Добавил:

Alister_stud Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Амурский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

ИД Ои

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2022

Размер:

1.06 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Н.А. Чалкина, Т.А. Юрьева

Методические указания

для самостоятельной работы по теме

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Благовещенск

Издательство АмГУ

2019

ББК 22.161.1 я 73

Ч 16

Рекомендовано учебно-методическим советом университета

Рецензент:

Еремина В.В., канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры Информационных и управляющих систем АмГУ

Чалкина Н.А. , Юрьева Т.А.

Методические указания для самостоятельной работы по теме

«Определенный интеграл» / Н.А. Чалкина, Т.А. Юрьева – Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2019. – 40 с.

Издание предназначено для организации самостоятельной работы студентов первого курса всех направлений подготовки по дисциплинам

«Математика» и «Высшая математика».

Амурский государственный университет, 2019

ВВЕДЕНИЕ

Раздел «Определенный интеграл» традиционно включается в рабочие программы дисциплин «Математика», «Высшая математика», «Математический анализ». Значение определенного интеграла неоспоримо не только в теории, но и в практике. Этот факт объясняется широчайшим диапазоном сфер человеческой деятельности, в которых применяется определенный интеграл: геометрия, экономика, прикладная механика, физике и др.

Предлагаемые методические указания являются дополнением учебно-

методического пособия «Определенный интеграл» авторов А.П. Филимоновой,

Т.А. Юрьевой издательства АмГУ 2017 года. Издание может использоваться для организации как аудиторной, так и внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся, для подготовки к текущим или промежуточным контрольным мероприятиям.

§1. Теоретические вопросы

1.Дайте определение криволинейной трапеции.

2.Сформулируйте задачу о площади криволинейной трапеции.

3.Сформулируйте задачу о работе переменной силы.

4.Что такое интегральная сумма, как она составляется?

5.Дайте определение определённого интеграла.

6.Сформулируйте условия существования определённого интеграла.

7.Геометрический смысл определённого интеграла.

8.Механический смысл определённого интеграла.

9.Сформулируйте свойства определённого интеграла.

10. Докажите свойства линейности определённого интеграла.

11.Докажите свойства аддитивности определённого интеграла.

12.Теорема об оценке определённого интеграла.

13.Теорема об среднем.

14.Дайте определение интеграла с переменным верхним пределом.

15.Докажите теорему о производной интеграла по его верхней границе.

16.Связь определённого и неопределённого интеграла.

17.Выведите формулу Ньютона-Лейбница.

18.Замена переменной в определённом интеграле.

19.Интегрирование по частям в определённом интеграле.

20.Определённый интеграл от чётных и нечётных функций.

21.Несобственный интеграл I рода.

22.Несобственный интеграл II рода.

23.Сходящиеся и расходящиеся несобственные интегралы.

24.Вычисление несобственных интегралов I и II рода.

25.Признаки сходимости несобственных интегралов.

26.При каких условиях интеграл ∫1∞ сходится?

27.Применение определенного интеграла для вычисления площади фигуры в декартовой системе координат.

28.Определение криволинейного сектора.

29.Применение определенного интеграла для вычисления площади фигуры в полярной системе координат.

30.Формулы перехода от декартовых координат к полярным, и обратно.

31.Применение определенного интеграла для вычисления длины дуги

кривой.

32.Применение определенного интеграла для вычисления площади поверхности вращения.

33.Применение определенного интеграла для вычисления объёма тела вращения.

34.Общая схема приложения определённого интеграла к решению задач.

35. Решение пространственных задач механики с помощью

определённого интеграла.

§ 2. Решение типовых задач

														2				2					2		dx
		1. Вычислить			определенные					интегралы:					dx		,	x 2 cos		x	dx ,				dx	;
		1. Вычислить			определенные					интегралы:							,	x 2 cos			dx ,				cos x	;
														0	x 1				2				0	2	cos x
														0									0
1	dx
	dx

	1 x
0	1 x
		Решение.
		а) Найдем одну из первообразных и воспользуемся формулой Ньютона-
										1	2
											2

	2		dx	2	1			(x 1) 2					2
Лейбница:				(x 1)
						2	dx				2	x 1		2(		2 1			0 1) 2(			3 1) .
									1
			x 1
	0			0									0
													0

								2			0

б) Применим метод интегрирования по частям:

					2						x									u x 2														du 2xdx																					x			2		2					x
					2															u x 2														du 2xdx																								2		2
					x 2 cos								dx												x								cos			x										x	2x 2 sin												2 sin									2xdx
					x 2 cos								dx					dv cos							x		dx				v					x			dx				2 sin			x	2x 2 sin												2 sin									2xdx
											2																																											2										2
											2													2											2											2								2										2
																								2											2											2
												x			2				2						x								u x															du dx


