7. Числовые характеристики одномерных случайных величин: начальные и центральные моменты, квантили. Математическое ожидание, дисперсия, медиана, квартили.

8. Биномиальное распределение.

Б иномиальным называется распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван биномиальным, потому что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

Таким образом, первый член разложения рⁿ определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях, второй член n*p^n-1 *q определяет вероятность наступления события n-1 раз; последний член qⁿ определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

9. Пуассоновское распределение.

Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближённую формулу:

г де лямбда = np – среднее число появлений событий в n испытаниях

Говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

10. Локальная и интегральная формула Муавра-Лапласа - аппроксимация биномиального и пуассоновского распределения с помощью нормального.

Локальная теорема Муавра-Лапласа: если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, вероятность наступления события а может быть вычислена по формуле.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа: теорема применяется, когда n достаточно велико и когда требуется вычислить вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит не менее k1, но не более k2 раз. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит не менее k1, но не более k2 раз, может быть вычислена по формуле:

Используя функцию Гаусса, равенство можно записать в следующем виде:

Однако для упрощения вычислений вводят специальную функцию, называемую нормированной функцией Лапласа:

Эта функция нечётна Ф₀(-х) = -Ф₀(х); при х >= 5 можно считать, что Ф₀(х) = 0,5

Наряду с нормированной функцией Лапласа используют функцию, называемую также функцией Лапласа:

Она связана с функцией Ф₀(х) формулой:

Ч асто в расчётах надо найти вероятность того, что случайная величина Х не слишком сильно отклонится от своего математического ожидания m:

Пусть, например, epsilon = 3sigma:

Поэтому вероятность того, что св отклонится от своего математического ожидания больше, чем на 3sigma, ничтожно мала (правило трёх сигм):