировать: стационарные; нестационарные (стохастические);
Стационарные процессы можно классифицировать: эргодические; неэргодические. Стохастические процессы – это процессы, для определения статистических свойств
которого необходимо усреднение, как по множеству, так и по времени.
Стационарные процессы – это процессы, для определения статистических свойств которого необходимо усреднение только по множеству, так как его числовые характеристики не зависят от времени.
Эргодические процессы - процессы, в которых статистические характеристики, определенные усреднением по времени, равны характеристикам, полученным усреднением по множеству. Для определения статистических свойств такого процесса используют одну, достаточно длинную реализацию x(t) на интервале [-T, T]. При этом
|
|
1 |
T |
|
xcp |
lim |
x( t )dt. |
||
|
||||
|
T 2T |
T |
||
Числовые характеристики случайных процессов
Математическим ожиданием (средним значением) случайного процесса X(t) называют неслучайную функцию времени mx(t), значение которой в каждый момент
времени равно математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса
m |
(t) |
x |
|
M[ X (t)]
xf1 (x,t)dx
.
При этом mx (t) представляет как бы ось симметрии отдельных реализаций, т. е. степень разбросанности относительно средней оси.
Для стационарных процессов
|
|
(t) M[ X (t)] |
|
|
|
m |
x |
xf |
1 |
(x)dx |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Для эргодических процессов
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
T |
|
|
|
|
mx ( t ) X ( t ) M [ X ( t )] lim |
x( t )dt. |
||||||||||||||||||
2T |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
T |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Средний квадрат случайного процесса X(t) характеризует среднюю мощность |
|||||||||||||||||||
процесса и определяется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
~ 2 |
(t) M[ X |
2 |
(t)] |
|
x |
2 |
|
f |
|
(x, t)dx |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для стационарных процессов |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 2 |
(t) M[ X 2 (t)] |
|
x |
2 f |
|
(x)dx |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
Для эргодических процессов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
~ 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
T |
2 |
|
||
( t ) X |
( t ) M [ X |
( t )] lim |
x |
( t )dt. |
|||||||||||||||
x |
|
|
|
2T |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
T |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дисперсией случайного процесса X(t) называют неслучайную функцию времени Dx(t), значение которой в каждый момент времени равно дисперсии соответствующего сечения случайного процесса
D |
|
(t) M[(X (t) m |
|
|
2 |
] |
|
||
|
|
) |
[x |
||||||
x |
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для стационарных процессов |
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
Dx M [( X ( t ) mx ) |
] |
( x |
|||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для эргодических процессов
m |
|
] |
2 |
f |
|
(x, t)dx |
x |
|
1 |
.
m |
x |
) |
2 |
f |
1 |
( x )dx |
|
||||||
|
|
|
|
|
.
|
2 |
|
|
1 |
T |
2 |
|
|
Dx ( t ) M [ X ( t ) mx ] |
|
lim |
( x( t ) mx ) |
dt. |
||||
|
||||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
T 2T |
T |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Математическое ожидание и дисперсия характеризуют процесс в отдельных сечениях, но не учитывают их взаимосвязь, эта взаимосвязь характеризуется корреляционной функцией.
Автокорреляционной функцией случайного процесса X(t) называют неслучайную функцию двух аргументов Rxx(t1,t2), которая для каждой пары значений аргументов t1 и t2 равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса
R |
x x |
(t |
|
, t |
2 |
) M [( X (t |
1 |
) X (t |
2 |
)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
[x |
|
m |
x |
(t |
)][x |
2 |
m |
x |
(t |
2 |
)] f |
2 |
(x |
, x |
2 |
;t |
, t |
2 |
)dx dx |
2 |
. |
||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Автокорреляционная функция характеризует степень статистической взаимосвязи между двумя сечениями случайного процесса.