					2x 2 sin											4 x sin										dx										x						v sin								x									x
					2x 2 sin											4 x sin										dx					dv		sin			x		dx												x	dx 2 cos								x
											2													2
											2													2											2													2											2
																																			2													2											2
												x			2											x			2			2							x														x	2								x	2								x	2
															2														2			2																						2									2									2
					2x 2 sin											4( 2xcos																	2 cos							2xdx) 2x 2 sin																8xcos										16sin
					2x 2 sin											4( 2xcos																	2 cos							2xdx) 2x 2 sin																8xcos										16sin
											2																2											2														2										2								2
											2																2											2														2										2								2
					2(4 2						sin 2									sin		) 8(2 cos cos																				) 16(sin sin																) 2 2						16 16
																						2																				2															2
					2( 2 8 8).
				в)			Проведем														универсальную																				тригонометрическую																						подстановку:
											t tg						x				dx							2dt
																	x											2dt
																											1 t 2
																2											1 t 2						1																		1													1
2			dx																										1 t 2				1					1						2dt							1					dt								1				dt
2			dx																										1 t 2									1						2dt												dt												dt
									x 2arctgt											cos x																											2															2
	2								x 2arctgt											cos x									1 t			2					1 t				2			1 t		2	2					2		2t		2		1 t			2	2					t	2	3
0	2	cos x																											1 t				0 2				1 t							1 t							0	2		2t				1 t						0			t		3

								t1 tg0 0												t2			tg							1							1 t 2
																												4
										1																												0)
		2		arctg		t								2			(arctg					1			arctg0)									2		(													.
		2				t								2								1												2

		3				3				0				3								3											3					6							3	3
										0
				г) Воспользуемся методом подстановки и выделим целую часть
получившейся рациональной дроби:
																																						6

1	dx		x t 2	t1	0	1	2tdt	1	(t 1) 1	1	1	dt

	1		dx 2tdt	t2	1		1 t	2	1 t	dt 2( tdt		1 t	)

0		x				0		0		0	0

2(t 10 ln t 1 10 2(1 0 ln 2 ln1) 2(1 ln 2).

2. Найти: а) производную от интеграла с переменными пределами

	х																				1					1
cost 2 dt ; б)						сравнить интегралы																xdx		и		x 2 dx ; в) среднее значение функции
х2																					0					0

y=cos3x на 0,									.
							3
		Решение:
																						x2
				х								c				х						x2							х
		а)	cost 2 dt cost 2 dt cost 2 dt cost 2 dt cost 2 dt , где																														с – произвольная
			х2								х2				c								c					c
точка.

									х
													2
					d cost								2	dt
					d cost									dt							2x cos							2
		Тогда						х2							cos x 2 2															1		cos x 4	2x cos x	1		.
								х2																			x			1				1
										dx

																										2					x		2		x
																								1						1
		б) Так как									x		> x 2 при x 0,1 , то													xdx > x 2 dx .
																								0						0

										3
								1		3							3		1			3		1
		в)	yср					1			cos3xdx						3		1	sin3x				1	(sin sin 0) 0 .
		в)	yср								cos3xdx									sin3x					(sin sin 0) 0 .
								0 0										3				0
						3		0 0														0
						3

3. Вычислить определенный интеграл x3 9 dx по формуле Симпсона с

точностью 0,001.

Решение.

Формула Симпсона имеет вид:

x dx

y0 4 y1 y3

y2n 1 2 y2 y4

y2n 2 y2n ,

где

b a

x a k h,

x (k 0, 1, , 2n)

f x

Разобъем отрезок интегрирования на 10 частей,

x3 9

a 2,					b 12,
2n 10
h				12 2		1
h						1
		10
xk 2 k 1 2 k

y	k				x 3	9
	k				k
12							1	y0 4 y1 y3 y5 y7 y9 2 y2 y4 y6 y8 y10
			x3 9 dx				1
			x3 9 dx				3
2							3
2

k									xk	y	k	x 3	9
											k	k

0									2	4,123
1									3	6,000
2									4	8,544
3									5	11,576
4									6	15,000
5									7	18,762
6									8	22,825
7									9	27,166
8									10	31,765
9									11	36,606
10									12	41,677

Окончательно интеграл равен 200,836.

4. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями. Сделать чертёж.