Взаимно корреляционная функция равна
R |
xy |
(t |
, t |
2 |
) M [( X (t |
) Y (t |
2 |
)] |
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
[ x mx (t1 )][ y m y (t2 )] f 2 ( x, y; t1 , t2 )dxdy. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Взаимно корреляционная функция характеризует степень статистической взаимосвязи между сечениями для двух процессов.
Для гаусcовских случайных процессов определяющей характеристикой является двумерная плотность вероятности, поэтому корреляционная функция полностью характеризуют статистические свойства случайного процесса.
Для стационарных процессов корреляционная функция зависит от разности аргументов = t2 –t1
R |
xx |
( ) M [ X (t) X (t )] |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
[ x |
m |
x |
][ x |
2 |
m |
x |
] f |
2 |
( x |
, x |
2 |
; )dx d x |
2 |
. |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При этом дисперсия равна
D |
|
(t) M[(X (t) m |
|
) |
2 |
] |
|
|
(x m |
|
||||
|
|
|
|
|||||||||||
x |
x |
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для эргодических процессов |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rxx ( ) |
lim |
|
|
( x( t ) mx )( x( t |
||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
T 2T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
2 |
f |
|
(x)dx |
|
1 |
|||
|
|
|
|
.
) mx )dt.
)
Основные свойства корреляционной функции
1. Начальное значение корреляционной функции равно дисперсии
Rx ( ) 0 Rx (0) Dx .
2. Значение Rx( ) при любом не может превышать ее начального значения
Rx (0) 
Rx ( )
.
3. Корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов
Rx (t1 , t2 ) Rx (t2 , t1 ).
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
x |
(t |
, t |
2 |
) M[ X (t |
) X (t |
2 |
)] M[ X (t |
2 |
) X (t |
)] R |
x |
(t |
2 |
, t |
) |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для взаимно корреляционных функций это не справедливо 4. Корреляционная функция стационарных процессов является четной функцией, а
взаимно корреляционная – нечетной
R |
x |
( ) R |
x |
( ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R |
xy |
( ) R |
yx |
( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. Корреляционная функция суммы Z(t) = X(t)+Y(t), где X(t) и Y(t) – случайные |
|||||||||||||||
процессы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
z |
( ) M [ Z( t ) Z( t )] R |
x |
( ) R |
y |
( ) R |
xy |
( ) R |
yx |
( ). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Содержание лабораторной работы
Работа состоит из двух частей.
В первой части работы требуется по значениям математического ожидания и дисперсии, рассчитанным по каждой реализации случайного процесса (или, что тоже, объему выборки), длина которой может состоять из 10-50 значений и достигать нескольких тысяч значений, определить, является процесс стационарным или нет.
Вначале, выбирается длина реализаций содержащих не более 50 значений. Таких реализаций берется порядка 5-6. По каждой из них рассчитывается математическое ожидание и дисперсия. По этим данным, используя метод инверсий, проверяется гипотеза о стационарности случайного процесса.
Затем, выбирается длина реализаций, содержащих не менее 500 значений. Каждая последующая реализация должна быть больше предыдущей на 500-600 значений. Таких реализаций также берется порядка 5-6. По каждой из них рассчитывается математическое ожидание и дисперсия. Если, начиная с определенного объема выборки, значения математического ожидания и дисперсии остаются неизменными с точностью до одногодвух знаков после запятой, то процесс моно считать стационарным при этом объеме выборки.
Вторая часть работы связана с проверкой гипотезы о нормальном (гауссовском) распределении случайного процесса.
Для этого используется сопоставление частоты превышения амплитудой случайного процесса некоторого порога и сопоставление ее с теоретическим значением для нормированного гауссовского распределения с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
Объем выборки в этом исследовании выбирается равным объему, при котором исследуемый случайный процесс можно считать стационарным (смотри первую часть работы).
По результатам всех исследований строятся графики:
-зависимости математического ожидания и дисперсии от объема выборки;
-зависимость вероятности превышения случайным процессом заданного порога.
Домашнее задание
Получить выражение для вероятности ошибки в работе приемника при приеме импульсов постоянного тока разной полярности, соответствующих передаче случайной