а) y x2 , y 12 x2 , y 3x ; б) х 2 у 2 , х 1 3у 2 ; в) 1 cos .

Решение.

а) y x2 и y 12 x2 – параболы с вершиной в начале координат, осью Оу и

расположенные в верхней полуплоскости относительно оси Ох. Линия y 3x –

прямая, проходящая через О(0, 0).

		2				1 2

Найдем точки пересечения линий:			и			2 x , откуда получаем
Найдем точки пересечения линий:	y x ,		и	y		2 x , откуда получаем
	y 3x				y 3x,

точки О(0, 0), А(3, 9) и В(6, 18) (рис. 1):

												3					1									6				1
									S (x2								1		х2 )dx							(3х				1			х2 )dx
									S (x2										х2 )dx							(3х							х2 )dx
												0					2									3			2
												0														3
										1			x3		3			3x2				6			1		x3	3			1			(33		03 )
										1			x3					3x2							1		x3				1

										2			3		0		2					3			2	3		0			6
															0							3				3		0
										3		(62 32 )								1			(63 33 )						9						81		63
												(62 32 )											(63 33 )
										2										6									2						2	2
										27			13,5(ед.2 ).
										2			13,5(ед.2 ).
										2
														б)									Найдем												точки
									пересечения														данных									парабол:
									пересечения														данных									парабол:
																х 2 у 2 ,										откуда А(-2,1),
																х 2 у 2 ,
																х 1 3у								2	,
																х 1 3у									,
														В(-2,-1) – искомые точки.
														Парабола												х 2 у 2									имеет
														вершину													О(0,0),										а
														парабола													х 1 3у 2										–
														вершину (1,0) (рис. 2):
								2												1
																		S ((1 3у2 ) ( 2 у2 ))dу ,
																		S ((1 3у2 ) ( 2 у2 ))dу ,
																					1
1		y	3	1	11	1					4
1			3	1
S ( у 2	1)dу			y			(13	( 1)3 ) (1 ( 1))					(ед.2 ) .


	3					3				3
1	3			1		3				3
1				1
в)	1 cos - кардиоида (рис. 3).

Рис. 3

				1
S 2				1	(1 cos ) 2 d
S 2					(1 cos ) 2 d
	2				0
					0



d 2 cos d cos2 d
	0					0							0	0
2 sin 2									1					0




						0
								2				0


		1								3
			sin 2								(ед.2 ).



	4						0	2
							0									x а cos3 t,			t 0,2 ; б)
5.			Вычислить										а) вычислить		длину кривой	x а cos3 t,
5.			Вычислить										а) вычислить		длину кривой		3
																y а sin		t,

вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси абсцисс

одной арки циклоиды x t sint,	t 0,2 .
y 1 cost,

Решение.

а) Кривая x а cos3 t,

y а sin3 t,

Рис. 4

s(l) 4 32а 6а (лин.ед.) .

t 0,2 называется астроидой (рис. 4).

(t) а cos3 t, (t) а sin3 t,

'(t) 3а cos2 t sint,

'(t) 3а sin2 t cost.

'2 (t) '2 (t)

9а 2 cos4 t sin2 t 9а sin4 t cos2 t

3acos2 t sin2 t(cos2 t sin2 t )

3a cost sin t при t 0,2 ;


	2
1		3a			2	3a
	s(l) 3а sin t costdt		sin2	t			.
4		2				2
	0				0

б)	(t) t sin t ,	(t) 1 cost ,	'(t) 1 cost ,			'(t) sin t ,
'2 (t) '2	(t) (1 cost)2 sin2 t 1 2 cost 1 2(1 cost) 4sin2			t	,
'2 (t) '2	(t) (1 cost)2 sin2 t 1 2 cost 1 2(1 cost) 4sin2				,
			2
		10

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
28.06.20221.91 Mб8978-5-7996-1814-8_2016.pdf
#
28.06.2022378.64 Кб4DiffEq.pdf
#
28.06.2022767.47 Кб3Дифур.pdf
#
11.08.20229.52 Mб4Дифференциальные уравнения1.ppt
#
11.08.2022416.26 Кб6Дифференциальные уравнения5.ppt
#
28.06.20221.06 Mб7ИД Ои.pdf
#
28.06.2022286.21 Кб6Лекция 7 Экономические циклы.pdf
#
28.06.2022467.43 Кб1Матан вопросы.docx
#
28.06.2022836.4 Кб11Математический анализ шпаргалка.docx
#
28.06.2022954 Кб4Определенный интеграл.pdf
#
28.06.2022570.37 Кб11Приложение определенного интеграла.ppt